LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 29
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

с «Аналитической механикой», это вершина творчества Лагран-
жа.
В XVI веке подряд были открыты формулы для решения урав-
нений 3 и 4 степеней, а потом два века не удавалось найти форму-
лу для уравнения 5 степени. Появлялось немало замечательных
задач, которые отвлекали математиков от этой загадочной про-
блемы и утешали. Однако немало достойных математиков, среди
них — Лейбниц (1646 – 1716) и Эйлер, не теряли надежды. Все
чувствовали, что хорошо бы вместо того, чтобы искусственно по-
лучать формулу для каждой степени, как это было фактически,
найти единый прием, который годится для всех степеней. Чирн-
гауз (1651 – 1708) сообщает своему другу Лейбницу, что ему уда-
лось придумать универсальную подстановку, которая преобразует
общее уравнение n-й степени в двучленное y n + a = 0 (а ведь это и
нужно для решения в радикалах!). Эта подстановка дает извест-
ную формулу для n = 3 и годится для n = 5. Лейбниц вынуж-
ден огорчить друга: при n = 5 для нахождения коэффициентов
подстановки придется решать уравнения более высокой степени,
чем 5. Потом Эйлер обнаружил, что при n = 3 иv = 4 формулу
n v
удается получить, делая подстановки вида x = A + . . . + n F ,
n


но продвинуться дальше и ему не удалось.
Ситуация несомненно требовала более глубокого продумыва-
ния, и кому, как не Лагранжу, было взяться за это дело. Ведь
он уже проявил себя непревзойденным мастером добираться до
глубинного существа проблемы, выявлять общую структуру там,
где другим видятся разрозненные ситуации. Он начинает с ис-
следования формул при n 4, обращая особое внимание на вы-
ражения, стоящие под знаками радикала n-й степени. Для квад-
Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813) 277

a2
ратного уравнения x2 + ax + b = 0 это ? = ? b, для куби-
4
b2 a3
b
ческого x3 + ax + b = 0 это ?± = ? ± + (причем
2 2 3
x = 3 ?+ + 3 ?? ). Величины ?± являются корнями квадратного
уравнения, коэффициенты которого рационально (т. е. при помо-
щи арифметических операций) выражаются через коэффициенты
исходного уравнения. Лагранж ищет выражение ?± через корни
x1 , x2 , x3 и замечает, что ? = x1 + x2 ? + x3 ?2 , где ? — какой-то
корень уравнения y 3 = 1, отличный от 1.
Здесь следует остановиться и обсудить, какой же корень имеет
в виду Лагранж. Сегодня ответить на это вопрос не представляет v
1 3
труда, поскольку имеются два комплексных корня ?± = ? ±i ,
2 2
но Лагранж не имел возможности работать с комплексными кор-
нями (этому в нужном объеме научились позднее). И все же он
решительно оперирует с «воображаемыми» корнями в твердой
уверенности, что у кубического уравнения всегда три корня (с
учетом кратностей). Н. Бурбаки пишет: «. . . Лагранж, как Эйлер
и все их современники, без всяких сомнений формально оперирует
с полем корней“ многочлена (или, говоря его языком, рассмат-

ривает воображаемые корни“ этого многочлена), хотя матема-

тика его времени не содержала ничего, что могло бы оправдать
такой способ рассуждений. Поэтому Гаусс, который с самого на-
чала был решительным противником безудержного формализма
XVIII века, со всей силой обрушивается в своей диссертации на
это злоупотребление».
Итак, два корня из 1 дают ?± . На самом деле мы не имеем
возможности различить заранее корни x1 , x2 x3 , но, как бы мы
их ни занумеровали, функция ?(x1 , x2 , x3 ) = x1 + x2 ? + x3 ?2 при
любых их перестановках (а их 3! = 6) будет принимать только
два значения ?± . Это — решающее наблюдение Лагранжа! Для
квадратного уравнения ? = (x1 ? x2 )2 и вообще не меняется при
перестановке корней. В случае уравнения 4 степени под радика-
лом 4 степени возникают выражения вида x1 x2 + x3 x4 , где xj —
корни, и они при 4! = 24 способах нумерации корней могут при-
нимать только три различных значения.
При этом легко проверяется, что если имеется функция, ра-
278 Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813)


ционально выражающаяся через корни уравнения n-й степени и
принимающая только q значений при всевозможных перестанов-
ках корней, то эта функция является корнем уравнения степени q,
коэффициенты которого рационально выражаются через ко-
эффициенты исходного уравнения. Это наблюдение Лагранж
называет «истинным принципом и, так сказать, метафизикой
уравнений 3 и 4 степени». Именно поэтому решение кубическо-
го уравнения сводится к квадратному, а уравнения 4 степени —
к кубическому.
Выходит, надо искать рациональные функции от корней, ко-
торые принимают q < n значений при всевозможных перестанов-
ках. Но этому очень мешает быстрый рост числа перестановок с
ростом n. Прежде всего можно заметить, что коэффициенты ис-
ходного уравнения являются рациональными функциями корней,
вообще не меняющимися при перестановках корней (q = 1), но
надо искать менее тривиальные возможности. Лагранж называ-
ет резольвентами выражения x1 + x2 ? + . . . xn ?n?1 , где ? = 1 —
корень из единицы, наподобие тех, что участвовали в формулах
для квадратного и кубического уравнения. Их отсутствие для бик-
вадратного уравнения естественно связать с непростотой числа 4.
Можно было ожидать, что что резольвенты должны были бы по-
явиться и в формулах для уравнений более высокой степени, но
вот что показывают вычисления: функция ?(x1 , . . . , xn ) прини-
мает при перестановках (n ? 1)! значений. Имеем (n ? 1)! < n при
n 3. Итак, ? — корень уравнения степени (n ? 1)! с коэффици-
ентами, рационально выражающимися через исходные.
Можно видоизменить это утверждение для простого n: ? яв-
ляются корнями уравнения степени n ? 1, коэффициенты кото-
рого, в свою очередь, суть корни уравнения степени (n ? 2)! с
коэффициентами, рационально выражающимися через исходные.
В случае n = 5 коэффициенты уравнения 4 степени являются
корнями уравнения 6 степени. Становится понятно, откуда воз-
никали уравнения больших степеней в построениях Чирнгауза и
Безу! Вывод Лагранжа: «Отсюда следует, что весьма сомнитель-
но, чтобы методы, которые мы рассмотрели, могли дать полное
решение уравнения пятой степени».
Далее естественно не ограничиваться резольвентами и выяс-
нить, нет ли других функций от корней, принимающих небольшое
Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813) 279


число q значений. Ради этого Лагранж исследует группу переста-
новок, по существу закладывая основы теории групп. Как только
появилась групповая терминология, ряд утверждений Лагран-
жа автоматически превратился в теоремы теории групп. Пусть
функция ?(x1 , . . . , xn ) от корней принимает при перестановках
q значений; тогда имеется подмножество (подгруппа!) из n!/q
перестановок, которые функцию ? не меняют. Отсюда следует,
в частности, что q — делитель n!. Поэтому существенно изучить
подгруппы в группе перестановок. Если описать все «большие»
подгруппы в этой группе, а именно подгруппы из 5!/q элемен-
тов, где 1 < q < 5 то будут описаны все функции от корней,
принимающие q < 5 значений. Здесь Лагранж остановился.
Он не сомневается, что это единственный способ получения
формул, но окончательных результатов не получает: «Вот, если я
не ошибаюсь, истинные принципы решения уравнений и анализ,
наиболее пригодный, чтобы привести к решению; как мы виде-
ли, все сводится к некоторому исчислению комбинаций, с помо-
щью которого получаются априори результаты, которые следует
ожидать».
Группу перестановок подробно исследовал Коши. Руффини
(1765 – 1822) доказал отсутствие нетривиальных функций от кор-
ней уравнений 5 степени, принимающих меньше 5 значений, бу-
дучи уверен, что он доказал неразрешимость уравнения 5 степени
в радикалах. Однако оставалось доказать, что существование та-
ких функций в самом деле необходимо для существования нуж-
ной формулы. Полное доказательство неразрешимости дал Абель
(1802 – 1829). А перед этим была работа Гаусса о построении пра-
вильных многоугольников циркулем и линейкой или, что эквива-
лентно, о выражении корней уравнения y n ? 1 = 0 при помощи
квадратных радикалов. В ней головоломные трюки с перестанов-
ками корней позволили решить задачу двухтысячелетней давно-
сти. Проблема разрешимости алгебраических уравнений нашла
окончательное решение в теории Галуа (1811 – 1832). Но первым
был Лагранж. . . Впрочем, связь корней с перестановками при-
мерно в то же время обнаружил Вандермонд (1735 – 1796). Хотя
он и сделал меньше, он увидел главное, и несправедливо, что в
истории математики тень Лагранжа заслонила заслуги этого уче-
ного.
280 Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813)


Кризис. Математика была единственной страстью Лагранжа, и
ее было достаточно, чтобы заполнить всю его жизнь, доставить
ему немало счастливых минут. Все было подчинено занятиям на-
укой. Деламбр передает отношение Лагранжа к музыке: «Я ее
люблю, поскольку она меня изолирует; я слышу первые три такта,
на четвертом такте не различаю ничего, я предаюсь своим раз-
мышлениям, ничто меня не прерывает, и тогда я решаю наиболее
трудные из проблем». Для Лагранжа было характерно, что вели-
кие цели познания истины, мировой гармонии не переплетались у
него с личными амбициями, с желанием соревноваться, обгонять
современников. Если он узнавал, что кто-то успешно занимается
проблемой, над которой он сам думал, он немедленно прекращал
размышления с искренним ощущением «освобождения от обязан-
ности». Благодаря этому Лагранжу было присуще необычайное
душевное равновесие, дававшее силы стойко переносить тяготы
жизни, не прекращать напряженных занятий.
Лишь одно могло поколебать Лагранжа — потеря ориентиров,
неуверенность в выборе правильных целей. И это ощущение на-
чинает появляться вскоре после переезда в Берлин. В 1772 г. он
пишет Даламберу: «Не кажется ли Вам, что высшая геометрия
близится отчасти к упадку, ее поддерживаете только Вы и Эй-
лер». Это пишет ученый, который находится в расцвете сил (ему
36 лет), у которого начинает складываться его «Аналитическая
механика», и который только что опубликовал алгебраический ме-
муар, определивший развитие алгебры на 100 лет вперед!
Это высказывание заслуживает обдумывания. Разумеется, Ла-
гранж видел, чем ему заниматься в ближайшие 10 – 15 лет, но
более далекие перспективы представлялись ему сомнительными.
А возможно, стали сказываться особенности стиля занятий Ла-
гранжа. Он наметил основные направления в молодости, с из-
вестной долей консерватизма следовал им, и не без оснований
надеялся на выполнение поставленных задач в обозримом буду-
щем. Вероятно, ощущение конца математики не могло возникнуть
у Эйлера, который всю свою долгую научную жизнь активно ис-
кал новые задачи, переходил от одной задачи к другой, не боясь
многое оставить незавершенным. Стоит обратить внимание, что
Лагранж не решается поставить себя в один ряд с Эйлером и Да-
ламбером. Это не проявление формальной скромности. Характер-
Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813) 281


но также, что он завидовал своим современникам, которые легко
умели находить новые задачи, например, Монжу (1746 – 1818):
«Этот черт Монж всегда полон новых и смелых идей» или «Этот
пострел со своей теорией образования поверхностей идет к бес-
смертию».
Ощущение заката математики не покидает Лагранжа. 21 сен-
тября 1781 г. он опять пишет Даламберу: «Я начинаю чувство-
вать силу моей инерции, которая понемногу увеличивается, и я
не могу сказать с уверенностью, что в течение будущего деся-
тилетия я еще буду заниматься математикой. Я думаю также,
что шахта становится слишком глубока, и что ее придется рано
или поздно бросить, если не будут открыты новые рудоносные
жилы. Физика и химия представляют ныне сокровища гораздо
более блестящие и более легко эксплуатируемые; таким образом,
по-видимому, все всецело обратились в эту сторону, и возможно,
что места по геометрии в Академии Наук сделаются когда-нибудь
тем, чем являются в настоящее время кафедры арабского языка
в университетах».
Может возникнуть естественное недоумение. Что касается
аналитической механики, то намеченное близилось к концу, но в
алгебре пока лишь был разработан язык, получены прикидочные
результаты, но программа еще была достаточно неопределенной,
и нужно было разворачивать работу. Но таковы законы психо-
логии научного творчества: один человек не может двигаться
по трудной дороге бесконечно далеко. Материал должен был
отстояться, да и нужен был результат типа результата Гаусса,
подтвердившего на примере высокую эффективность работы с
перестановками корней. Для Абеля и Галуа принципиальна была
и работа Лагранжа, и работа Гаусса.

В Париже. Предчувствие не обмануло Лагранжа. В 1787 году,
вскоре после смерти Фридриха II, он переехал в Париж и, по
существу, прекратил активные занятия математикой. Лагранжу
51 год. В один 1783 год мир лишился и Эйлера, и Даламбера.
Лагранжа восторженно встречают французские ученые, теперь
он несомненно «первый геометр Европы», и лишь Лаплас может
всерьез конкурировать с ним. К Лагранжу неравнодушны при
дворе. Он необычно легко отвлекается от геометрии в пользу за-
282 Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813)


нятий философией, химией, историей, медициной. Может быть,
Лагранж надеялся начать новую жизнь в науке? Обстановка в
Париже располагала к разнообразной научной деятельности. Про-
цветали научные кружки, были популярны контакты между уче-
ными разных специальностей. Особенно активен в установлении
таких связей был химик Лавуазье (1743 – 1794). Ученые активно
интересовались общественными проблемами, ролью науки в жиз-
ни государства.
Лагранж не оставил математику: еще будут появляться его
работы, он будет активно интересоваться работами других, мы
будем еще говорить о его педагогической деятельности, об ори-
гинальных учебниках, но пик его научной деятельности уже
прошел. К тому же вскоре наступило время, когда большинство
французских ученых (за исключением, возможно, Лапласа) пре-
рвали свои обычные занятия.
Впереди была революция, в которой ученые приняли самое
активное участие. Никогда прежде не представлялась для них
возможность непосредственно влиять на жизнь страны. Они вхо-
дят в муниципалитет, Учредительное и Законодательное собра-
ния; астроном Байи становится мэром Парижа, математик Лазар
Карно возглавляет оборону Франции (его называли «организа-
тором побед»), а Монж становится морским министром. Резко
активизировалась и деятельность ученых, направленная на ре-
шение практических задач.
Лагранж держится в стороне от политики. Закон 1793 г. пред-
писывает иностранцам покинуть Францию, но специальный де-
крет Комитета общественного спасения делает для Лагранжа ис-
ключение. В самые трудные дни он не покидает Франции, разде-
ляя судьбу своих коллег. Участие в политической жизни стоило
жизни Байи и Кондорсе. Лавуазье был казнен как откупщик. Ла-
гранж пристально наблюдает за происходящим. Деламбр сохра-
нил слова Лагранжа, сказанные после гильотинирования Лавуа-
зье: «Нужен был один момент, чтобы снести эту голову, и, может,
будет недостаточно ста лет, чтобы появилась подобная».
Как ученый, Лагранж добросовестно выполняет все поруче-
ния. Постепенно размножились многочисленные комиссии и бю-
ро, в которые было принято включать ученых. Он занимается
проблемами ремесленных промыслов, измерением долготы на мо-
Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813) 283


ре, оценивает запасы хлеба и мяса в стране, чтобы оценить вероят-
ность возникновения голода. Пишет работу с расчетом взрывной
силы пороха в орудийном стволе (она не было опубликована при
жизни автора, возможно, это была одна из первых засекреченных
научных работ).
Особенно энергично ученые были включены в работу Комис-
сии мер и весов. Сегодня непросто уяснить, почему во время голо-
да и разрухи, при постоянной военной опасности такое колоссаль-
ное внимание уделялось реформе системы мер и весов. Разнобоем
в системе мер объясняли многие беды, с большим эмоциональным
накалом говорили о том, что несовершенство мер — средство экс-
плуатации народа. Еще одна сторона дела заключалась в том, что
неудобство системы мер — проблема интернациональная, и удач-
но созданная система могла бы послужить укреплению престижа
революции на международной арене. С этой точки зрения важно
было выбрать единицы, не связанные ни с какими национальны-
ми традициями. Епископ города Отена Талейран, будущий на-
полеоновский дипломат, предложил воспользоваться идеей, вос-
ходящей к Гюйгенсу, и взять за основу длину секундного маят-
ника, т. е. маятника с периодом колебаний, равным одной секун-
де. Но восторжествовала идея принять за единицу длины долю
меридиана.
Работы были задуманы на высочайшем уровне. Лавуазье и Га-
юи измерили вес воды; начались геодезические измерения, на ко-
торые не было средств, им мешали взаимоотношения с Испанией,
да и положение на местах в самой Франции. Но революционному
конвенту не терпелось ввести систему мер «на все времена, всем
народам» (девиз, позднее выгравированный на эталоне метра).
Проблемы метрической системы обсуждаются в Конвенте в 1793 г.
наряду с самыми острыми вопросами. Комиссия обвиняется в мед-
лительности, и некоторые ее члены изгоняются «по недостатку
республиканской добродетели и ненависти к тиранам» — такого
обвинения могло хватить для того, чтобы попасть на гильотину!
Обязанности Лагранжа в комиссии носили не столь острый,
теоретический характер. Он занимался выбором базиса для новой
системы и предлагал взять за основу простое число 11. Он считал
важным, чтобы какие-то доли основной единицы не превратились
со временем в самостоятельные единицы. В конечном счете все
284 Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813)


было построено на основе десятичной системы.
Закрытая на время Академия возрождается в виде Институ-
та Франции, и Лагранж стоит во главе физико-математического
разряда.

Педагогическая деятельность. Революционная Франция в бурные,
богатые переменами 1793 – 95 годы много внимания уделяла ре-
форме образования. «После хлеба просвещение есть важнейшая
потребность народа» — провозгласил Дантон. О народном образо-
вании думали не меньше, чем о снабжении народа хлебом. Ор-
ганизуются Нормальная школа для подготовки учителей и По-
литехническая школа (первоначально она называлась Централь-
ная школа общественных работ) для подготовки военных инжене-
ров. Никогда прежде не занимавшийся преподаванием Лагранж
с увлечением читает лекции в обеих школах. При его интересе
к продумыванию основ, лекции — повод заново осмыслить совре-
менную математику, ее фундаментальные понятия, связи меж-
ду различными областями. Из лекций родились его книги: «Тео-
рия аналитических функций» в 1797 г. и «Лекции по исчислению
функций» в 1801 г.
Основной замысел Лагранжа красноречиво характеризует
полное название первой книги: «Теория аналитических функций,
содержащая начала дифференциального исчисления, освобо-
жденные от всякого рассмотрения бесконечно малых, исчезаю-
щих, пределов и флюксий и сведенные к алгебраическому анализу
конечных величин». Дело в том, что почти два века математи-
ки решительно пользовались бесконечно малыми, хотя понятие
это оставалось расплывчатым и не существовало убедительных
обоснований правил работы с ними. Однако было несомненно,
что разработанный формализм позволяет получать правильные
результаты, которые на другом пути получать не удавалось, и
отказаться от языка бесконечно малых (что предполагалось по-
началу) было уже невозможно. Непозволительно долго ситуация
оставалась запутанной.
В 1784 г. Берлинская академия предлагает в качестве темы для
конкурса построить «ясную и точную теорию того, что в мате-
матике называют бесконечным. Известно, что высшая геометрия
постоянно принимает бесконечно большие и бесконечно малые.
Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813) 285


Однако древние геометры и даже аналисты тщательно избегали
всего, что касается бесконечного, и великие современные анали-
сты признают, что выражение бесконечная величина“ противо-

речиво. Академия поэтому желает получить объяснение того, как
из противоречивого допущения было выведено столько истинных
теорем, и чтобы был указан верный, ясный, словом — подлинно
математический принцип, который мог бы заменить бесконечное,
не делая слишком трудными или долгими производимые при по-
мощи этого средства исследования». Инициатором конкурса, несо-
мненно, был Лагранж.
Его точка зрения заключалась в том, что понятие бесконеч-
но малой в самом деле является противоречивым, но исчисление
построено так удачно, что возникающие ошибки взаимно компен-
сируются и всегда получается правильный ответ. Еще во II томе
«Туринских записок» за 1760 – 61 г. Лагранж писал, что исчис-
ление «исправляет само собой принимаемые в нем ложные до-
пущения». Как писал Клейн (1849 – 1925), он «отказывался от
анализа как от общей дисциплины, понимая под ним просто со-
брание формальных правил, относящихся к частным специаль-
ным функциям», и «такое самоограничение устраняло для того
времени целый ряд затруднений». Итак, точка зрения Лагранжа
состояла в том, что сделать исчисление бесконечно малых содер-
жательным принципиально нельзя, что нужно смотреть на него
формально, каким-то образом убедиться, что ошибки в самом де-
ле компенсируются, и спокойно пользоваться исчислением.
Мы вновь сталкиваемся с готовностью математиков XVIII ве-
ка иметь дело с чисто формальными процедурами (мы уже гово-
рили о работе с «воображаемыми» корнями уравнений). В XX ве-
ке аналогичная точка зрения возродилась в рамках программы
Гильберта обоснования математики, в которой бесконечности вос-
принимаются как формальные объекты, и нужно лишь убедить-

<< Пред. стр.

страница 29
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign