LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 28
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

В чем же тогда новизна задуманного Лагранжем? В том, что
он последовательно довел до конца намеченное его предшествен-
никами, превратил их замечательные этюды в универсальный
рабочий аппарат. Он достаточно скромно оценивает свою про-
грамму и ни в коей мере не сопоставляет себя с Ньютоном, «на
Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813) 267


долю которого выпало счастье объяснить мировую систему».
Лагранж тщательно изучает и излагает на страницах «Ана-
литической механики» предшествующие работы. Исторические
страницы являются украшением книги. Впрочем, Лагранжу
ставили в упрек, что в этот обзор попали определения основ-
ных механических понятий и они оказались недостаточно про-
работаны.
Итак, начало своей механики Лагранж «собирает» из того, что уже
сделали другие. Механика делится на статику и динамику. Мы уже
говорили о двух началах статики: принципах рычага и сложения дви-
жений. К ним еще присоединяется принцип виртуальных (возможных)
скоростей (его теперь чаще называют принципом виртуальных переме-
щений или виртуальных работ), который восходит к Галилею и разраба-
тывался Стевином, братьями Бернулли, Даламбером. Принцип состоит
в том, что в условиях равновесия равна нулю работа всех сил на любых
бесконечно малых перемещениях, совместимых со связями, наложенны-
ми на элементы механической системы. Лагранж «лишь» записывает
это условие в виде аналитического уравнения и стремится доказать не
только работоспособность принципа, что уже было сделано другими,
но прежде всего его универсальность, достаточность для обоснования
всей статики. «Получив эту общую формулу, Лагранж с искусством,
едва ли не ему одному присущим и, может быть, доселе непревзойден-
ным, развивает из этой формулы общие свойства равновесия сил и дает
решение главнейших задач статики. . . » (А. Н. Крылов). Очень поучи-
тельно также предложенное в книге обоснование принципа при помощи
рассмотрения системы блоков.
Переходя к динамике, Лагранж эксплуатирует идею Даламбера о
свед?нии динамики к статике. В несколько ином варианте ее на кон-
е
кретных задачах разрабатывали Герман и Эйлер. Речь идет о том,
что если отделить ту часть сил, которая не направлена на движение,
а уравновешивается реакциями связей (Даламбер говорил о потерян-
ных побуждениях к движению), то эти силы удовлетворяют условию
на силы, под действием которых тело находится в равновесии. Исходя
из этого Лагранж получает из основного уравнения для статики основ-
ное уравнение для динамики. Это эмоциональная вершина книги. Цель
дальнейшего — продемонстрировать, что из основного уравнения (одной
формулы!) может быть выведена вся механика.
Реализация этой программы начинается с вывода из основного урав-
нения всех «начал механики»: закона сохранения энергии, закона дви-
жения центра тяжести, принципа площадей. Кульминация этой части —
вывод принципа наименьшего действия из основного уравнения. Ла-
гранж понимает, что, в свою очередь, его уравнение можно вывести из
268 Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813)


принципа наименьшего действия, и, возможно, его более ранние планы
состояли в построении аналитической механики на основе этого прин-
ципа. Сегодня именно этот способ построения наиболее распространен,
Лагранж же предпочел начинать с основного уравнения. Возможно,
здесь сыграли роль тактические соображения: современники еще не бы-
ли готовы к восприятию вариационного изложения механики.
Следующая задача Лагранжа — научить работать с основным урав-
нением. Главное — учесть связи, наложенные на точки системы. По этой
причине удобно перейти от декартовых координат точек, на которые на-
ложены соотношения, к каким-то обобщенным координатам, которые
уже могут меняться независимо. Это может быть угол отклонения ма-
ятника или широта и долгота точки, двигающейся по сфере. Лагранж
показывает, что для произвольных независимых координат уравнение
движения записывается через кинетическую энергию T и потенциаль-
ную энергию U системы, причем достаточно их разности L = T ? U —
функции Лагранжа. Эти уравнения называют теперь уравнениями Ла-
гранжа второго рода.
Уравнения первого рода относятся к случаю, когда связи не уда-
ется или нежелательно разрешать до конца, т. е. остается несколько
уравнений на координаты. Лагранж показывает, как написать уравне-
ния движения через уравнения связей, причем в эти уравнения входят
величины, которые можно интерпретировать как силы реакции отдель-
ных связей. Так впервые появились множители Лагранжа, вероятно,
самый популярный элемент его математического наследия (мы еще по-
говорим о них ниже).
Основная часть книги посвящена реализации разработанной схемы
для ряда важных конкретных ситуаций: малые колебания, движение
тел под действием взаимного притяжения (в основном, небесная меха-
ника), несвободные движения (в частности, маятники), движение твер-
дого тела.
Лагранж реалистически оценивает возможности разработан-
ной им программы. У него нет иллюзии, что редукция механиче-
ских задач к рассмотрению дифференциальных уравнений озна-
чает решение этих задач, поскольку «они (уравнения — С. Г.) тре-
буют еще интегрирований, которые зачастую превышают возмож-
ности известного нам анализа». В связи с этим он разрабатывает
приближенные методы и с большим вниманием относится к спе-
циальным случаям, когда интегрирование может быть явно осу-
ществлено (это очень созвучно точке зрения современной матема-
тической физики). Под таким углом зрения он, вслед за Эйлером,
рассматривает
Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813) 269


задачу о вращении твердого тела — «волчка».
Лагранж был целеустремлен в доказательстве возможности
превратить механику в главу анализа, вывести всю механику из
простого общего принципа. Идея дедуктивного построения меха-
ники по образцу евклидовой геометрии не была новой. Недаром
Ньютон назвал свою книгу «Началами», а свои законы — аксио-
мами. Но никто прежде не выполнял эту программу достаточно
последовательно. Всякая последовательность сопряжена с само-
ограничениями, которые кажутся курьезными по прошествии вре-
мени, когда доказываемые предложения уже кажутся несомнен-
ными. В самом деле, зачем было Лагранжу совсем отказываться
от чертежей или во всех рассмотрениях «вести родословную» от
основного уравнения? Но такова логика развития науки.
Лучше других могли оценить Лагранжа те, кто продолжал
его дело. Две стороны современной механики связаны с именами
Лагранжа и Гамильтона (1805 – 1865). Вот что писал Гамильтон:
«Лагранж, может быть, сделал больше, чем все другие аналитики,
для того, чтобы придать широту и гармонию таким дедуктив-
ным исследованиям, показав, что самые разнообразные следствия
относительно движения системы тел могут быть выведены из од-
ной основной формулы; красота разработанного таким образом
метода, высокое качество результатов делают из этого великого
произведения род научной поэмы».

Замечательная особенность конструкций Лагранжа заключалась в
том, что они нашли применения далеко за пределами механики. Лагран-
жевы уравнения появились в теории электромагнетизма. Как напишет
Пуанкаре, «Чтобы доказать возможность механического объяснения
электричества, нет надобности искать это самое объяснение, достаточно
составить лагранжевы функции T и U , представляющие обе состав-
ные части энергии, по ним составить лагранжевы уравнения и сличить
затем, согласны ли эти уравнения с законами, получаемыми экспери-
ментально».
Труд Лагранжа был образцом для Максвелла (1831 – 1879) при со-
здании аналитической теории электричества: «Лагранж поставил себе
цель свести динамику к чистому анализу. Он начинает с выражения
элементарных динамических отношений между чисто алгебраическими
величинами, и из полученных таким образом уравнений он выводит
свои окончательные уравнения путем чисто алгебраического процес-
са. Некоторые величины (выражающие взаимодействия между частями
270 Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813)


системы, поставленными в зависимость между собой физическими свя-
зями) появляются в уравнениях движения составных частей систем, и
исследование Лагранжа с математической точки зрения есть метод ис-
ключения этих величин из конечных уравнений. Следя за постепенным
ходом этих исключений, мы занимаемся вычислениями, оставляя в сто-
роне динамические идеи».
Особенно эффективным средством экспансии идей Лагранжа за
пределы механики стал принцип наименьшего действия: «Все обрати-
мые процессы, будь они по природе механического, электродинамиче-
ского или термического характера, все они подчинены одному и тому
же принципу, дающему однозначный ответ на все вопросы, касающи-
еся хода процесса. Этот закон не есть принцип сохранения энергии,
который хотя и приложим ко всем явлениям, но определяет их ход
неоднозначно; это принцип более общий — принцип наименьшего дей-
ствия» (М. Планк).
Лагранж видел свое предназначение в создании универсального
языка механики. Ради этого он в максимальной степени абстрагиро-
вался от специфики конкретных задач, столь привлекательных для его
великих предшественников. Позднее Пуассон (1781 – 1840) писал: «Же-
лательно, чтобы геометры пересмотрели основные вопросы механики с
физической точки зрения. Для того, чтобы раскрыть законы движения
и равновесия, их нужно было рассматривать с чисто отвлеченной точки
зрения; и в направлении этих абстракций Лагранж пошел настолько
далеко, насколько это можно себе представить, когда он заменил фи-
зические связи внутри тел уравнениями, связывающими координаты
отдельных их точек; в этом и состоит сущность его аналитической ме-
ханики. Но наряду с этой замечательной концепцией можно было бы
воздвигнуть теперь физическую механику. . . ».
Насыщать свою схему конкретным физическим содержани-
ем Лагранж предоставил последующим поколениям. Разработан-
ный им метод оказался прямо приспособленным к решению за-
дач техники, от которых он также полностью отвлекался при со-
здании аналитической механики. А. Н. Крылов перечисляет непо-
средственно последовавшие применения лагранжевой механики:
теория механизмов Понселе, инженерный расчет сооружений, в
частности, больших железных мостов, потребовавшихся в свя-
зи с развитием железных дорог, баллистические задачи, возни-
кающие с переходом от гладкоствольных к нарезным орудиям
(после Крымской войны), теория гироскопов. Он заканчивает:
«В 1805 году под Трафальгаром корабли Нельсона громили с ди-
станции пистолетного выстрела и сваливались на абордаж. Под
Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813) 271


Цусимой стрельба велась на дистанцию около 7 000 , в Ютланд-
ском бою — на дистанцию от 14 000 до 18 000 . С тех пор дальность
боя орудий значительно увеличена, а при таких дальностях, что-
бы достигнуть меткости, необходим целый ряд сложных гироско-
пических приборов — все они рассчитываются по лагранжевым
уравнениям.
Таких примеров из техники и физики можно привести неис-
числимое множество, но и сказанного достаточно, чтобы видеть то
значение, которое имеет знаменитое сочинение Лагранжа в общем
развитии науки и техники во всех их областях, и то, насколько Ла-
гранж был прав, что, не останавливаясь на частностях, придал
своему изложению самую общую аналитическую форму; поэтому
его методы одинаково приложимы и к расчету движения небес-
ных тел, и к качаниям корабля на волнении, и к расчету гребного
винта на корабле, и к расчету полета 16-дюймового снаряда, и к
расчету движения электронов в атоме. Отсюда можно судить о
необыкновенной гениальности создателя этих методов — Жозефа
Луи Лагранжа». Эти строки были написаны в 1936 г.

Небесная механика. Среди нескольких типов механических за-
дач, рассмотренных Лагранжем, несомненный приоритет имели
задачи небесной механики. Такова была система ценностей в
математике XVIII века, и ни один крупный математик не мог
пройти мимо задач, связанных с согласованием закона всемирно-
го тяготения с результатами непосредственных астрономических
наблюдений. Мы видели, что Лагранж начал заниматься этими
задачами еще в Турине и он энергично продолжил эти занятия в
Берлине. В поле зрения Лагранжа все основные проблемы небес-
ной механики. Он разрабатывает технику вычисления элементов
орбит планет и комет по трем наблюдениям. И вновь характерная
деталь: разработка метода не сопровождается ни одним конкрет-
ным вычислением орбиты. Лагранж видит свою роль лишь в
решении математической задачи, после чего метод передается в
руки вычислителей: «Я воздержусь от всяких подробностей, но я
льщу себя надеждой, что не найдется ни одного сколько-нибудь
понятливого вычислителя, который не был бы в состоянии при-
менить к комете теорию, изложенную в этом труде». Создается
впечатление, что у Лагранжа не было вкуса к конкретным зада-
272 Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813)


чам. Метод, не опробованный на практике, разумеется, несмотря
на всю его глубину, содержал слабые места. Существенная адап-
тация метода к практике связана с именем Гаусса (1777 – 1855),
который постоянно вычислял орбиты, причем ему приходилось
торопиться, чтобы наблюдатели успели найти потерянный асте-
роид или чтобы его вычисления удалось использовать для непо-
средственного наблюдения кометы. И соответствующий метод,
в существенном созданный Лагранжем, связывается с именем
Гаусса.
Основная трудность заключалась в том, что, как выяснилось,
достаточно точное описание движения небесных тел требует уче-
та взаимодействия сразу нескольких тел: на движении Луны ре-
ально сказывается взаимодействие не только с Землей, но и с
Солнцем, в движении больших планет Сатурна и Юпитера долж-
но проявляться их взаимное притяжение. Более того, сопостав-
ляя данные наблюдения, начиная с древних времен, удалось вы-
явить устойчивые отклонения от законов Кеплера — «неравен-
ства». Необходимо было выяснить, в самом ли деле эти «неравен-
ства» объясняются в рамках закона всемирного тяготения «вме-
шательством» третьих тел. Пафос «Начал» Ньютона был не толь-
ко в том, что он вывел законы Кеплера из закона всемирного тя-
готения, но и в том, что ему удалось в рамках этого закона объяс-
нить некоторые «неравенства» в движении Луны. Эстафету Нью-
тона приняли Эйлер, Клеро, Даламбер. Объяснение неравенств
оказалось делом трудным, и не раз отчаявшиеся ученые начина-
ли сомневаться в универсальности закона всемирного тяготения.
Самое естественное было бы явно решить задачу трех тел:
описать движение тройки тел, взаимодействующих согласно за-
кону всемирного тяготения. Довольно скоро стало ясно, что, по-
видимому, это сделать невозможно, но Лагранж в работе 1772 г.
максимально проясняет ситуацию. С огромным искусством он по-
казывает, что исходную систему дифференциальных уравнений
18 порядка можно преобразовать к системе 6 порядка, но вид
этой системы уже не оставлял никаких надежд на дальнейший
успех. А затем он выделяет случаи, когда интегрирование может
быть выполнено: в одном случае все три тела в начальный момент
времени находятся на прямой, в другом — в вершинах равносто-
роннего треугольника при специальных соотношениях на осталь-
Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813) 273


ные параметры. Лагранж рассматривает эти уравнения ради чи-
стой любознательности, но про них вспомнили, когда выяснилось,
что каждый из астероидов юпитеровой группы образует вместе с
Юпитером и Солнцем треугольник, близкий к равностороннему.
Следующая возможность заключалась в том, что в тройке те-
ла обычно неравноправны, и естественно рассматривать парное
взаимодействие, на которое накладывается возмущение, исходя-
щее от третьего тела. И Лагранж начинает систематически раз-
рабатывать математическую теорию возмущений, основы кото-
рой уже были заложены его великими предшественниками. При
возмущении естественно считать, что орбита остается эллипти-
ческой, но несколько варьируются ее параметры. Выделяют два
типа возмущений: периодические и вековые. Периодические воз-
мущения существенно зависят от положения тела на орбите, и
они со временем в среднем компенсируются. Вековые возмуще-
ния определяются лишь взаимным положением орбит в целом,
они могут накапливаться и приводить к неустойчивости Солнеч-
ной системы. Именно последнее обстоятельство было причиной
пристального интереса к вековым возмущениям. С другой сторо-
ны, для изучения возмущений на сравнительно коротких отрезках
времени (что необходимо в случае периодических возмущений)
было еще недостаточно наблюдательного материала, в то время
как для изучения вековых возмущений реально воспользовать-
ся неточными наблюдениями древних. Периоды возмущений мо-
гут сильно превышать периоды обращения, и долгопериодические
возмущения могут выглядеть как вековые. Важнейшая задача —
научиться различать их.
Лагранж, занимаясь проблемой вековых возмущений, отсту-
пил от своей привычки и постоянно ориентировался на явные
числовые примеры. Этими проблемами он занимался параллель-
но с более молодым, но уже зарекомендовавшим себя Лапласом
(1749 – 1827). Они чрезвычайно отличались по стилю занятий на-
укой. Для Лапласа ориентирами были совершенно конкретные
задачи небесной механики, и метод для него был лишь средством
достижения конкретных целей. Его никогда не привлекало вы-
членение метода в чистом виде, его совершенствование вне по-
требностей конкретных задач. При работе над близкими задача-
ми выявлялись сильные и слабые стороны каждого из великих
274 Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813)


ученых. Лаплас показывает, что в первом порядке отсутствуют
вековые возмущения для больших полуосей орбит Юпитера и Са-
турна (а кандидаты на эту роль оказались долгопериодическими
с огромным периодом). Лаплас уверен в справедливости анало-
гичного утверждения для всех планет, и, хотя это не означало
бы доказательства устойчивости Солнечной системы (возмуще-
ния рассматривались лишь в первом порядке), это несомненно
был бы серьезный шаг в этом направлении. Лаплас безуспешно
пытается найти общее доказательство, а Лагранж при помощи
своего общего метода получает доказательство, как выразился
Якоби, «росчерком пера».
А вот противоположный пример. Лагранж потратил много
сил, пытаясь объяснить вековое ускорение среднего движения Лу-
ны, обнаруженное в 1693 г. Галлеем (1656 – 1742), первооткрывате-
лем значительного числа известных к тому времени «неравенств».
Лагранж пробует использовать свой излюбленный трюк с непол-
ной сферичностью Луны, затем аналогичным свойством Земли.
Попробовав все казавшиеся ему мыслимыми возможности, Ла-
гранж приходит к выводу, что либо наблюдения древних содержат
принципиальные огрехи, либо вообще этот эффект необъясним
в рамках закона всемирного тяготения. Одновременно он разра-
ботал технику учета членов высшего порядка при рассмотрении
вековых возмущений. Он обнаружил, что в случае Юпитера и
Сатурна эти члены несущественны, и экстраполировал это на-
блюдение на все остальные случаи. Лаплас, имевший существенно
больший вычислительный опыт, понял, что ситуация со спутни-
ками из-за их быстрого вращения может быть существенно иной.
Он вначале обнаружил, что члены, открытые Лагранжем, дают
существенный вклад для спутников Юпитера, а затем, проделав
те же вычисления для Луны, получил ускорение Галлея.
Плодотворное научное сотрудничество Лагранжа и Лапласа
не переросло в ссору лишь благодаря удивительной тактичности и
выдержке Лагранжа. Честолюбивый, увлекающийся Лаплас неод-
нократно давал повод к обиде необоснованными претензиями и
даже некорректными поступками. Характерный эпизод произо-
шел в 1774 г., когда Лаплас, живший в Париже, ознакомился с
посланной туда работой Лагранжа о вековых возмущениях до ее
опубликования. Он быстро увидел дополнительные возможности
Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813) 275


и опубликовал свою статью, опередившую статью Лагранжа. Ла-
плас предваряет статью словами: «Я не взялся бы за это дело,
если бы не прочитал превосходную работу г. Лагранжа, прислан-
ную в Академию и имеющую появиться в следующих томах».
Он добавляет различные аргументы в пользу своей торопливо-
сти, говорит о желании поскорее познакомить публику со всеми
возможностями метода Лагранжа, но его нетактичность сомнений
не вызывает. А Лагранж. . . поблагодарил Лапласа за усовершен-
ствование его метода, поскольку «от этого науки смогут лишь
выиграть». В 1779 году Лагранж писал Лапласу: «Я рассматри-
ваю ссоры как совершенно бесполезные для преуспеяния науки
и как ведущие только к потере времени и покоя. . . ». Всю свою
жизнь он неукоснительно следовал этому правилу.

Арифметические работы. Хотя во весь берлинский период меха-
ника была главным делом Лагранжа, в его поле зрения попадают
и другие математические вопросы, в том числе несколько ариф-
метических задач. Он занимался ими под несомненным влиянием
Эйлера. Арифметике посвящено всего 9 небольших работ. Они
носят характер самостоятельных этюдов, это маленькие шедев-
ры, за которыми не просматривается намерения создать большое
полотно (что было характерно для его занятий механикой). Быть
может, это были упражнения в часы отдыха от главного дела жиз-
ни. Итак, Лагранж идет по следам Эйлера: он доказывает, что
в периодическую цепную дробь разлагаются квадратичные ир-
рациональности и только они (утверждение Эйлера, оставленное
без доказательства), продолжает исследование уравнения Фер-
ма-Пелля, занимается квадратичными вычетами, несколько про-
двинувшись в доказательстве квадратичного закона взаимности,
сформулированного Эйлером. Поучительно доказательство теоре-
мы Вильсона ((p?1)!+1 делится на p для простого p), основанное
на связи с малой теоремой Ферма и по существу использующее
многочлены над конечным полем. Популярна теорема Лагранжа
о приближении вещественных чисел рациональными. Наиболее
известный арифметический результат Лагранжа утверждает воз-
можность представить любое натуральное число можно в виде
суммы не более четырех квадратов. Это утверждение восходит к
Ферма, и его, по-видимому, пытался доказать Эйлер.
276 Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813)


Алгебраические размышления. Проблемы алгебраических уравне-
ний и их систем занимали Лагранжа в разных аспектах. Некото-
рые задачи были инспирированы его занятиями небесной механи-
кой. Он интересовался и приближенным вычислением корней, и
отделением корней, и исключением неизвестных из системы ал-
гебраических уравнений. Но одна из работ Лагранжа, по словам
Коши, знаменовала начало новой эры в алгебре.
В 1770–71 гг. вышел мемуар «Размышления об алгебраическом
решении уравнений», несомненно задуманный еще в Турине. Соб-
ственно, это целая книга, занимающая более 200 страниц. Наряду

<< Пред. стр.

страница 28
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign