LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 3
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

тельным: «Передайте его светлости, чтобы он простил меня, но
если я захочу опубликовать свое открытие, то я сделаю это в мо-
ем собственном труде, а не в книге другого». Тарталья отказался
передать также решения 30 задач Фиоре, передав лишь условия
(впрочем, их можно было получить у нотариуса), а также решить
7 задач, посланных Кардано. Тарталья подозревает, что Карда-
но — подставное лицо, за которым скрывается математик Жуане
да Кои, пытающийся узнать секрет. 12 февраля Кардано посылает
Тарталье критические замечания по поводу книги «Новая наука»
и повторяет свою просьбу. Тарталья неумолим, соглашаясь ре-
шить лишь две задачи Кардано. 13 марта Кардано приглашает
Тарталью к себе, выражает заинтересованность в его артилле-
рийских приборах, обещает представить его маркизу дель Васто,
Джероламо Кардано (1501 – 1576) 23


испанскому губернатору Ломбардии. Повидимому, эта перспекти-
ва прельстила Тарталью, он принял приглашение, и решительное
объяснение состоялось 25 марта в доме Кардано.
Вот отрывок из записи этой беседы (следует иметь в виду, что
запись сделана Тартальей; ученик Кардано Феррари утверждает,
что она не вполне соответствует действительности):
Н и к к о л о. Я говорю Вам: я отказал Вам не из-за одной толь-
ко этой главы и сделанного в ней открытия, но из-за тех вещей,
которые можно открыть, зная его, так как это ключ, отмыка-
ющий путь для исследования бесчисленного количества других
разделов. Я бы уже давно нашел общее правило для многих дру-
гих проблем, если бы не был в настоящее время занят переводом
Евклида на народный язык (в настоящее время я довел перевод
до конца 13-й книги). Но когда эта работа, которую я уже на-
чал, будет закончена, я собираюсь издать труд для практического
применения вместе с новой алгеброй. . . Если я выдам ее какому-
нибудь теоретику (каким является Ваша светлость), то он легко
может с помощью этого объяснения найти другие главы (ибо это
объяснение легко приложить к другим вопросам) и опубликовать
плоды моего открытия под собственным именем. Этим будут раз-
биты все мои планы.
М е с с е р Д ж е р о л а м о. Я клянусь Вам Святым Евангелием
Господа Бога и не только даю Вам слово честного человека ни-
когда не опубликовать этого Вашего открытия, если Вы мне его
доверите, но обещаю, и да будет моя совесть истинного христиа-
нина Вам порукой, зашифровать его так, что после моей смерти
никто не сможет прочитать написанное. Если я, по Вашему мне-
нию, заслуживаю доверия, то сделайте это, если нет, то оставим
этот разговор.
Н и к к о л о. Если бы я не поверил этой Вашей клятве, то, конечно,
заслужил бы того, чтобы меня самого сочли неверующим.
Итак, Тарталья дал уговорить себя. Он сообщил свое решение
в форме латинского стихотворения. Не правда ли, трудно понять
по приведенной записи, что заставило Тарталью изменить реше-
ние. Неужели его так потрясли клятвы Кардано? Происходящее
дальше малопонятно. Сообщив тайну, взволнованный Тарталья
немедленно уезжает, отказавшись от свидания с маркизом, ради
которого он предпринимал путешествие. Уж не загипнотизиро-
24 Джероламо Кардано (1501 – 1576)


вал ли его Кардано? Очень правдоподобно, что запись Тартальи
не точна.
Тарталья несколько успокоился, когда получил 12 мая свеже-
напечатанную «Практику общей арифметики» без своего рецепта.
В сопроводительном письме Кардано пишет: «Я проверил форму-
лу и считаю, что она имеет общее значение».
Кардано получил от Тартальи готовый способ решения урав-
нения (1) без всяких намеков на доказательство. Он затратил мно-
го сил на тщательную проверку и обоснование правила. С нашей
колокольни нелегко понять, в чем проблема: подставь в уравне-
ние и проверь! Однако отсутствие развитой алгебраической сим-
волики делало то, что сегодня автоматически выполняет любой
школьник, доступным лишь избранным. Не познакомившись с
подлинными текстами того времени, нельзя оценить, насколько
алгебраический аппарат «экономит» мышление. Читатель дол-
жен все время иметь это в виду, чтобы не заблуждаться относи-
тельно «тривиальности» проблем, вокруг которых кипели страсти
в XVI веке.
Кардано затрачивает годы напряженной работы, пытаясь пол-
ностью разобраться с решением кубических уравнений. Он полу-
чил рецепты (ведь формул писать не умели!) для решения урав-
нений (1), (2), а также
x3 + b = ax (3)
и уравнений, содержащих x2 . Он наверняка сильно опередил Тар-
талью. Все это происходило на фоне упрочения положения Карда-
но; в 1543 г. он становится профессором в Павии. «Мои познания
в астрологии, — писал Кардано, — приводили меня к заключению,
что я не проживу более сорока лет и уж, во всяком случае, не до-
стигну сорокапятилетнего возраста. . . Наступил тот год, который
должен был стать последним в моей жизни и который, напротив,
оказался ее началом, — а именно сорок четвертый год».
Луиджи Феррари. В математических занятиях Кардано с неко-
торых пор ему помогал Луиджи Феррари (1522 – 1565) . В со-
ставленном Кардано списке его 14 учеников Феррари фигурирует
как второй в хронологическом порядке и один из трех наиболее
выдающихся. Кардано, веривший приметам, пишет, что 14 ноября
1536 г., когда 14-летний Луиджи с братом прибыли в Болонью, «во
Джероламо Кардано (1501 – 1576) 25


дворе так долго вопреки обычаю стрекотала сорока, что мы все
ждали чьего-нибудь приезда». Феррари был человеком феноме-
нальных способностей. Он обладал таким бурным темпераментом,
что даже Кардано боялся временами с ним говорить. Известно,
что в семнадцать лет Феррари вернулся после одной прогулки
без единого пальца на правой руке. Он был безоговорочно предан
учителю, долгое время был его секретарем и поверенным. Вклад
Феррари в математические работы Кардано очень велик.
В 1543 г. Кардано вместе с Феррари предпринял поездку в
Болонью, где делла Наве позволил им познакомиться с бумагами
покойного дель Ферро. Они убедились, что последнему уже было
известно правило Тартальи. Интересно, что о формуле дель Фер-
ро, по-видимому, почти не знали. Вряд ли Кардано так энергично
атаковал бы Тарталью, знай он, что ту же информацию можно
получить у делла Наве (до 1543 г. он к нему не обращался). Сей-
час почти все соглашаются, что у дель Ферро была формула, что
Фиоре знал ее, а Тарталья переоткрыл ее, зная, что у Фиоре она
есть. Однако ни один из шагов в этой цепочке строго не доказан!
Кардано говорил об этом, но Тарталья писал в конце своей жиз-
ни: «. . . я могу заверить, что эта описанная теорема не была еще
доказана ни Евклидом, ни кем-либо другим, а одним лишь Дже-
роламо Кардано, которому мы ее показали. . . В 1534 г. (в другом
месте написано, что 4 февраля 1535 г. — С. Г.) я нашел в Венеции
общую формулу уравнения. . . ». Трудно свести концы с концами
в этой запутанной истории.

«Великое Искусство». Знакомство ли с бумагами дель Ферро,
сильное ли давление со стороны Феррари или, скорее всего,
нежелание похоронить результаты многолетней работы приве-
ли к тому, что Кардано включил все известное ему о кубических
уравнениях в вышедшую в 1545 г. книгу «Великое искусство
или о правилах алгебры». Ее стали называть коротко «Великое
искусство».
В предисловии Кардано излагает историю вопроса: «. . . в на-
ше время Сципион дель Ферро открыл формулу, согласно которой
куб неизвестного плюс неизвестное равен числу. Это была очень
красивая и замечательная работа. Так как это искусство превос-
ходит всю человеческую ловкость и всю ясность ума смертного, то
26 Джероламо Кардано (1501 – 1576)


его нужно рассматривать как подарок небесного происхождения,
а также как способность силы ума, и это настолько славное от-
крытие, что от того, кто мог его достигнуть, можно ждать, что он
достигнет всего. Соревнуясь с ним, Никколо Тарталья из Брешии,
наш друг, будучи вызван на состязание с учеником дель Ферро по
имени Антонио Марио Фиоре, решил, дабы не быть побежден-
ным, ту же самую проблему и после долгих просьб передал ее
мне. Я был введен в заблуждение словами Луки Пачоли, кото-
рый говорит, что нет общего решения такого рода уравнений, и,
хотя я обладал уже многими мною самим сделанными открыти-
ями, я все же не отчаивался найти то, чего я не смел искать.
Однако когда я получил эту главу и добрался до ее решения, то
я увидел, что с ее помощью можно многое сделать еще; и уже с
повышенной уверенностью в своих делах я, при исследовании, от-
крыл дальнейшее, частью сам, частью с Луиджи Феррари, моим
бывшим учеником».
В модернизированном виде способ, которым Кардано находит
решение уравнения (1), можно изложить следующим образом. Бу-
дем искать решение уравнения (1) в виде x = ???. Тогда x+? = ?
и
x3 + 3x2 ? + 3x?2 + ?3 = ? 3 . (4)
Поскольку 3x2 ? + 3x?2 = 3x?( + ?) = 3x??, равенство (4) можно
переписать в виде
x3 + 3?? = ? 3 ? ?3 . (5)
Попытаемся по паре (a, b) так подобрать пару (?, ?), чтобы (5)
совпало с (1). Для этого необходимо, чтобы пара (?, ?) была ре-
шением системы
? 3 ? ?3 = b,
3?? = a,
или равносильной ей системы
a3
3 3
? 3 + (??3 ) = b.
? · (?? ) = ? ,
27
По теореме Виета1 ? 3 и ??3 будут корнями вспомогательного
1
Сам Виет (1540 – 1603) жил позже Кардано, но тот частный случай его
теоремы, который в школе называют теоремой Виета, был, по существу, из-
вестен Кардано.
Джероламо Кардано (1501 – 1576) 27


квадратного уравнения

a3
2
y ? by ? = 0.
27
Поскольку мы ищем положительные корни уравнения (1), ? > ?.
Значит,

b2 a3 b2 a3
b b
3 3
?? = ?
?= + +, +.
2 4 27 2 4 27
Следовательно,

b2 a3 b2 a3
b b
3 3
? ?
x= + + +.
2 4 27 2 4 27

При положительных a и b корень также положителен.
Приведенная выкладка лишь в идейном отношении следует хо-
ду рассуждений Кардано. Сам он рассуждает на геометрическом
языке: если куб со стороной ? = ? + x разрезать плоскостями, па-
раллельными граням, на куб со стороной ? и куб со стороной x,
получатся, кроме двух кубов, три прямоугольных параллелепипе-
да со сторонами ?, ?, x и три — со сторонами ?, x, x; соотношение
между объемами дает (4); для перехода к (5) параллелепипеды
разных типов попарно объединяются. «Так как я сознавал, что
тот отдел, который передал мне Тарталья, был открыт им при
помощи геометрического доказательства, то я думал, что это и
есть царский путь, ведущий ко всем другим отделам». Возможно,
Кардано было известно аналогичное рассуждение для квадратно-
го уравнения, принадлежащее Ал-Хорезми.
Уравнение (2) можно решить при помощи подстановки x =
? + ?, но здесь уже может возникнуть случай, когда исходное
уравнение имеет три действительных корня, а вспомогательное
квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это так
называемый неприводимый случай. Он доставил много хлопот
Кардано (и, вероятно, Тарталье).
Кардано решил уравнение (3), проведя смелое по тем време-
нам рассуждение, обыгрывающее отрицательность корня. Никто
28 Джероламо Кардано (1501 – 1576)


до него не пользовался так решительно отрицательными числа-
ми, хотя и Кардано еще далек от свободного обращения с ними:
уравнения (1) и (2) он рассматривает отдельно!
Кардано полностью разобрался и с общим кубическим уравне-
нием x3 + ax2 + bx + c = 0, заметив, говоря на современном языке,
что подстановка x = y ? a/3 уничтожает член с 2 .
Кардано решается рассматривать не только отрицательные
числа (он называет их «чисто ложными»), но и комплексные (их
он называет «поистине софистическими»). Он замечает, что ес-
ли с ними оперировать по некоторым естественным правилам, то
квадратному уравнению, не имеющему действительных корней,
можно приписать комплексные корни. Возможно, к комплексным
числам Кардано пришел в связи с неприводимым случаем. (Это
предполагает, например, Н. Бурбаки.) Если в этом случае «не пу-
гаясь» выполнить все действия над возникающими в процессе
вычислений комплексными числами, то в результате получатся
правильные значения вещественных корней. Но нет никаких ука-
заний на то, что Кардано вышел в своих рассмотрениях за пре-
делы квадратных уравнений. Однако приведенное рассуждение о
кубическом уравнении вскоре появилось — у Рафаэля Бомбелли
(1526 – 1573), последователя Кардано — инженера-гидравлика из
Болоньи и автора знаменитой «Алгебры» (1572 г.).
Кардано понимал, что кубическое уравнение x3 +ax2 +bx+c =
= 0 может иметь три вещественных корня, и что тогда их сумма
равна ?a. В такого рода общих утверждениях у Кардано не бы-
ло предшественников. В алгебре в отличие от геометрии почти
не приводили доказательств (в школьной математике следы это-
го сохранились по сей день!). Вот еще одно наблюдение Карда-
но: если в уравнении (с положительными коэффициентами) все
члены в левой части имеют большую степень, чем все члены в
правой, то имеется единственный положительный корень. От «Ве-
ликого искусства» идет целый ряд важных для алгебры понятий,
например, кратность корня. Вообще, значение Кардано в исто-
рии математики определяется в первую очередь не конкретными
достижениями (которых у него не очень много), а тем, что в «Ве-
ликом искусстве» он увидел путь, по которому будет развиваться
алгебра.
Джероламо Кардано (1501 – 1576) 29


Замечание о формуле Кардано. Проанализируем формулу для ре-
шения уравнения x3 + px + q = 0 в вещественной области. В отли-
чие от Кардано мы можем себе позволить не следить за знаками
p и q. Итак,

q2 p3 q2 p3
q q
3 3
?+ ??
x= + + +.
2 4 27 2 4 27
При вычислении x нам приходится извлекать вначале квадратный
корень, а затем кубический. Мы сможем извлечь квадратный ко-
рень, оставаясь в вещественной области, если ? = 27q 2 + 43 > 0.
Два значения квадратного корня, отличающиеся знаком, фигу-
рируют в разных слагаемых для x. Значение кубического корня
в вещественной области единственно и получается единственный
вещественный корень x при ? > 0.
Исследуя график кубического трехчлена x3 + px + q, нетрудно
убедиться, что он в самом деле имеет единственный веществен-
ный корень при ? > 0. При ? < 0 имеются три вещественных
корня. При ? = 0 имеется двукратный вещественный корень и
однократный, а при p = q = 0 — трехкратный корень x = 0.
Продолжим исследование формулы при ? > 0 (случай одного
вещественного корня). Оказывается, что если при этом уравне-
ние с целыми коэффициентами имеет целочисленный корень, при
вычислении его по формуле могут возникнуть промежуточные
иррациональности. Например, уравнение x3 + 3x ? 4 = 0 имеет
единственный вещественный корень x = 1. Формула Кардано да-
ет для этого единственного вещественного корня выражение
v v
3 3
2?
x= 2+ 5+ 5.
Значит,
v v
3 3
2?
2+ 5+ 5 = 1,
но попробуйте это доказать непосредственно! Возможно, вы най-
дете искусственный путь, но при прямых преобразованиях будут
возникать неистребимые кубические радикалы.
Быть может, это обстоятельство объясняет, почему Фиоре не
смог решить предложенное Тарталья кубическое уравнение. Ве-
роятно, его можно было решить, угадав ответ (что имел в виду
30 Джероламо Кардано (1501 – 1576)


Тарталья), а рецепт дель Ферро приводил к промежуточным ир-
рациональностям.
Еще запутаннее ситуация в случае трех вещественных корней.
Этот случай называется неприводимым. Здесь ? = 27q 2 +43 < 0, и
под знаками кубических корней получаются комплексные числа.
Если извлечь кубические корни в комплексной области, то после
сложения мнимые части уничтожаются и получатся веществен-
ные числа. Но как свести все к операциям над вещественными
v
числами? Например, извлечение квадратного корня a + ib мож-
но свести к чисто вещественным операциям над a и b. Если бы так
v
обстояло дело с вычислением 3 a + ib = u + iv, то все было бы в
порядке. Но при выражении u, v через a, b возникают снова куби-
ческие уравнения, причем в неприводимой ситуации. Получается
заколдованный круг! В результате в неприводимом случае нельзя
найти выражение для корней через коэффициенты, не выводя-
щие за пределы вещественной области. В этом смысле кубическое
уравнение с тремя вещественными корнями неразрешимо в ради-
калах в вещественной области (в отличие от квадратного). На это
обстоятельство часто не обращают должного внимания.
Уравнение 4-й степени. В «Великом искусстве»был отражен и
личный вклад Феррари — решение уравнения 4-й степени.
На современном языке метод Феррари решения уравнения
x4 + ax2 + bx + c = 0 (6)
(полное уравнение четвертой степени легко сводится к уравне-
нию (6)) состоит в следующем.
Введя вспомогательный параметр t, перепишем уравнение (6)
в равносильной форме:
a2
a 2
2 2 2
= 2tx ? bx + t + at ? c +
x + +t . (7)
2 4
Подберем теперь значение параметра t так, чтобы квадратный
(относительно x) трехчлен, стоящий в правой части уравнения (7),
имел два совпадающих корня. Для этого нужно, чтобы дискри-
минант этого трехчлена равнялся нулю:
a2
2 2
b ? 4 · 2t t + at ? c + = 0.
4
Джероламо Кардано (1501 – 1576) 31


Мы получили вспомогательное кубическое уравнение для t. Най-
дем по формуле Кардано какой-нибудь его корень t0 . Уравне-
ние (7) можно теперь переписать так:

a b
2 2
2
x?
x + + t0 = 2t0 (8)
2 4t0

Уравнение (8) распадается на пару квадратных уравнений, даю-
щих четыре искомых корня.
Таким образом, согласно методу Феррари, решение уравнения
четвертой степени сводится к решению вспомогательного кубиче-
ского уравнения и двух квадратных уравнений.
Феррари и Тарталья. После встречи в 1539 г. Кардано и Тарта-
лья переписывались мало. Однажды ученик сообщил Тарталье,
что, по слухам, Кардано пишет новую книгу. Тарталья сразу пи-
шет Кардано предостерегающее письмо, но получает успокаива-
ющий ответ. В другой раз Кардано захотел получить разъясне-
ния, натолкнувшись на неприводимый случай, но ничего содер-
жательного в ответ не получил. Нетрудно себе представить, какое
впечатление произвел на Тарталью выход в свет «Великого ис-
кусства» (1545 г.). В последней части своей книги «Проблемы и
различные изобретения» (1546 г.) Тарталья публикует перепис-
ку и записи бесед, относящихся к взаимоотношениям с Карда-
но, и обрушивается на него с бранью и упреками. Кардано не
реагирует на выпад, но 10 февраля 1547 г. Тарталье отвечает
Феррари. Он возражает против упреков Тартальи, указывает на
недочеты в его книге, в одном случае упрекает его в присвоении
чужого результата, в другом находит повторения, свидетельству-
ющие о плохой памяти (похоже, что по тем временам это тяжелое
обвинение). В заключение Тарталья вызывается на публичный
диспут по «геометрии, арифметике или связанным с ними дис-
циплинам таким, как Астрология, Музыка, Космография, Пер-

<< Пред. стр.

страница 3
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign