LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 34
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>



Мы видели, что рассуждение Гаусса целиком построено на
использовании преобразований, переставляющих корни. Первым,
кто обратил внимание на роль таких преобразований в вопросах
разрешимости уравнений, был Лагранж (1736 — 1813). Вероятно,
Гаусс в этот период еще не был знаком с работами Лагранжа.
Позднее Галуа (1811 — 1832) положил изучение этих преобразова-
ний в основу замечательной теории, ныне носящей его имя. По
существу для уравнения деления круга Гаусс построил теорию
Галуа в полном объеме.

Возможные обобщения и простые числа Ферма. Если не стремить-
ся получить явное выражение для корней, а доказывать лишь их
квадратичную иррациональность, то выкладки можно почти пол-
ностью опустить, обыгрывая лишь соображения инвариантности.
Именно, ?2,0 · ?2,1 — сумма каких-то корней ?[l] , а поскольку эта
сумма переходит в себя под действием всех преобразований T[k] ,
все корни входят в нее одинаковое число раз, а значит ?2,0 · ?2,1 —
целое число. Аналогично, ?4,0 · ?4,2 не меняется при всех преобра-
зованиях вида T[2k] , а потому является комбинацией ?2,j ; ?8,0 · ?8,4
сохраняется всеми T[4k] , а значит, является комбинацией ?4,j .
Это сокращенное рассуждение позволяет выявить, на какие
простые p обобщается доказательство Гаусса квадратичной ирра-
циональности корней p-й степени из 1. Анализ показывает, что мы
пользовались лишь тем, что p ? 1 = 2k (на каждом шаге группы
делились пополам), и нумерацией корней, опирающейся на перво-
образность 3 для простого числа 17. Для нумерации можно было
пользоваться любым первообразным корнем. Как мы уже отме-
чали, для любого простого p хотя бы один первообразный корень
существует (кстати, можно показать (докажите!), что 3 является
первообразным корнем для всех p вида 2k + 1). Заметим также,
что если p = 2k + 1 — простое число, то k = 2r . Итак, доказа-
на возможность построения циркулем и линейкой правильного
r
p-угольника для всех простых p вида 22 + 1.
r
Простые числа вида 22 + 1 имеют свою историю. Эти простые
числа принято называть числами Ферма. Ферма предполагал, что
все числа такого рода являются простыми. Действительно, при
r = 0 получаем 3, при r = 1 — 5, при r = 2 — 17. Далее при r = 3
получается 257, при r = 4 — 65 537. Оба эти числа простые. При
326 Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855)


r = 5 получается число 4 294 967 297. Ферма и у него не обнаружил
простых делителей, но Эйлер выяснил, что Ферма «просмотрел»
делитель 641. Сейчас известно, что числа Ферма являются состав-
ными при r = 6, 7, 8, 9, 11, 12, 15, 18, 23, 36, 38, 73 (например, при
r = 73 имеется простой делитель 5 · 275 + 1). Имеется гипотеза,
что существует лишь конечное число простых чисел Ферма.
Что касается правильных n-угольников для составного n, то
в силу обстоятельств, отмеченных выше (с. 313), мы сразу по-
лучаем возможность искомого построения для всех n > 2 вида
2k p1 p2 . . . pl , где p1 , p2 , . . . , pl — различные простые числа Ферма.
Замечательно, что других n, для которых возможно построение,
вообще не существует. Доказательство этого утверждения Гаусс
не опубликовал: «Хотя границы нашего сочинения не позволя-
ют провести этого доказательства, мы думаем, что надо все же
на это указать для того, чтобы кто-либо не пытался искать еще
других случаев, кроме тех, которые указаны нашей теорией, на-
пример, не надеялся бы свести на геометрические построения (т. е.
на построения циркулем и линейкой — С. Г.) деление окружности
на 7, 11, 13, 19, . . . частей и не тратил бы зря своего времени».
Из результата Гаусса следует принципиальная возможность по-
строения правильного p-угольника при p = 257 и 65537, однако
вычисление корней, не говоря уже о явном описании построения,
требует колоссальной, но совершенно автоматической работы. За-
мечательно, что нашлись желающие ее провести не только при
p = 257 (Ришело это сделал в сочинении из 80 страниц; есть сведе-
ния, что это построение проделал и сам Гаусс), но и при p = 65537
(решение, полученное Гермесом, содержится в чемодане солид-
ных размеров в Геттингене). Вот какую шутку придумал по этому
поводу английский математик Дж. Литтлвуд: «Один навязчивый
аспирант довел своего руководителя до того, что тот сказал ему:
«Идите и разработайте построение правильного многоугольника
с 65537 сторонами». Аспирант удалился, чтобы вернуться через
20 лет с соответствующим построением».
Заключительные замечания. Мы уже отмечали, что день 30 марта
1796 г., когда было найдено построение правильного 17-угольника,
определил судьбу Гаусса. Ф. Клейн пишет:
«С этой даты начинается дневник. . . Перед нашими глазами
проходит гордый ряд великих открытий в арифметике, алгебре и
Дебют Гаусса 327


анализе. . . И среди всех этих проявлений, мощных порывов гени-
ального духа, можно сказать, трогательно находить до мелочей
добросовестно выполненные ученические работы, от которых не
освобождены и такие люди как Гаусс. Мы находим здесь запи-
си добросовестных упражнений в дифференцировании, и непо-
средственно перед делением лемнискаты здесь встречаются совер-
шенно банальные подстановки в интегралах, в которых должен
упражняться любой студент».
Работа Гаусса надолго становится недосягаемым образцом ма-
тематического открытия. Один из создателей неевклидовой гео-
метрии Янош Бойяи (1802 — 1860) называл его «самым блестящим
открытием нашего времени или даже всех времен». Только трудно
было это открытие постигнуть! Благодаря письмам на родину ве-
ликого норвежского математика Абеля (1802 — 1829), доказавшего
неразрешимость в радикалах уравнения 5-й степени, мы знаем о
трудном пути, который он прошел, изучая теорию Гаусса. В 1825 г.
Абель пишет из Германии: «Если даже Гаусс — величайший гений,
он, очевидно, не стремился, чтобы все это сразу поняли. . . » Он
решает не встречаться с Гауссом, но позднее пишет из Франции:
«Мне в конце концов удалось приподнять завесу таинственности,
окружавшую до сих пор теорию деления круга, созданную Гаус-
сом. Теперь ход его рассуждений ясен мне, как божий день». Ра-
бота Гаусса вдохновляет Абеля на построение теории, в которой
«столько замечательных теорем, что просто не верится». Он соби-
рается в Германию, чтобы «взять Гаусса штурмом». Несомненно
влияние Гаусса и на Галуа.
Сам Гаусс сохранил трогательную любовь к своему первому
открытию на всю жизнь:
«Рассказывают, что Архимед завещал построить над своей мо-
гилой памятник в виде шара и цилиндра в память о том, что он
нашел отношение объемов цилиндра и вписанного в него шара —
3 : 2. Подобно Архимеду Гаусс выразил желание, чтобы в па-
мятнике на его могиле был увековечен семнадцатиугольник. Это
показывает, какое значение сам Гаусс придавал своему открытию.
На могильном камне Гаусса этого рисунка нет, но памятник, воз-
двигнутый Гауссу в Брауншвейге, стоит на семнадцатиугольном
постаменте, правда, едва заметном зрителю» (Г. Вебер).
328 Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855)

E
E E?
E
E?
E
E?
A
A
E
E?
? C ??
Приложение. Приведем выдержку из книги Г. Кокстера «Введе-
ние в геометрию» (М.: Наука, 1966, с. 49), содержащую рецепт
Ричмонда для построения правильного 17-угольника: Соединим
точку P0 с точкой J, лежащей на радиусе OB на расстоянии OB/4
от центра. На диаметре, проходящем через точку P0 , выберем точ-
ки E и F так, чтобы ?OJE был равен четверти угла OJP0 , а
?F JE был равен 45? . Пусть окружность, построенная на F P0
как на диаметре, пересекает OB в точке K и пусть окружность с
центром и радиусом EK пересекает OP0 в точках N3 (между O
и P0 ) и N5 . Восставим перпендикуляры к OP0 в этих двух точках
до пересечения с первоначальной окружностью в точках P3 и P5 .
2
Тогда дуга P3 P5 (и равная ей дуга P1 P3 ) равна окружности.
17
В доказательстве несколько раз используется тот факт, что корни
уравнения x2 + 2x · ctg 2? ? 1 = 0 равны tg ? и ? ctg ?.

2. Золотая теорема
Я случайно натолкнулся на одну изумительную арифметиче-
скую истину, и, так как она не только показалась мне прекрас-
ной сама по себе, но и навела на мысль, что она связана и с
другими выдающимися фактами, я со всей энергией взялся
за то, чтобы выяснить принципы, на которых она основыва-
ется, и получить строгое ее доказательство. После того как
это желание, наконец, осуществилось, прелесть этих иссле-
дований настолько увлекла меня, что я уже не мог их оста-
вить. Гаусс

30 марта 1796 г., в день когда был построен правильный 17-
угольник, начинается дневник Гаусса — летопись его замечатель-
ных открытий. Следующая запись в дневнике появилась уже 8 ап-
реля. В ней сообщалось о доказательстве теоремы, которую он
Золотая теорема 329


назвал «золотой». Частные случаи этого утверждения доказали
Ферма, Эйлер, Лагранж. Эйлер сформулировал общую гипотезу,
неполное доказательство которой дал Лежандр. 8 апреля Гаусс на-
шел полное доказательство гипотезы Эйлера. Впрочем, Гаусс еще
не знал о работах своих великих предшественников. Весь нелег-
кий путь к «золотой теореме» он прошел самостоятельно!
Все началось с детских наблюдений. Иногда, глядя на очень
большое число, можно сразу сказать, что из него нельзя точно
извлечь квадратный корень. Например, можно воспользоваться
тем, что квадраты целых чисел не могут оканчиваться ни на 2,
ни на 3, ни на 7, ни на 8. А иногда можно воспользоваться тем,
что квадрат целого числа может либо делиться на 3, либо давать
остаток 1 (но никогда 2). Оба эти свойства имеют одну природу,
поскольку последняя цифра — это остаток от деления на 10. Гаусса
интересует общая проблема: какими могут вообще быть остатки
от деления квадратов на различные простые числа. Исследуем и
мы этот вопрос.
Квадратичные вычеты. Всюду ниже мы будем предполагать, что
p — простое число, причем p = 2. Делить целые числа можно «с
недостатком» или «с избытком». Иными словами, остатки можно
считать положительными или отрицательными. Условимся выби-
рать остаток наименьшим по абсолютной величине.
Нетрудно доказать, что если p нечетно, то всякое целое число a
единственным образом представляется в виде
p?1
|r|
n = pq + r, , (23)
2
где q и r — целые.
Будем называть r остатком от деления n на p или вычетом
числа n по модулю p. Это обозначается так:
n?r (mod p).
Выпишем в табл. 1 вычеты1 для нескольких первых простых чи-
сел p > 2. Нас интересует, какие вычеты (остатки) могут иметь
1
То, что мы называем вычетом (остатком), обычно называют абсолютно
наименьшим вычетом (остатком). Мы сократили название, так как других
вычетов нам не встретится. Обозначение n ? r (mod p) также используется
обычно в более общей ситуации: оно означает, что n ? r делится на .
330 Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855)


p?1
p k= Вычеты (остатки) по модулю p
2
?1
3 1 0 1
?2 ?1
5 2 0 1 2
?3 ?2 ?1
7 3 0 1 2 3
?5 ?4 ?3 ?2 ?1
11 5 0 1 2 345
?6 ?5 ?4 ?3 ?2 ?1
13 6 0 1 2 3456
?8 ?7 ?6 ?5 ?4 ?3 ?2 ?1
17 8 0 1 2 345678


Таблица 1.


p?1
p k= Квадратичные вычеты и невычеты по модулю p
2
?1
3 1 0 1
?2 ?1
5 2 0 1 2
?3 ?2 ?1
7 3 0 1 2 3
?5 ?4 ?3 ?2 ?1
11 5 0 1 2 345
?6 ?5 ?4 ?3 ?2 ?1
13 6 0 1 2 3456
?8 ?7 ?6 ?5 ?4 ?3 ?2 ?1
17 8 0 1 2 345678


Таблица 2.

квадраты целых чисел. Эти остатки мы будем называть квадра-
тичными вычетами, а остальные — квадратичными невычетами.
Числа n2 и r2 , где r — остаток числа n по модулю p, имеют
один и тот же остаток при делении на p. Поэтому, если мы хотим
найти квадратичные вычеты, то достаточно возводить в квадрат
лишь вычеты, т. е. целые числа r, |r| k = (p ? 1)/2. При этом,
разумеется, достаточно рассматривать r 0.
Проведем вычисления для простых чисел из предыдущей таб-
лицы. Составим новую таблицу, в которой «жирные» числа отве-
чают квадратичным вычетам (табл. 2).
Попытаемся подметить некоторые закономерности и оценить
степень их общности. Во-первых, в каждой строке есть в точ-
ности k + 1 жирное число. Покажем, что так обстоит дело для
Золотая теорема 331


всех простых p > 2. Из сказанного выше следует, что для каждого
нечетного p (даже не простого) квадратичных вычетов не боль-
ше k + 1. Мы покажем, что их точно k + 1, если убедимся, что
все числа r2 (0 r k) дают при делении на p различные остат-
2 2
ки. Если r1 > r2 и при этом r1 и r2 дают одинаковые остатки,
2 2
то r1 ? r2 делится на p. Поскольку p — простое число, то r1 + r2
или r1 ? r2 должно делиться на p, чего не может быть, так как
0 < r1 + r2 < 2k < p. Здесь мы впервые воспользовались про-
стотой p (покажите, что для составных чисел наше утверждение
неверно).
Теорема Ферма и критерий Эйлера. Далее, очевидно, что 0 и 1
являются жирными во всех строчках. Что касается остальных
столбцов, то сразу не видна закономерность, согласно которой в
них появляются жирные числа. Начнем с a = ?1. Оно является
жирным при p = 5, 13, 17, . . . и не является при p = 3, 7, 11 . . . .
Вы, может быть, заметили, что простые числа первой группы
при делении на 4 дают остаток 1, а второй — остаток ?1 (заметь-
те, что простые числа p = 2 других остатков вообще давать не
могут) . Итак, можно предположить, что ?1 является квадратич-
ным вычетом для простых чисел вида p = 4l + 1 и квадратичным
невычетом для p = 4l ? 1. Эту закономерность первым заме-
тил Ферма, однако оставил ее без доказательства. Попытайтесь
найти доказательство самостоятельно! Вы убедитесь, что главная
трудность в том, что не видно, как воспользоваться простотой p,
а без этого предположения утверждение становится неверным.
Первое доказательство после нескольких неудачных попыток
нашел в 1747 г. Эйлер. В 1755 г. Эйлер нашел другое, очень изящ-
ное доказательство, использующее «малую теорему Ферма»: Если
p — простое число, то для всякого целого a, 0 < |a| < p,
ap?1 ? 1 (mod p). (24)
Доказательство. При p = 2 утверждение очевидно, и можно
считать p нечетным. Рассмотрим p чисел 0, ±a, ±2a, ±3, . . . , ±ka;
k = (p?1)/2. Все эти числа при делении на p дают разные остатки,
так как в противном случае r1 a ? r2 a, r1 > r2 , |r1 | k, |r1 | k,
делится на p, но a не делится на p и r1 ? r2 не делится на p,
так как 0 < r1 ? r2 < p. Перемножим те из рассматриваемых чи-
сел, которые отличны от нуля; получим (?1)k (k!)2 ap?1 . Поскольку
332 Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855)


среди остатков сомножителей содержатся все ненулевые вычеты
и учитывая правило вычисления остатка произведения, получа-
ем, что произведение имеет тот же вычет, что и (?1)k (k!)2 , т. е.
(k!)2 (ap?1 ? 1) делится на p. Так как k! не делится на (0 < k < p),
то на p делится ap?1 ? 1, и доказательство окончено.
Следствие (критерий Эйлера квадратичности вычета). Вычет b =
= 0 является квадратичным тогда и только тогда, когда

p?1
bk ? 1 (mod p), k= . (25)
2

Доказательство. Необходимость условия (25) устанавливается
легко. Если a2 ? b (mod p), 0 < a < p, то a2k = ap?1 и bk должны
иметь одинаковые вычеты, равные, в силу (25), единице. Доста-
точность показывается сложнее. Мы выведем ее из следующей
леммы.
Лемма 1. Если P (x) — многочлен степени l, p — простое число и
имеется более l различных вычетов r по модулю p, для которых

P (r) ? 0 (mod p), (26)

то (26) имеет место для всех вычетов.
Доказательство будем вести индукцией по l. При l = 0 утвер-
ждение очевидно. Пусть оно справедливо для многочленов степе-
ни не выше l ? 1. Пусть далее r0 , r1 , . . . rl , 0 rj < p, удовлетворя-
ют сравнению P (r) ? 0 (mod p). Представим P (x) в виде P (x) =
(x ? r0 )Q(x) + P (r0 ), где Q() — многочлен степени l ? 1, а P (r0 )
делится на p. Тогда, поскольку P (r0 ) делится на p, (rj ? r0 )Q(rj )
l. Так как rj ? r0 не может делиться
делится на p при 1 j
на p, то Q(rj ) делится на p, а тогда по предположению индукции
Q(r) будет делиться на p при всех r. Следовательно, P (r) делится
на p при всех r.
Применим лемму к многочлену P (x) = xk ?1. Тогда соотноше-
нию (26) удовлетворяет k ненулевых квадратичных вычетов. Од-
нако имеется вычет (r = 0), не удовлетворяющий (26); значит, по
лемме, все квадратичные невычеты должны не удовлетворять (26)
и, следовательно, условие (25) достаточно.
Золотая теорема 333


Замечание. Для квадратичного невычета b имеем: b(p?1)/2 ? ?1
(mod p).
Действительно, если b(p?1)/2 ? r (mod p), то r2 ? 1 (mod p), от-
куда r = ?1. (Сравнению r2 ? 1 (mod p) удовлетворяют только
два вычета: r ? 1 (mod p), r ? ?1 (mod p).)
Критерий Эйлера позволяет мгновенно решить вопрос о том,
для каких p вычет ?1 является квадратичным. Подставляя в (25)
b = ?1, получаем, что при p = 4l + 1 соотношение (25) выполня-
ется (k — четно), а при p = 4l ? 1 — не выполняется (k — нечетно).
Сформулированная выше гипотеза стала теоремой.
3адача 1. Доказать, что если p = 2 есть простой делитель числа
n2 + 1, то p = 4l + 1.
Итак, мы доказали, что ?1 — квадратичный вычет для p =
= 4l + 1 и квадратичный невычет для p = 4l ? 1.
Обсудим некоторые особенности приведенного доказатель-
ства. Это утверждение состоит из двух частей: отрицательное
утверждение для p = 4l ? 1 и положительное для p = 4l + 1.
В первом случае естественно пытаться найти некоторое свой-
ство, которому квадратичные вычеты удовлетворяют, а ?1 не
удовлетворяет, что и сделал Эйлер. Найденное свойство оказа-
лось характеристическим, т. е. одновременно удалось доказать и
вторую часть гипотезы. Если вы пробовали доказать эту часть
утверждения самостоятельно, то вы, вероятно, пытались явно
построить по p = 4l + 1 число n2 , дающее при делении на p
остаток ?1. Доказательство Эйлера неэффективно в том смысле,
что оно не дает явной конструкции для числа n по p, а лишь
утверждает его существование. Иными словами, гарантируется,
что если мы будем перебирать числа 1, 2, . . . , 2l, возводить их
в квадраты, брать остатки от деления квадратов на p, то рано
или поздно мы получим ?1. Остается открытым вопрос, нельзя
ли указать более явную конструкцию n и p, не использующую
процедуры перебора. Положительный ответ дал Лагранж (1736 —
1813) в 1773 г., используя следующую теорему.
Теорема Вильсона.1 Если p = 2k + 1 есть простое число, то

(?1)k (k!)2 ? ?1 (mod p). (27)
1
Вильсон (1741 — 1793) — юрист, изучавший математику в Кембридже.
334 Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855)


Для доказательства этой теоремы воспользуемся леммой 1.
Положим P (x) = (x2 ? 1)(x2 ? 4) . . . (x2 ? k 2 ), Q(x) = x2k ? 1.
Тогда R(x) = P (x) ? Q(x) — многочлен степени не выше 2k ? 1,
который при x = ±1, ±2, . . . , ±k делится на p (этим свойством
обладают P и Q). По лемме R(x) ? 0 (mod p) для всех x. Соб-
ственно, новым фактом является лишь то, что R(0) ? 0 (mod ).
Поскольку R(0) = (?1)k (k!)2 + 1, получаем (27).

<< Пред. стр.

страница 34
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign