LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 32
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

существо, о котором говорится в цитате, называют сейчас демо-
ном Лапласа.
Размышления Лапласа по теории вероятностей в значительной
степени стимулировались его занятиями астрономией и космого-
нией. Но его волновала также роль случая в общественной жизни.
Чаще всего его высказывания по этому поводу не содержат кон-
кретных вычислений. Вот пример: «Не будем противополагать
бесполезного и часто опасного сопротивления неизбежным след-
ствиям прогресса просвещения, но будем лишь крайне осторожно
менять наши учреждения и обычаи, к которым мы давно уже при-
менились. Мы хорошо знаем по опыту прошлого те неудобства,
которые они представляют, но мы не знаем, как велико будет зло,
которое может причинить их изменение. При такой неизвестности
теория вероятностей предписывает избегать всякого изменения;
особенно следует избегать внезапных изменений, которые в нрав-
ственном порядке, как и в физическом, никогда не происходят без
большой потери живой силы».
Был один вопрос, на формализацию которого Лаплас рассчи-
тывал, — применение теории вероятностей к судопроизводству.
Отправной является точка зрения, что абсолютно достоверное
решение в суде невозможно, а нужно заботиться лишь о том,
чтобы решение было правильным с наибольшей вероятностью.
Она восходит к Кондорсе и тесно связана с практикой судопро-
изводства при революции. Позиция Лапласа более осторожна,
и все же он считает, что нужно вычислять вероятность «того,
что решение суда, который может осудить только при данном
большинстве, будет справедливо, то есть будет соответство-
вать истинному решению поставленного вопроса», и поскольку
«большая часть наших суждений основана на вероятности сви-
детельских показаний, очень важным является подчинить их
исчислению». Предполагалось включить в оценки политические
симпатии судей, степень запутанности дела, интеллектуальные
характеристики судей и т. д. Жизнь показала ошибочность и
общественную опасность таких исчислений.
В 1899 г. во время пересмотра дела Дрейфуса в военном суде
были представлены «доказательства» его виновности, основанные
на вероятностных вычислениях некоего Бертильона. Заключение
об их достоверности дал Анри Пуанкаре: «. . . Даже если бы эти
Пьер-Симон Лаплас (1749 – 1827) 307


расчеты оказались точными, в любом случае не было бы спра-
ведливого заключения, потому что применение исчисления веро-
ятностей к моральным наукам является скандалом для матема-
тики, поскольку Лаплас и Кондорсе, которые умели хорошо счи-
тать, дошли до результатов, лишенных всякого здравого смысла!».
В тридцатые годы в Советском Союзе прокуроры школы Вы-
шинского тоже говорили о вероятности преступления, но до вы-
числения вероятностей, кажется, дело не доходило.
Мы имели возможность остановиться лишь на важнейших
направлениях научной деятельности Лапласа. Многое осталось
за пределами нашего рассказа: работы по капиллярности, зву-
ку и свету, математические результаты, следы которых сохра-
нились в названиях «преобразование Лапласа» и «уравнение
Лапласа» и т. д.
Недавно ученые имели возможность еще раз оценить прозор-
ливость Лапласа. В «Изложении системы мира» приводится до-
казательство того, что «сила притяжения небесного тела могла
бы быть столь велика, что от него не будет исходить свет». Это
произойдет, если у тела будет та же плотность, что и у Зем-
ли, а диаметр равен 250 диаметрам Солнца. Другими словами,
первая космическая скорость в поле тяготения этого тела пре-
вышает скорость света. Таким образом, Лаплас был первым, кто
обратил внимание на возможность существования «черных дыр».
Жизнь Лапласа в значительной степени отражает сложность
эпохи, в которую он жил. Однако через всю своею жизнь он про-
нес верность науке, ни при каких обстоятельствах не прерывая
занятий. Роль Лапласа в истории науки трудно переоценить.
«. . . Лаплас был рожден для того, чтобы все углублять, ото-
двигать все границы, чтобы решать то, что казалось неразреши-
мым. Он кончил бы науку о небе, если бы эта наука могла быть
окончена». (Фурье)
КОРОЛЬ МАТЕМАТИКОВ
Не считать ничего сделанным, если еще кое-что осталось
сделать. Гаусс
В 1854 г. здоровье тайного советника Гаусса, как его именова-
ли коллеги по Геттингенскому университету, решительно ухудши-
лось. Не могло быть и речи о продолжавшихся в течение двадцати
лет ежедневных прогулках от Обсерватории до Литературного
музея. Профессора, приближавшегося к восьмидесятилетнему ру-
бежу, удалось уговорить обратиться к врачу! Летом ему стало
лучше и он даже присутствовал на открытии железной дороги
Ганновер — Геттинген. В январе 1855 г. Гаусс соглашается пози-
ровать художнику Геземану для медальона. По заказу Ганновер-
ского двора уже после смерти ученого в феврале 1855 г. по этому
медальону была изготовлена медаль. На медали под барельефом
Гаусса было написано: Mathematicorum princeps (Король матема-
тиков). История всякого настоящего короля должна начинаться
с детства, овеянного легендами. Гаусс в этом смысле не был ис-
ключением.

1. Дебют Гаусса
«Упорство, с которым Гаусс следовал по избранному им пути,
бурный юношеский натиск, с которым он каждый раз, не взи-
рая ни на что, преодолевал самые крутые подъемы, ведущие к
цели, все эти трудные испытания закаляли его силы и делали
его способным, после победы над препятствиями, уже устранен-
ными другими, неудержимо идти вперед, опережая их. К этой
хвале творческой самодеятельности я должен присоединить дру-
гое: похвалу юности. Я этим хочу сказать только то, что раз-
витие математического гения подчиняется тем же законам, что

308
Дебют Гаусса 309


и развитие всякой другой твор-
ческой способности. Для гени-
ально одаренной личности го-
ды юности, период, когда только
что завершается процесс физи-
ческого роста, являются эпохой
великих, в изобилии сменяющих
друг друга откровений; именно
в эти годы гениально одаренный
дух создает те новые, ему одному
принадлежащие ценности, кото-
рые им будут впоследствии пре-
поднесены миру» (Ф. Клейн).

Брауншвейг, 1777 – 1795. Гаусс
не получил свой титул по наслед-
ству, хотя его отец Гергард Ди-
дерих не был вовсе чужд мате-
матике. Мастер на все руки, пре-
жде всего фонтанный мастер, но
Молодой Гаусс (1803 г.)
также и садовник, как его отец,
Гергард Дидерих был известен своими успехами в счетном ремес-
ле. Его услугами пользовались купцы во время ярмарок в Браун-
швейге и даже Лейпциге, а еще он имел постоянный заработок в
самой большой похоронной кассе Брауншвейга (место, которое он
передал по наследству сыну от первого брака Георгу — отставному
солдату).
Карл Фридрих родился 30 апреля 1777 г. в доме № 1550, что
стоял на канале Венденгребене в Брауншвейге. По мнению био-
графов, он унаследовал от родных отца крепкое здоровье, а от
родных матери яркий интеллект. Ближе других был к будущему
ученому дядя Фридерихс — искусный ткач, в котором, по словам
племянника, «погиб прирожденный гений». Гаусс говорил о себе,
что он «умел считать раньше, чем говорить». Самая ранняя ма-
тематическая легенда о нем утверждает, что в три года он следил
за расчетами отца с каменщиками-поденщиками и неожиданно
поправил отца, причем оказался прав.
В 7 лет Карл Фридрих поступил в Екатерининскую народную
310 Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855)


школу. Поскольку считать там начинали с третьего класса, пер-
вые два года на маленького Гаусса внимания не обращали. В тре-
тий класс ученики обычно попадали в 10-летнем возрасте и учи-
лись там до конфирмации (15 лет). Учителю Бюттнеру приходи-
лось заниматься одновременно с детьми разного возраста и разной
подготовки. Поэтому он давал обычно части учеников длинные
задания на вычисление, с тем чтобы иметь возможность беседо-
вать с другими учениками. Однажды группе учеников, среди ко-
торых был Гаусс, было предложено просуммировать натуральные
числа от 1 до 100. (Разные источники называют разные числа!)
По мере выполнения задания ученики должны были класть на
стол учителя свои грифельные доски. Порядок досок учитывался
при выставлении оценок. 10-летний Гаусс положил свою доску, ед-
ва Бюттнер кончил диктовать задание. К всеобщему удивлению,
лишь у него ответ был правилен. Секрет был прост: пока дик-
товалось задание, Гаусс успел переоткрыть формулу для суммы
арифметической прогрессии! Слава о чудо-ребенке распространи-
лась по маленькому Брауншвейгу.
В школе, где учился Гаусс, помощником учителя, основной
обязанностью которого было чинить перья младшим ученикам,
работал некто Бартельс, интересовавшийся математикой и имев-
ший несколько математических книг. Гаусс и Бартельс начинают
заниматься вместе; они знакомятся с биномом Ньютона, бесконеч-
ными рядами. . .
Как тесен мир! Через некоторое время Бартельс получит ка-
федру чистой математики в Казанском университете и будет
учить математике Лобачевского.
В 1788 г. Гаусс переходит в гимназию. Впрочем, в ней не учат
математике. Здесь изучают классические языки. Гаусс с удоволь-
ствием занимается языками и делает такие успехи, что даже не
знает, кем он хочет стать — математиком или филологом. О Гауссе
узнают при дворе. В 1791 г. его представляют Карлу Вильгель-
му Фердинанду — герцогу Брауншвейгскому. Мальчик бывает во
дворце и развлекает придворных искусством счета. Благодаря по-
кровительству герцога Гаусс смог в октябре 1795 г. поступить в
Геттингенский университет. Первое время он слушает лекции по
филологии и почти не посещает лекций по математике. Но это не
означает, что он не занимается математикой. Приведем слова Фе-
Дебют Гаусса 311


ликса Клейна, замечательного математика, глубокого исследова-
теля научного творчества Гаусса: «Естественный интерес, какое-
то, я сказал бы, детское любопытство приводит впервые мальчика
независимо от каких-либо внешних влияний к математическим во-
просам. Первое, что его привлекает, это чистое искусство счета.
Он беспрестанно считает с прямо-таки непреоборимым упорством
и неутомимым прилежанием. Благодаря этим постоянным упраж-
нениям в действиях над числами, например, над десятичными
дробями с невероятным числом знаков, он не только достигает
изумительной виртуозности в технике счета, которой он отличал-
ся всю свою жизнь, но его память овладевает таким колоссальным
числовым материалом, он приобретает такой богатый опыт и та-
кую широту кругозора в области чисел, каким навряд ли обладал
кто-либо до или после него. Путем наблюдений над своими чис-
лами, стало быть, индуктивным, «экспериментальным» путем он
уже рано постигает общие соотношения и законы. Этот метод,
стоящий в резком противоречии с современными навыками мате-
матического исследования, был, однако, довольно распространен
в XVIII столетии и встречается, например, также у Эйлера. . . Все
эти ранние, придуманные только для собственного удовольствия
забавы ума являются подходами к значительной, лишь позже осо-
знанной цели. В том-то именно и заключается подсознательная
мудрость гения, что он уже при первых пробах сил, полуиграя,
еще не сознавая всего значения своих действий, попадает, так ска-
зать, своей киркой как раз в ту породу, которая в глубине своей
таит золотоносную жилу. Но вот наступает 1795 год, о котором
мы имеем более точные показания. . . С еще большей силой, чем
до сих пор (все еще до геттингенского периода), его охватывает
страстный интерес к целым числам. Незнакомый с какой бы то ни
было литературой, он должен был все создавать себе сам. И здесь
он вновь проявляет себя как незаурядный вычислитель, прола-
гающий пути в неизвестное. Гаусс составляет большие таблицы
простых чисел, квадратичных вычетов и невычетов, выражает
дроби 1/p от p = 1 до p = 1000 десятичными дробями, доводя
эти вычисления до полного периода, что в иных случаях требова-
ло несколько сотен десятичных знаков. При составлении послед-
ней таблицы Гаусс задался целью изучить зависимость периода
от знаменателя p. Кто из современных исследователей пошел бы
312 Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855)


этим странным путем, чтобы получить новую теорему! Гаусса же
привел к цели именно этот путь, по которому он шел с неимовер-
ной энергией. (Он сам утверждал, что отличается от других людей
только своим прилежанием.) Осенью 1795 г. Гаусс переезжает в
Геттинген и прямо-таки проглатывает впервые попавшуюся в его
руки литературу: Эйлера и Лагранжа».
Открытие, которого ждали две тысячи лет. 1 июня 1796 г. в газете
«Jenenser Intelligenzblatt» появилась заметка следующего содер-
жания:
«Всякому начинающему геометру известно, что можно геомет-
рически (т. е. циркулем и линейкой) строить разные правильные
многоугольники, а именно: треугольник, пятиугольник, пятна-
дцатиугольник и те, которые получаются из каждого из них путем
последовательного удвоения числа его сторон. Это было известно
во времена Евклида, и, как кажется, с тех пор было распростра-
нено убеждение, что дальше область элементарной геометрии не
распространяется: по крайней мере, я не знаю удачной попытки
распространить ее в эту сторону.
Тем более кажется мне заслуживающим внимания открытие,
что, кроме этих правильных многоугольников, может быть гео-
метрически построено множество других, например семнадцати-
угольник».
Под заметкой стоит подпись: К. Ф. Гаусс из Брауншвейга, сту-
дент-математик в Геттингене.
Это первое сообщение об открытии Гаусса. Прежде чем по-
дробно рассказывать о нем, освежим в памяти то, что «известно
всякому начинающему геометру».
О построениях циркулем и линейкой. Предполагается заданным
отрезок единичной длины. Тогда при помощи циркуля и линей-
ки можно строить новые отрезки, длины которых получаются из
длин имеющихся отрезков при помощи операций: сложения, вы-
читания, умножения, деления и извлечения квадратного корня.
Последовательно проводя эти операции, при помощи циркуля
и линейки можно построить любой отрезок, длина которого вы-
ражается через единицу конечным числом операций сложения,
вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного кор-
ня. Такие числа называются квадратичными иррациональностя-
ми. Можно доказать, что никакие другие отрезки построить
Дебют Гаусса 313


при помощи циркуля и линейки нельзя.
Задача о построении правильного n-угольника, как легко по-
нять, эквивалентна задаче о делении окружности радиуса 1 на
n равных частей. Хорды дуг, на которые делится окружность,
являются сторонами правильного n-угольника, и длина каждой
из них равна 2 sin(?/n). Следовательно, при тех n, для которых
sin(?/n) является квадратичной иррациональностью, можно по-
строить правильные и-угольники циркулем и линейкой. Этому
условию удовлетворяют, например, значения n = 3, 4, 5, 6, 10.
Для n = 3, 4, 6 это хорошо известно.
Покажем, что sin(?/10) — квадратичная иррациональность.
Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, угол при вер-
шине B которого равен ?/5 = 36? , длина AB равна 1; пусть AD —
биссектриса угла A. Тогда x = AC = AD = BD = 2 sin(?/10).
Имеем
v
5?1
BD AB x 1
= ; = , x= .
1?x
DC AC x 2
Это число является квадратичной иррациональностью; тем са-
мым мы можем построить сторону правильного 10-угольника.
Далее, из возможности деления окружности на p1 p2 равных
частей следует, конечно, возможность ее деления на p1 рав-
ных частей (в частности, можно построить правильный пяти-
угольник). Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Ука-
жем два частных случая, когда оно все же справедливо.
1) Из возможности деления окружности на p равных частей
следует возможность деления на 2k p равных частей для любого k.
Это следует из возможности деления любого угла пополам при
помощи циркуля и линейки.
2) Если мы умеем делить окружность на p1 равных частей и p2
равных частей, где p1 и p2 взаимно просты (например, p1 , p2 —
различные простые числа), то окружность можно разделить на
p1 p2 равных частей. Это следует из того, что наибольшая общая
мера углов 2?/p1 и 2?/p2 равна 2?/p1 p2 , а наибольшую общую
меру двух соизмеримых углов можно найти циркулем и линейкой.
1
В частности, 2?/15 = (2?/3?2?/5), откуда следует возможность
2
построения правильного 15-угольника.
314 Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855)


Несколько слов о комплексных чис-
?
лах. Нам нужно знать про ком-
плексные числа совсем немного: опе-
?
рации над ними и геометрическую
интерпретацию. Напомним, что ком-
? плексному числу z = a + ib ставится
в соответствие точка с координатами
(a, b) и вектор с концом в этой точке
и с началом в (0, 0). Длина вектора
?
z = a + ib называется модулем дан-
ного числа z. Комплексное число z
можно записать в тригонометриче-
ской форме: z = a + ib = r(cos ? + i sin ?); угол ? называется
аргументом числа z.
Сложению комплексных чисел соответствует сложение векто-
ров; при умножении модули перемножаются, а аргументы скла-
дываются. Отсюда следует, что существует ровно n корней урав-
нения z n = 1; обычно их обозначают через
2?k 2?k
k = 0, 1, . . . , n ? 1.
?k = cos + i sin ; (17)
n n
Легко показать, что концы векторов ?k являются вершинами пра-
вильного n-угольника. Если мы докажем, что ?k — квадратичные
иррациональности (т. е. что этим свойством обладают их веще-
ственные и мнимые части), то тем самым мы покажем, что пра-
вильный n-угольник можно построить при помощи циркуля и ли-
нейки.
Правильные n-угольники и корни из единицы. Преобразуем урав-
нение z n = 1:

z n ? 1 = (z ? 1)(z n?1 + z n?2 + . . . + z + 1) = 0.

Получим два уравнения: z = 1 и

z n?1 + z n?2 + . . . + z + 1 = 0. (18)

n ? 1.
Уравнение (18) имеет своими корнями ?k при 1 k
В дальнейшем мы будем иметь дело с уравнением (18).
Дебют Гаусса 315


При n = 3 получаем уравнение z 2 + z + 1 = 0. Его корни:
v v
1 3 1 3
?1 = ? + i , ?2 = ? + i . При n = 5 дело обстоит сложнее,
2 2 2 2
так как мы получаем уравнение четвертой степени

z 4 + z 3 + z 2 + 1 = 0, (19)

имеющее четыре корня ?1 , ?2 , ?3 , ?4 . Хотя и существует формула
Феррари для решения общего уравнения 4-й степени, пользовать-
ся ею практически невозможно. В нашем случае помогает специ-
альный вид уравнения (19). Чтобы решить его, разделим сначала
уравнение (19) на z 2 . Получим
1 1
z2 + +z+ +1=0
z2 z
или
1 1
2
? 1 = 0.
z+ + z+
z z
1
Сделаем подстановку w = z + :
z

w2 + w ? 1 = 0. (20)

Отсюда v
1± 5
w1,2 =
2
Далее можно найти и ?k из уравнений
1 1
z+ = w1 , z+ = w2 , (21)
z z
но нам это не нужно; для построения достаточно знать, что удво-

<< Пред. стр.

страница 32
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign