LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 35
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Следствие Лагранжа. При p = 4l + 1 имеем: [(2l!)]2 ? ?1 (mod p).
Задача 2. Доказать, что если (27) верно, то p — простое число.
Эта задача дает повод отметить, что в конструкции Лагранжа
простота p существенна.
Выяснив, когда a = ?1 является квадратичным вычетом, Эй-
лер, используя огромный числовой материал, пытается найти ана-
логичные условия для других a. Он подмечает, что при a = 2 все
зависит от остатка при делении p на 8; 2 оказывается квадратич-
ным вычетом для простых p = 8l ± 1 и невычетом при = 8l ± 3
(простое число p > 2 при делении на 8 может давать остатки
±1, ±3). Далее, 3 является квадратичным вычетом при p = 12l ±1
и квадратичным невычетом при p = 12l ± 5. Эйлер высказывает
гипотезу, что и в общем случае все определяется остатком от де-
ления p на 4a.
Гипотеза Эйлера.1 Число a одновременно является или квадра-
тичным вычетом или квадратичным невычетом для всех про-
стых чисел, входящих в арифметическую прогрессию 4aq + r,
q = 0, 1, 2, . . .; 0 < r < 4a.
Ясно, что если 4a и r имеют общий делитель s > 1, то в
арифметической прогрессии не будет ни одного простого числа.
Если же первый член и разность прогрессии взаимно просты, то,
как утверждает теорема Дирихле (1805 — 1859), в этой прогрессии
имеется бесконечное число простых чисел (обобщение теоремы о
бесконечности числа простых чисел в натуральном ряду).
Возвратимся к гипотезе Эйлера. Оказалось, что критерий Эй-
лера, который сослужил нам добрую службу при a = ?1, отка-
зывает уже при a = 2. Эйлеру не удалось разобраться в этом
случае. Ему удалось доказать свою гипотезу, не считая a = ?1,
1
Гаусс назвал ее «золотой теоремой».
Золотая теорема 335


лишь при a = 3. Затем Лагранж, которого мы уже упоминали,
доказал гипотезу при a = 2, 5, 7; Лежандр в 1785 г. предложил
доказательство гипотезы для общего случая, которое, однако, со-
держало существенные пробелы.
Доказательство Гаусса. Вначале Гаусс, как и его предшественни-
ки, замечает утверждение для a = ?1, затем, уже угадав ре-
зультат для общего случая, последовательно разбирает случай
за случаем, продвинувшись дальше других: им рассмотрены a =
±2, ±3, ±5, ±7. Общий случай (гипотеза Эйлера) не поддался пер-
вой атаке: «Эта теорема мучила меня целый год и не поддавалась
напряженнейшим усилиям». Заметим, что это было то место, где
Гаусс «догнал» современную математику: усилия крупнейших ма-
тематиков, пытавшихся доказать гипотезу Эйлера, были безре-
зультатными.
Наконец, 8 апреля 1796 г. он находит общее доказательство,
которое Кронекер (1823 — 1891) очень метко назвал «пробой сил
гауссова гения». Доказательство проводится двойной индукцией
по a и p; Гауссу приходится придумывать существенно различные
соображения для рассмотрения восьми (!) различных случаев.
Нужно было иметь не только поразительную изобретательность,
но и удивительное мужество, чтобы не остановиться на этом пути.
Позднее Гаусс нашел еще шесть доказательств «золотой» теоремы
(ныне их известно около пятидесяти). Как это часто бывает, после
того как теорема доказана, удается найти доказательства много
более простые, чем первоначальное. Мы приведем здесь доказа-
тельство, мало отличающееся от третьего доказательства Гаусса.
В его основе лежит ключевая лемма, доказанная Гауссом не ранее
1808 г.
Лемма 2. Пусть p = 2k + 1 — простое число, a — целое число,
0 < |a| 2k; r1 , r2 , . . . , rk — вычеты чисел a, 2a, . . . , ka; ? — число
отрицательных среди них. Тогда
ak ? (?1)? (mod p). (28)
Применяя критерий Эйлера, получаем такое следствие:
Критерий Гаусса квадратичности вычета. Вычет является квадра-
тичным тогда и только тогда, когда фигурирующее в лемме 2
число ? четно.
336 Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855)

? ? ? ¤ ?

  ? ? ? ¤ ? ¦ §
а) ? ? ?

¤
? ? ? ?  
б)

Рис. 33. а) p = 11 (k = 5), a = 7, ? = 3; б) p = 7 (k = 3), a = ?5,
? = 2.

Доказательство леммы 2. Заметим, что все вычеты r1 , . . . , rk раз-
личны по абсолютной величине. Это следует из того, что сум-
ма и разность любых двух из них не делится на p: ri ± rj =
(i ± j)a, i = j, |i ± j| < p, |a| < p. Таким образом, набор моду-
лей |r1 |, . . . , |rk | — это числа 1, 2, . . . , k в некотором порядке. В ре-
зультате a·2a·. . .·ka = ak k! при делении на p дает тот же остаток,
что и r1 . . . rk = (?1)? k!. Учитывая, что k! не делится на простое
число p, получаем (28).
Доказательство гипотезы Эйлера. Заметим, что в приводимом
рассуждении уже не используется простота p — она в полной ме-
ре использована в лемме Гаусса. Отметим на числовой оси точ-
ки mp/2, если a > 0, и ?mp/2, если a < 0 (рис. 33а, б). Занумеруем
интервалы с концами в этих точках по номерам левых концов.
Отметим теперь крестиками точки a, 2a, . . . , ka; так как a — це-
лое, не делящееся на p, то крестики не могут совпасть с ранее
отмеченными точками, причем все крестики попадут в какие-то
из построенных интервалов (|a|p/2 > |a|k). Легко заметить, что
фигурирующее в лемме число ? — это число крестиков, попавших
в интервалы с нечетными номерами (докажите!).
Подвергнем теперь нашу картинку преобразованию подобия с
коэффициентом 1/a (рис. 33 перейдет в рис. 34). При этом точ-
ки mp/2 перейдут в точки, делящие отрезок [0, p/2] на |a| равных
частей, а крестики — в целочисленные точки 1, 2, . . . , k.
Нумерация интервалов теперь будет зависеть от знака a: при
a > 0 они нумеруются номерами левых концов, при a < 0 —
номерами правых концов; ? — число целочисленных точек в ин-
тервалах с нечетными номерами. Если мы увеличим p на 4al, то
в каждый интервал добавится точно 2l целых точек. Это следует
из того, что при сдвиге интервала на целое число количество це-
Золотая теорема 337

? ? ? ¤ ? ?? ?

  ? ? ? ¤ ? ¦ §
а) ? ? ? ?¦ ?

  ? ? ? ¤ ?
б)

Рис. 34.
¤?       ? ¤? ?
  ? ?
??  
  ? ? ¤? ?
  ? ?
  ? ? ?¤ ?
  ? ?


Рис. 35. r = 1, a = 2, ? = 0; r = 3, a = 3, ? = 1; r = 5, a = 2, ? = 1;
r = 7, a = 2, ? = 2.

лых точек в нем не меняется, а на любом отрезке целочисленной
длины n или интервале длины n с нецелочисленными концами
имеется ровно n целых точек (докажите!). Итак, при замене p на
p+4al величина ? изменится на четное число, а (?1)? не изменит-
ся. Значит, для всех p в арифметической прогрессии p = 4aq + r
значение (?1)? одно и то же, и гипотеза Эйлера доказана.
Одновременно указан некоторый способ выяснить, является
ли a квадратичным вычетом для p. Нужно взять остаток r от де-
ления p на 4a (для удобства положительный); разделить (0, r/2)
на |a| частей, занумеровав их номерами левых (правых) концов,
если a положительно (отрицательно); сосчитать число ? целых
точек, попавших в интервалы с нечетный номерами; a — квадра-
тичный вычет в том и только в том случае, когда ? четно.
Проделаем эти вычисления для a = 2, чтобы подтвердить на-
блюдения Эйлера, о которых говорилось на с. 334. Пусть a = 2;
тогда достаточно рассмотреть r = 1, 3, 5, 7, поскольку в остальных
случаях арифметическая прогрессия не будет содержать простых
чисел. Как видно из рис. 35, число 2 является квадратичным вы-
четом для p = 8q + 1, p = 8q + 7, т. е. p = 8q ± 1.
338 Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855)

? ?¦ ? ?   ? ? ? ¤ ?¦ ? ?

¤ ? ? ?   ? ? ? ¤



Рис. 36. p = 11, q = 5, a = (p + q)/4, ?(p) = 2, ?(q) = 2.
Упражнение. Покажите, что ?2 есть квадратичный вычет для
p = 8q + 1, p = 8q + 3.
Аналогично рассматривается случай = ±3. Приведем итоги
вычислений (таблица для ?):

r=1 r=3 r=5 r=7
a=3 0 1 1 2
a = ?3 0 1 2 3

Таким образом, 3 — квадратичный вычет при p = 12l±1 (невы-
чет при p = 12l ± 5), а (?3) — квадратичный вычет для p = 12l + 1,
p = 12l + 5.
Для случая a = 2, 3 вы, конечно, заметили еще одну законо-
мерность: простые числа, имеющие при делении на 4a остатки,
равные по абсолютной величине, одновременно являются либо
квадратичными вычетами, либо квадратичными невычетами. Это
обстоятельство, разумеется, не осталось незамеченным для Эйле-
ра, и он сформулировал гипотезу в более сильной форме, чем мы
ее привели.
Сформулируем теперь
Дополнение к гипотезе Эйлера. Пусть p и q — простые числа и
p + q = 4a. Тогда a или является квадратичным вычетом и по
модулю p, и по модулю q, или квадратичным невычетом и по
модулю p, и по модулю q.
Доказательство. Выполним построения, указанные при доказа-
тельстве гипотезы Эйлера, для интервалов (0, p/2), (0, q/2), a =
= (p + q)/4. Для удобства расположим интервалы так, чтобы они
имели точку 0 общей, находясь по разные стороны от нее; при
этом интервал (0, q/2) мы перевернем (рис. 36). Пусть ?(p), ?(q) —
число целых точек в интервалах с нечетными номерами для p и q
соответственно. Нам достаточно доказать, что ?() + ?(q) четно.
Пусть ?j (p), ?j (q) — число целых точек в соответствующих интер-
Золотая теорема 339


валах с номерами j. Легко видеть, что ?j (p) + ?j (q) = 2 при j > 0,
откуда и будет следовать нужный результат.
Действительно, на интервале между j-ми левой и правой точ-
ками (j > 0) лежит 2j целых точек, поскольку, как мы уже отме-
чали, на интервале длины 2j с нецелочисленными концами лежит
2j целых точек.
Квадратичный закон взаимности. В 1798 г. Лежандр указал очень
удобное утверждение, эквивалентное гипотезе, — квадратичный
закон взаимности. Введем обозначение — так называемый символ
Лежандра:

+1, если a — квадратичный вычет по модулю p,
a
=
p ?1, если a — квадратичный невычет.

В силу критерия Эйлера (и замечания к нему, с. 333)

a
? a(p?1)/2 (mod p). (29)
p

Отсюда сразу следует мультипликативное свойство символа Ле-
жандра:
ab a b
= . (30)
p p p
Отметим также, что символ Лежандра можно доопределить для
всех a, не делящихся на p, с сохранением (29), (30), полагая

a+p a
= . (31)
p p

Теперь мы можем сформулировать квадратичный закон вза-
имности:
Если p, q — нечетные простые числа, то

p q p?1 q?1
·2
= (?1) . (32)
2
q p

p q
Другими словами, и имеют противоположные знаки,
q p
340 Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855)


если p = 4l + 3, q = 4m + 3, и совпадают в остальных случаях.
Название закона связано с тем, что в нем устанавливается
«взаимность» между вопросами о том, когда p — квадратичный
вычет по модулю q и когда q — квадратичный вычет по модулю p.
Доказательство. Всегда или p ? q = 4a, или p + q = 4a.
Случай 1. Пусть p ? q = 4a, т. е. p и q имеют одинаковые
p q + 4a 4a a
= = =
остатки при делении на 4. Тогда
q q q q
4
= 1 при всех q).
(мы воспользовались (31), (30) и тем, что
q
p ? 4a ?4a ?1
q a
= = =
Далее, . В силу уже
p p p p p
a a p q
= =
доказанной гипотезы Эйлера , т. е. при
p q q p
?1 ?1
p q
=? = ?1. Остается вспомнить,
=1и при
p q p p
?1 ?1
= ?1 при p = 4l + 3.
= 1 при p = 4l + 1,
что
p p
Случай 2. Пусть p + q = 4a, т. е. p и q имеют разные остатки
4a ? q
p a
= =
при делении на 4. Имеем . Аналогично,
q q
q
q a a a
= =
. В силу дополнения к гипотезе Эйлера ,
p p p q
p q
=
т. е. . Доказательство окончено. Нетрудно заметить,
q p
что проведенные рассуждения можно обратить и вывести из квад-
ратичного закона взаимности гипотезу Эйлера и дополнение к ней
(проделайте это!). Отметим еще, что формулы (30) – (32) дают
p
способ вычисления существенно более простой, чем описан-
q
ный выше комбинаторный способ. Проиллюстрируем это на при-
мере:
59 · 4 + 33
59 269 3 11
· = ?1,
= = =
269 59 59 59 59
3 59 2 11 59 4
=? =? =? =?
= 1; =
так как
59 3 3 59 11 11
Королевские будни 341


= ?1. Легко показать, что вычисление символа Лежандра всегда
можно свести к случаю, когда p или q равно 2.
37 43
Упражнение. Сосчитайте , .
557 991
В заключение отметим, что задача о квадратичных вычетах
послужила отправной точкой большой и плодотворной математи-
ческой деятельности. Многочисленные попытки Гаусса получить
новые доказательства квадратичного закона взаимности далеко
не в первую очередь диктовались желанием упростить доказа-
тельства. Гаусса не оставляла мысль, что им по-настоящему не
вскрыты глубокие закономерности, следствием которых являет-
ся закон взаимности. В полной мере это удалось сделать лишь
позднее, в рамках теории алгебраических чисел. Гаусс потратил
много сил на обобщение квадратичного закона на кубический и
биквадратный случаи, получив замечательные результаты. Эти
исследования были продолжены, и изучение различных законов
взаимности остается одним из центральных вопросов теории чи-
сел по сей день.


3. Королевские будни
Мы подробно рассказали о двух первых великих открытиях Гаус-
са, сделанных им в Геттингене, на протяжении 10 дней, за месяц
до того, как ему исполнилось 19 лет. Второе из этих открытий
целиком относилось к арифметике (теории чисел), а первое в су-
щественном опиралось на арифметические рассмотрения. Теория
чисел — первая любовь Гаусса.
Любимейшая наука величайших математиков. Это один из много-
численных эпитетов, которыми Гаусс наделял арифметику (тео-
рию чисел). К тому времени арифметика из набора изолирован-
ных наблюдений и утверждений уже превратилась в науку.
Позднее Гаусс напишет: «Главным образом, более поздним ис-
следователям, правда немногочисленным, но завоевавшим непре-
ходящую славу, — таким, как Ферма, Эйлер, Лагранж, Лежандр,
мы обязаны тем, что они нашли доступ к сокровищнице этой бо-
жественной науки и показали, какими богатствами она наполне-
на».
342 Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855)


Одна из самых удивительных сторон «феномена Гаусса» за-
ключается в том, что он в своих первых работах практически не
опирался на достижения предшественников, переоткрыв за ко-
роткий срок то, что было сделано в теории чисел за полтора века
трудами крупнейших математиков.
Гаусс использует пребывание в Геттингене для изучения тру-
дов классиков, он переосмысливает их достижения, сопоставляет
с тем, что он открыл сам. По его замыслу результаты этой де-
ятельности должны были быть подытожены во всеобъемлющем
труде. К написанию этой книги Гаусс приступает после возвраще-
ния в Брауншвейг в 1798 г. после окончания университета. В кни-
гу должны были войти собственные результаты, все еще оставав-
шиеся неопубликованными, если не считать газетной заметки, в
которой кстати обещалось: «Это открытие является собственно
лишь следствием одной еще не совсем законченной большой тео-
рии. Как только она получит эту законченность, она будет пред-
ложена публике». На осуществление грандиозного замысла ушло
четыре года напряженной работы.
В 1801 г. вышли знаменитые «Арифметические исследования»
Гаусса. Эта огромная книга (более 500 страниц крупного форма-
та) содержит основные результаты Гаусса: квадратичный закон
взаимности, задачу деления круга, вопрос о представимости це-
лых чисел в виде am2 + bmn + cn2 (в частности, в виде суммы
квадратов). Книга была издана на средства герцога и ему по-
священа. В изданном виде книга состояла из семи частей. На
восьмую часть денег не хватило. В этой части речь должна была
идти об обобщении закона взаимности на степени выше второй, в
частности — о биквадратичном законе взаимности. Полное дока-
зательство биквадратичного закона Гаусс нашел лишь 23 октября
1813 г., причем в дневниках он отметил, что это совпало с рожде-
нием сына.
Клейн писал: «В своих Арифметических исследованиях“

Гаусс в полном смысле этого слова создал современную теорию
чисел и предопределил все ее дальнейшее развитие до нынешнего
дня. Восхищение этим трудом возрастает еще больше, когда на-
блюдаешь, как Гаусс без всякого внешнего побуждения с самого
начала черпает этот мир из самого себя».
За пределами «Арифметических исследований» Гаусс, по су-
Королевские будни 343


<< Пред. стр.

страница 35
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign