LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 27
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Первые попытки открыть новое в математике привели Ла-
гранжа к открытию уже известного. Контакты с исключитель-
но оригинальным итальянским математиком графом ди Фаньяно
(1682 – 1766) помогли юноше понять, что серьезное изучение со-
временной математики должно предшествовать самостоятельной
работе. И мы видели, что первые результаты Лагранжа — это не
счастливая находка юного дилетанта, а результат напряженной
работы сложившегося профессионала. Умение всесторонне и кри-
тически осмысливать и перерабатывать предшествующий опыт
отличало научную деятельность Лагранжа с первых его шагов.
Вокруг Лагранжа сложился кружок молодых математиков и
физиков, который позднее преобразовался в Туринскую акаде-
мию наук. С 1759 г. начинают выходить «Философско-матема-
тические сборники частного Туринского научного общества», ко-
торые привыкли называть просто «Туринскими записками». Мы
уже говорили, что во II томе записок появился мемуар Лагран-
жа о вариационном исчислении, а I том содержал две его работы,
в том числе статью «Исследование о природе распространения
звука». В математическом плане здесь очень поучительны ком-
ментарии к задаче о колебании струны. В 1747 – 48 гг. эта задача
была рассмотрена тремя крупнейшими математиками того вре-
мени Даламбером (1707 – 1783), Эйлером и Даниилом Бернулли
(1700 – 1782). Между их толкованиями были существенные рас-
хождения. Даламбер, первым решивший уравнение струны, счи-
тал, что начальное положение должно описываться функцией с
258 Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813)


единым аналитическим выражением (еще не было ясно, что это
значит). Эйлер же настаивал, что эта функция может быть со-
вершенно произвольной (как бы мы сказали, непрерывной), и это
был первый случай, когда в анализе появились функции общего
вида, задаваемые графиками, а не аналитическими выражения-
ми. Наконец, Бернулли рассматривал гармонические колебания с
разными частотами и утверждал, что что произвольное колебание
разлагается в бесконечную суперпозицию гармонических колеба-
ний, во что не верили ни Даламбер, ни Эйлер.
Лагранж придумывает остроумный прием, рассматривая струну по-
стоянной плотности как предел невесомых струн с равномерно распре-
деленными одинаковыми грузами в конечном числе. Вопрос о колеба-
ниях такой струны с грузиками рассматривается элементарно. Делая
предельный переход, Лагранж подтверждает мнение Эйлера. Позднее,
повторяя это рассуждение в «Аналитической механике», он вспоминал:
«Этим именно путем я в первом томе Туринских записок“ доказал

правильность построения Эйлера, которое не было достаточно обосно-
вано». Вскоре Лагранж имел еще одну возможность убедиться в том,
насколько прав был Эйлер, настаивая на необходимости пользоваться в
анализе общими (неаналитическими) функциями: при изучении движе-
ния воздуха в трубах постоянного сечения возникали кривые, которые
в некоторой точке превращаются в прямые («смешанные» функции, по
терминологии Эйлера). Те же рассмотрения с предельным переходом
убедили Лагранжа в правоте Бернулли; он был близок к доказатель-
ству возможности разложить произвольную функцию по гармоникам (в
ряд Фурье), но точного доказательства пришлось ждать еще сорок лет.
Мы уже видели, какое одобрение у Эйлера получили первые
работы Лагранжа. Работа о струне заставила обратить на него
внимание другого из его великих современников — Даламбера:
«До свидания, сударь, Вы достойны, если я не ошибаюсь, иг-
рать великую роль в науках, и я аплодирую началу Вашего успе-
ха». Как скажет Деламбр, «среди этих знаменитейших геометров
внезапно выступает двадцатитрехлетний молодой человек, при
том не только как им равный, но как арбитр между ними, ко-
торый, чтобы прекратить трудную борьбу, указывает каждому
из них, в чем он прав и в чем он ошибается, исправляет эти
ошибки и дает истинное решение, которое хотя и было предугада-
но, но не могло быть получено». Это наблюдение точно передает
стиль статьи Лагранжа, а письма к нему Эйлера и Даламбера
Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813) 259


в самом деле отражают готовность воспринимать Лагранжа как
арбитра.

Основания статики. Лагранж был душой Туринского кружка.
Опубликованные в «Туринских записках» статьи его товарищей
несут отчетливый след сильного влияния Лагранжа. Особен-
но это относится к статье Фонсене, который был, по-видимому,
лишь соучастником предпринятого Лагранжем систематическо-
го продумывания основ механики. Потом с сюжета этой статьи
начнется его знаменитая «Аналитическая механика», и он очень
выразительно демонстрирует, как основательно Лагранж взялся
за дело.
Речь идет о сопоставлении двух важнейших начал статики: прин-
ципа рычага и принципа сложения сил, приложенных к одной точке.
Архимед положил в основу этой теории рычага аксиому о равновесии
рычага с равными плечами и грузами и о двойной нагрузке на точку
опоры в этой ситуации. Многие авторы пытались уточнить и дополнить
рассуждения Архимеда, но они, по словам Лагранжа, «нарушив просто-
ту, . . . почти ничего не выиграли с точки зрения точности». Лагранж
отмечает, что первую часть аксиомы естественно считать очевидной из
соображений симметрии: «нельзя усмотреть основания, в силу которого
один груз перетянул бы другой». Он, однако, не видит никаких логиче-
ских оснований к тому, что нагрузка на точку опоры при этом должна
быть равна обязательно сумме весов грузов: «по-видимому, все механи-
ки рассматривали это допущение как результат повседневного наблю-
дения, которое учит нас, что тяжесть тела зависит только от его массы,
но ни в какой мере не зависит от его формы». Лагранж предлагает
вывод второй половины аксиомы Архимеда из первой. Он рассматри-
вает однородную треугольную пластину ABC, где основание AB равно-
бедренного треугольника горизонтально. Вершины A, B нагружаются
равными грузами P , а вершина C — грузом 2P . Пластина опирается
на среднюю линию M N , параллельную AB (рис. 31). Она будет нахо-
диться в равновесии, что следует из рассмотрения пары рычагов AC,
CB с точками опоры M , N в силу первой части аксиомы Архимеда. Но
тогда в равновесии будет и рычаг CF , где F — середина AB, точка опо-
ры E — середина CF (в ней пересекаются M N и CF ). Значит, нагрузка
в точке F должна быть равна грузу 2P в точке C (строго говоря, здесь
применяется обращение первой части аксиомы Архимеда, которое лег-
ко выводится), а это в точности нагрузка на точку опоры в рычаге AB.
Лагранж аккуратно отмечает, что прием с рассмотрением равновесия
плоской пластины относительно стержня он почерпнул у Гюйгенса.
260 Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813)

? Далее, Лагранж рассматривает принцип сло-
жения сил, приложенных к одной точке, кото-
рый легко обосновывается при помощи рассмот-
рения сложения движений. Существенная разни-
? ¤ ца в принципах состоит в том, что в одном слу-
чае силы прикладываются к разным точкам, а
?
в другом — к одной. Тем не менее многие утвер-
ждения статики можно выводить как из одного
принципа, так и из другого. Возникает желание
вообще отказаться от принятия принципа рычага
  ?
¦
за аксиому, но Лагранжа настораживает, что все
известные выводы аксиомы Архимеда из зако-
Рис. 31. на сложения сил весьма искусственные: «. . . хотя,
строго говоря, оба принципа рычага и сложения движений всегда при-
водят к одним и тем же результатам, интересно отметить, что наибо-
лее простой случай для одного из этих принципов становится наиболее
сложным для другого».
Интуиция позволила Лагранжу безошибочно обнаружить тонкое
место, хотя он и не смог до конца объяснить его. Оно связано с взаи-
моотношением механики и геометрии. Дело в том, что закон сложения
сил, приложенных к одной точке, не зависит от аксиомы параллельных,
в то время как в пространстве Лобачевского нагрузка на точку опоры
рычага всегда превышает сумму весов приложенных грузов. В выводе
второй половины аксиомы Архимеда используется утверждение о том,
что высота равнобедренного треугольника пересекается со средней ли-
нией в ее середине, что опирается на аксиому параллельных и неверно
в геометрии Лобачевского. По-видимому, Лагранж еще не знал этого,
хотя известно, что он размышлял над проблемой пятого постулата.

Принцип наименьшего действия. Во II томе «Туринских запи-
сок» вслед за мемуаром о вариационном исчислении была по-
мещена статья Лагранжа «Приложение метода, изложенного в
предыдущем мемуаре, для решения различных задач динамики».
И здесь Лагранж следует по стопам Эйлера. В 1744 г. Мопертюи
(1698 – 1759) сформулировал очень общий и туманный принцип,
согласно которому все в природе, включая механическое дви-
жение, происходит так, чтобы некоторая величина — действие —
достигала своего минимального значения. Эйлер для случая дви-
жения точки в центральном поле превратил это неопределенное
утверждение в совершенно точное, определив действие в этом
случае как интеграл скорости по пути v ds. Лагранж обобщил
Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813) 261


принцип Эйлера на случай произвольной системы точек, между
которыми имеются связи, и которые взаимодействуют произ-
вольным образом. Определив действие в этой общей ситуации,
Лагранж, пользуясь разработанной им техникой вариационного
исчисления, решает разнообразные задачи динамики, включая
гидродинамику. У него нет сомнений, что при помощи этого
принципа можно построить все здание механики. В «Аналити-
ческой механике» он напишет: «Таков тот принцип, которому,
хоть и не вполне точно, я даю название принцип наименьше-
го действия и на который я смотрю не как на метафизический
принцип, а как на простой и общий вывод законов механики. Во
втором томе Туринских записок“ можно увидеть применение,

которое я дал ему для разрешения многих трудных проблем ме-
ханики. Это принцип, будучи соединен с принципом живых сил
и развит по правилам вариационного исчисления, даст тотчас
же все уравнения, необходимые для решения каждой проблемы».
Как напишет Фурье (1768 — 1830), «Он сводит все законы рав-
новесия и движения к одному принципу и, что не менее удивитель-
но, он их подчиняет одному методу исчисления, изобретателем
которого он сам является».

Первые астрономические работы. Мы видим, что деятельность
Лагранжа начала развиваться в рамках традиционных для ма-
тематики XVIII века вопросов, проблематики, находившейся в
сфере интересов его старших современников Эйлера и Даламбера.
Логика эпохи неминуемо должна была привести его к необходи-
мости попробовать свои силы в небесной механике. Не было более
животрепещущей проблемы, чем проблема согласования наблю-
даемого движения небесных тел с законом всемирного тяготения.
Было необходимо выяснить, с одной стороны, объяснимы ли в
рамках этого закона несомненные отклонения от законов Кепле-
ра, как тогда говорили, «неравенства», с другой стороны — чем
вызваны различные дополнительные закономерности в небесной
механике. Например, почему мы наблюдаем только одну сторону
Луны? Объяснение этого феномена Парижская Академия наук
выбирает в качестве темы для своей премии за 1764 г.
Надо сказать, что темы для академических премий в Париже
выбирались с большим вкусом, а получение такой премии ма-
262 Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813)


тематиком, особенно молодым, было очень престижным. Работа
Лагранжа удостаивается первой премии и восторженного отзыва
Даламбера: «Я прочел с большим удовольствием плоды Ваших
прекрасных работ о либрации, они достойны премии, которую
Вам вручат».
Собственно законы движения Луны были очень точно выведены из
наблюдений Кассини (1626 – 1712): ось вращения Луны неподвижна от-
носительно поверхности, период вращения и период обращения вокруг
Земли совпадают, ось вращения имеет постоянный угол с плоскостью
эклиптики (земной орбиты) и, наконец, оси вращения Луны, эклипти-
ки и лунной орбиты находятся в одной плоскости. Лагранж показыва-
ет, что из-за того, что поверхность Луны отклоняется от сферической,
притяжение Земли постепенно выравнивает периоды собственного вра-
щения Луны и вращения вокруг Земли. Лагранж близко подходит к
объяснению последнего закона Кассини, что не удавалось прежде Да-
ламберу, но ошибается в оценках. Лишь в 1780 г. ему окончательно
удается обосновать теорию Кассини.
Объяснение неравенств в движении спутников Юпитера вы-
бирается в качестве темы Парижской Академии наук за 1766 г.
Решение аналогичных вопросов для Луны принесло в свое вре-
мя славу Клеро (1713 – 1768) и Даламберу. В случае спутников
Юпитера возникают дополнительные сложности, в частности, из-
за того, что спутников несколько, а также из-за близости Са-
турна. Эйлер удивлялся, что Лагранж смог справиться с этой
задачей в работе, получившей премию: «Иррациональная фор-
мула, выражающая расстояние от Юпитера до Сатурна, не мо-
жет быть представлена достаточно сходящимся рядом, и в этом
состоит основное препятствие. Я сильно сомневаюсь, чтобы его
можно было преодолеть. . . Сейчас мне тем более интересно знать,
каким образом г-н Лагранж преодолел те же трудности в сво-
ей работе, получившей премию, и так как я не имею оснований
сомневаться в успешности его решений, то можно льстить себя
надеждой, что теоретическая астрономия в настоящее время до-
ведена до наивысшей степени совершенства». Когда через 24 года
Лаплас (1749 – 1827) вернулся к проблеме спутников Юпитера,
чтобы закончить начатое Лагранжем, он с восхищением говорил
о результатах своего предшественника, полученных при помощи
«возвышенного (sublime) анализа».
Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813) 263


Посещение Парижа. В 1766 г. Лагранжу исполнилось 30 лет. Это
был важный рубеж в его жизни. Провинциальный Турин ста-
новился тесен для научной деятельности Лагранжа. В личной
жизни он был непритязателен, отличался слабым здоровьем, его
скромность в общении с людьми нередко приобретала форму за-
стенчивости и даже нелюдимости. Но общение с коллегами он
умел ценить и использовать. Поначалу его удовлетворяли кон-
такты с товарищами по туринскому кружку, в работу которых
он вкладывал много сил и души, но этих своих коллег он давно
перерос. Не было у него систематических контактов с Фаньяно,
который был стар, а в 1766 г. умер. Он вел обширную перепис-
ку, но как много дает непосредственное общение с учеными, Ла-
гранж имел возможность убедиться во время поездки в Париж в
1755 г. Лагранж сопровождал своего друга Карачиоли, назначен-
ного посланником в Лондон. Впрочем, до Лондона Лагранж не
доехал. «Опасно заболев после обеда у аббата Нолле, на котором
Нолле угощал его кушаньями, приготовленными на итальянский
лад, Лагранж не мог поехать в Лондон, а остался для лечения
в Париже и по выздоровлении поспешил вернуться в Турин», —
вспоминал Деламбр.
Дело было в том, что в северной Италии для приготовления
пищи используют касторовое масло, предварительно сильно про-
жаренное. На кухне у Нолле, где решили приготовить обед «на
итальянский лад», воспользовались касторовым маслом без необ-
ходимой подготовки, и оно в полной мере проявило свои известные
лекарственные свойства. Однако в научном плане болезнь была
плодотворной. Лагранж много общается с крупнейшими француз-
скими математиками Даламбером (1717 – 1783), Клеро, Кондорсе
(1743 – 1794), но и среди менее знаменитых ученых были такие,
которые остались его друзьями на всю жизнь. Лагранж неодно-
кратно повторял, что эти полгода, проведенные в Париже, были
самым счастливым периодом в его жизни.
В 1766 г. Эйлер уезжает из Берлина в Петербург, освободив ме-
сто директора физико-математического класса Берлинской ака-
демии наук. Он предлагает Фридриху II в качестве своего пре-
емника Лагранжа. Эта кандидатура была энергично поддержана
Даламбером, с мнением которого король считался в еще большей
степени. Лагранжу было послано приглашение с выразительной
264 Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813)


мотивировкой: «необходимо, чтобы величайший геометр Европы
проживал вблизи величайшего из королей». Быть может, в отно-
шении себя Фридрих был прав, но вряд ли при живых и рабо-
тающих Эйлере и Даламбере Лагранж воспринимался как вели-
чайший геометр Европы. Вероятно, король несколько успокаивал
свое уязвленное самолюбие, поскольку он не смог заполучить в
свою академию Даламбера и должен был расстаться с Эйлером.
И все же несомненно, что к своему тридцатилетию Лагранж
был допущен на математический Олимп. Он уже сложился как
математик; основы всего, что он будет делать, были заложены,
стал ясен стиль его занятий, его сильные и слабые стороны. Ла-
гранж начал свою математическую жизнь как ученик Эйлера и
Даламбера в самом высоком смысле этого слова. Он продолжал
разрабатывать начатые ими проблемы, находить в них новые ра-
курсы, неведомые его учителям. Их восхищение было тому сви-
детельством. Своеобразно преломилось у Лагранжа творчество
его учителей: он усваивает постановки задач, почти угаданные
гениальной интуицией Эйлера, разрабатывает их до полной яс-
ности, оттачивая необходимые понятия и технические средства,
что было скорее характерно для Даламбера. И в дальнейшем си-
ла Лагранжа будет прежде всего не в открытии новых путей, но в
поразительной способности углубить, прояснить, дополнить един-
ственно нужными штрихами картину, которую до него пытались
нарисовать другие. И никакие трудности на этом пути Лагранжу
не были страшны.

Лагранж в Берлине. Том «Туринских записок» за 1766 – 69 гг. еще
содержит работу Лагранжа, восхитившую Эйлера: он сделал со-
вершенно ясной природу некогда угаданной Эйлером формулы
для сложения эллиптических интегралов. И, как было уже од-
нажды, Эйлер с энтузиазмом возвращается к уже оставленному
сюжету. А уже в ноябре 1766 г. Лагранж в Берлине, хотя король
Сардинии неохотно расстался с ученым. Лагранж оказался в Ака-
демии не в лучшие ее дни. Здесь не было ни Эйлера, ни Далам-
бера, ни Мопертюи. Однако здесь работал очень оригинальный
математик Ламберт (1728 – 1777), доказавший в частности, ирра-
циональность числа ?. У Лагранжа и Ламберта много точек со-
прикосновения в математике, чем-то они напоминают друг друга
Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813) 265


и по-человечески. Их дружба продолжалась десять лет до смерти
Ламберта и была очень существенна для них обоих. Нелегко было
замкнутому Лагранжу приспособиться к жизни прусского двора.
Но он, в отличие от Эйлера, смог это сделать и избежать конфлик-
тов. Лагранж ведет размеренную жизнь: внешние обязанности,
встречи, переписка занимают большую часть дня, но весь вечер
после обязательной прогулки отдан занятиям наукой в тишине, за
закрытыми дверями. Лагранж женился и в связи с этим произо-
шел обмен письмами с Даламбером. Даламбер: «Я узнал, что Вы
сделали опасный скачок. Великий геометр должен прежде всего
вычислить свое счастье. Я думаю, что результатом вычисления
не было бы супружество». Лагранж: «Я не знаю, хорошо ли, худо
ли я вычислил, или лучше — я совсем не вычислял, потому что я
поступил бы как Лейбниц, который не мог решиться на женитьбу.
Признаюсь, что я никогда не имел склонности к супружеству . . .
надо было сделать добро одной из моих родственниц; надо было,
чтобы кто-нибудь имел попечение обо мне и моих делах». Но вы-
шло так, что Лагранжу вскоре пришлось ухаживать за женой,
умиравшей от туберкулеза, и он безупречно выполнял свой долг.

«Аналитическая механика». Лагранж провел в Берлине чуть
больше двадцати лет. Это была пора его зрелости, самый про-
дуктивный период его жизни. Есть несколько великих ученых, в
наследии которых есть одна главная книга («Начала» у Ньюто-
на, «Маятниковые часы» у Гюйгенса). У Лагранжа такой книгой
была «Аналитическая механика». Она вышла в 1788 году, когда
Лагранж был уже в Париже. Но она вобрала в себя то главное,
что было сделано в Берлине, а задумано еще в Турине.
Замысел книги лучше всего усвоить из слов самого автора:
«Имеется уже несколько руководств по механике, но план это-
го сочинения совершенно новый. Я имел в виду привести всю
теорию этой науки и искусство решения относящихся к ней за-
дач к общим формулам, простое развитие которых давало бы все
необходимые для решения всякой задачи уравнения. Я надеюсь,
что тот способ, которым я старался этого достигнуть, не оставит
желать ничего большего». «Это сочинение, кроме того, будет по-
лезно и в другом отношении: оно объединит и представит с общей
точки зрения различные до сих пор уже найденные принципы,
266 Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813)


служащие для решения вопросов механики, покажет их взаим-
ную связь и зависимость и даст возможность иметь суждение об
их верности и области их применимости.» Далее, об особенно-
стях изложения: «В этом сочинении нет чертежей. Методы, в нем
излагаемые, не требуют ни геометрических построений, ни меха-
нических рассуждений, для них требуются лишь алгебраические
операции, подчиненные правильному и однообразному ходу. Лю-
бители анализа с удовольствием увидят, что механика становится
новою его отраслью, и будут мне признательны за такое расши-
рение его области».
Итак, коротко говоря, Лагранж собирается показать, что чи-
сто аналитических процедур достаточно для решения механиче-
ских задач (чтобы подчеркнуть это, Лагранж демонстративно не
пользуется чертежами), что можно предложить «однообразные»
(как мы бы сказали сегодня, алгоритмические) правила рассмот-
рения таких задач и что имеются простые общие принципы, на
которых вся механика может быть построена. Насколько ориги-
нальной была эта точка зрения? Можно вспомнить, что Эйлер
был первым, кто в своей «Механике» 1736 г. отказался от чисто
геометрических рассмотрений Ньютона в пользу аналитического
метода, основанного на рассмотрении изменения координат и си-
стем дифференциальных уравнений (Лагранж называет эту кни-
гу «первой большой работой, в которой к учению о движении был
применен анализ»). С другой стороны, вышедшая в 1743 г. «Ди-
намика» Даламбера предваряется словами: «В настоящем сочине-
нии я поставил себе двойную цель: расширить рамки механики и
сделать подход к этой науке гладким и ровным. . . Одним словом,
я стремился расширить область применения принципов, сокра-
щая в то же время их число». И Лагранж очень высоко оценил
трактат Даламбера: «. . . в нем предложен прямой и общий метод,
с помощью которого можно разрешить, или во всяком случае вы-
разить в виде уравнений, все проблемы механики, какие только
можно представить».

<< Пред. стр.

страница 27
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign