LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 26
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

в 1735 г.). Признанием заслуг Майера в решении давно стоявшей
практической задачи (см. главу о Гюйгенсе) стало присуждение
ему в 1765 году (посмертно) премии английского парламента раз-
мером в 3000 фунтов. Одновременно Эйлеру была присуждена
премия в 300 фунтов «за теоремы, при помощи которых недавно
умерший профессор Майер из Геттингена построил свои Лунные
Таблицы, позволившие достичь большого прогресса в деле нахо-
ждения долгот на море».
Много занимался Эйлер вычислением эллиптических (невоз-
мущенных) орбит комет. В частности, это относится к знаменитой
комете Лекселя 1769 г., необычайно близко подошедшей к Земле
(10 мая 1983 г. впервые за 200 лет комета подошла к Земле на
сравнимое расстояние).
Хотя Эйлеру не удалось построить теорию движения планет,
исходящую лишь из законов Ньютона и полностью согласующу-
юся с экспериментом, он верил в непоколебимость закона всемир-
ного тяготения. Когда-то после неудач с объяснением неравенств
в движении Луны Эйлер, как и другие его современники, поду-
мывал об «уточнении» закона Ньютона. Однако дальнейшее раз-
витие теории движения Луны, по словам Эйлера, показало, что
«чем более строго она согласована с законом Ньютона, тем лучше
она представляет наблюдаемые явления». Эйлер не сомневался,
248 Леонард Эйлер (1707 – 1783)


что то же справедливо и в отношении всей небесной механики.
Поучительна позиция Эйлера в отношении подхода к решению
задачи трех тел: «Я должен прежде всего заметить, что мы ни-
чего не выиграли бы, употребив какой угодно труд на интегри-
рование этих уравнений. С одной стороны, я сильно сомневаюсь,
чтобы когда-либо был найден способ для этого; а с другой сторо-
ны, если бы даже посчастливилось вывести их интегралы, то эти
интегралы были бы крайне сложны и не принесли бы почти ника-
кой пользы для употребления в астрономии. Для этой цели их все
равно пришлось бы заменять подходящими приближениями. Но
если речь идет о приближенных выражениях, то их столь же лег-
ко получить непосредственно, из дифференциальных уравнений.»

«Письма к принцессе». Взаимоотношения ученых и монарших
особ — небезынтересный сюжет в истории науки. Мы уже имели
шанс поговорить об этом. Дело не только в том, что контак-
ты с сильными мира сего бывали необходимы для обеспечения
существования ученых и их работы. Нередко они тешили се-
бя надеждой, что их знания могут способствовать воспитанию
совершенного монарха (можно вспомнить о Лейбнице и ганновер-
ском курфюрсте — будущем короле Англии, Декарте и шведской
королеве Христине). Вряд ли Эйлер имел такие планы в отноше-
нии принцессы Ангальт-Дессауской, старшей дочери маркграфа
Бранденбург-Шверинского, племянницы Фридриха II. Вероятно,
Эйлеру было приятно заниматься с любознательной смышленой
принцессой, да и ее отношение к ученому отличалось от отноше-
ния большинства родственников короля. Постепенно у принцессы
становится все меньше времени для занятий, и Эйлер решает
заполнить пробелы в уроках письмами: «Мои намерения продол-
жать с Вами занятия геометрией встречают новые препятствия,
это составляет для меня истинное горе, но я хочу восполнить
пропуски своими письмами, насколько это возможно по сущности
предмета». Эйлера увлекает возможность систематически изло-
жить свои глобальные взгляды на мироздание, жизнь, религию.
Постепенно письма к принцессе ориентируются на дальнейшую
публикацию. В 1768 – 1774 гг. выходят три тома «Писем о раз-
ных физических и философских материях, писаных к некоторой
немецкой принцессе».
Леонард Эйлер (1707 – 1783) 249


Письма энциклопедичны, создается впечатление, что Эйлер
стремится рассказать все, что успел продумать. Некоторое пред-
ставление о широте обсуждаемых вопросов дает перечень тем, с
которых начинается первый том: понятие притяжения, скорость
звука и музыка, свет, зрение и строение глаза, закон всемирного
тяготения, морские приливы и отливы, монадология Вольфа, «об
отношении души к телу», «о явлениях естественных», «о лучшем
из миров и происхождении всех зол», «о состоянии души после
смерти», «об идеалистах, эгоистах и материалистах», «о совер-
шенстве языка», «о силлогизме», «о нравственных и физических
страданиях», «о назначении человека», «обращение грешников»,
«о чудесах человеческого голоса» и т. д.
Большинство ученых не приняли философские тексты, хотя
многие отмечали достоинство страниц, относящихся к популярно-
му изложению научных знаний. Благожелательный Кондорсе пи-
сал: «этот труд представляет нечто весьма ценное по той ясности,
с которой в нем изложено все самое главное и важное из области
астрономии, оптики и теории звука. Что касается тех мыслей Эй-
лера, которые относятся к философии, они скорее остроумны, чем
глубоки.» Эйлер воспользовался страницами «Писем» для борьбы
против свободомыслия в науке, против материализма. Он высме-
ивает «односторонних химиков, анатомов, физиков, которые все
ушли в свои опыты. Сколько бы им ни говорили о свойствах и
существе души, они соглашаются только с тем, что поражает их
внешние чувства.» Все это, вместе с размышлениями Эйлера о ре-
лигии, вызвало резкие отзывы Лагранжа и Даламбера. 2 декабря
1768 г. Лагранж писал Даламберу: «. . . имеется одно сочинение,
которого он не должен был бы публиковать ради своей чести: это
Письма к немецкой принцессе“ ». А 15 июля 1769 года он пи-

сал, что «Письма», возможно, позабавят Даламбера выходками
против вольнодумцев. В ответ Даламбер сравнивает «Письма» с
ньютоновскими комментариями к Апокалипсису и пишет: «Наш
друг — великий аналитик, но довольно плохой философ»; в письме
от 7 августа: «Вы имели полное основание говорить, что, дорожа
своей честью, он не должен был печатать это произведение. Это
просто невероятно, как такой великий гений, каким он является
в геометрии и анализе, может быть в метафизике ниже самого
маленького школяра, чтобы не сказать таким плоским и абсурд-
250 Леонард Эйлер (1707 – 1783)


ным, и вот действительно подходящий случай воскликнуть: не все
богами даровано одному».
А публике «Письма» понравились! Об этом свидетельству-
ет, что только в XVIII веке они выдержали четыре издания
на русском языке (первоначально они были напечатаны по-
французски). Это контрастирует с тем, как туго расходились
научные труды Эйлера (в письме к конференц-секретарю Мил-
леру из Берлина Эйлер пишет, что из 500 экземпляров «Диф-
ференциального исчисления» разошлось лишь 100; на «Теорию
движения твердого тела» с трудом нашли 12 подписчиков). Уже
в наши дни В. И. Вернадский писал, что перед «Письмами к
принцессе» «останавливаешься в восхищении перед широтой и
обдуманностью в единое, которое бьет ключом из этого произ-
ведения его досугов, не менее характерного для XVIII века, чем
какие-нибудь создания тогдашнего искусства или музыки».
Популяризаторское искусство, проявившееся на лучших стра-
ницах «Писем к принцессе», было одним из проявлений выдающе-
гося педагогического мастерства Эйлера. Другим его проявлени-
ем является продуманность вводимых понятий и современность
обозначений (от Эйлера идут обозначения тригонометрических
функций; он впервые рассматривал значения последних за преде-
лами [0; 2?] и т. д.). Много сил ученый отдавал воспитанию своих
учеников, которые постоянно жили в его доме. Тексты его сочине-
ний были ориентированы не только на сообщение его результатов,
но и на демонстрацию его искусства: «Он предпочитал обучение
своих учеников тому небольшому удовольствию, которое он бы
получил, изумляя их. Он думал, что недостаточно сделал бы для
науки, если бы не прибавил к открытиям, которыми он обогатил
науку, чистосердечного изложения идей, приведших его к этим
открытиям» (Кондорсе). Отсюда и готовность публиковать недо-
казанные результаты с мотивировкой их правдоподобия, и даже
неточные, но поучительные вычисления. Вот как он ответил кри-
тику, обнаружившему пробелы в его работе по диоптрике: «Вы
заблуждаетесь, мой дорогой, если думаете, что эта работа потому
бесполезна. Наоборот, она очень ценная, ибо содержит расчеты,
которые независимо от объекта самого по себе, по своему ходу
и приложению, могут служить образцом; короче говоря, это все-
таки расчеты нового вида, а это весьма не бесполезно».
Леонард Эйлер (1707 – 1783) 251


Заключительные замечания. Мы не имели возможности коснуться
многих сторон деятельности Эйлера: оптики, картографии, бал-
листики, теории корабля и т. д. Мы хотим еще раз подчеркнуть,
что в богатом наследии Эйлера математика занимает особое ме-
сто, а в своих математических работах он был прежде всего анали-
тиком. По работам Эйлера учились великие математики XIX века.
«Читайте Эйлера — это наш общий учитель», — говорил Лаплас.
По словам Гаусса, «изучение работ Эйлера остается наилучшей
школой в различных областях математики, и ничто другое не
может это заменить». Никто всерьез никогда не оспаривал репу-
тацию Эйлера как великого математика. Однако в последующих
оценках сказалось то, что Эйлер многие трудные проблемы не
доводил до окончательного решения. Если не оценивать его дея-
тельность в целом, а лишь по законченным большим результатам,
то он уступает другим великим ученым. Скажем, сделав многое
в небесной механике, он не оставил результатов, подобных объ-
яснению быстрого движения перигелия лунной орбиты или вы-
числению возмущенной орбиты кометы Галлея с предсказанием
ее следующего возвращения, полученных Клеро. В арифметике
Лежандр и Гаусс нашли трудные доказательства существования
первообразных корней и квадратичного закона взаимности, вы-
сказанных Эйлером.
В 1842 г. Якоби в письме
к П. И. Фуссу отмечает важное
свойство математического насле-
дия Эйлера: «В последнее время
я вновь основательно изучал ин-
тегральное исчисление Эйлера и
опять удивлялся, какой свежей со-
хранилась эта семидесятилетняя
книга, в то время как современ-
ную ей книгу Даламбера совер-
шенно невозможно читать. При-
чина, мне кажется, в его приме-
рах. Потому что эти примеры име-
ют не просто побочное значение
иллюстраций, они составляют все
содержание, которое имели в то
252 Леонард Эйлер (1707 – 1783)


время общие предложения.» Эйлера упорно сравнивали с Далам-
бером при жизни; Якоби продолжает делать это после их смерти.
В мае 1841 г. он пишет Фуссу: «Удивительно, что сейчас невоз-
можно прочитать хоть строчку, оставленную Даламбером, в то
время как лучшие работы Эйлера еще читают с восхищением,
а умерли они в один и тот же год. Кажется, что Даламбер ис-
тощил все свое изящество в беллетристике.» Вкусы у Якоби и
Фридриха II не совпадали, но к Даламберу Якоби определенно
несправедлив.
Эйлера ценили прежде всего те, кто изучал его труды, а не
оценивал наследие по вершинам, кто учился у него и пользовался
его провидческими идеями.
В заключение приведем один курьез, который, впрочем, боль-
ше характеризует особенности академической «демократии» в
России, чем заслуги Эйлера. В последний год XIX столетия петер-
бургские ученые загодя думали о праздновании предстоящего в
1907 году 200-летия великого ученого. 6 февраля 1899 г. на общем
собрании академии обсуждалось предложение отделения физико-
математических наук о сооружении по международной подписке
памятника Эйлеру в Петеррбурге. Против этого предложения
решительно выступил академик (по математике) Н. Я. Сонин
(1849 – 1915). Он говорил, что труды Эйлера устарели, что его
значительно превзошли Лагранж и Гаусс, что «следы деятельно-
сти Эйлера практически заметены». В общем, памятники следует
ставить великим ученым, а Эйлер является разве что выдающим-
ся, а потому для него вполне достаточно бюста в конференц-зале,
который и был уже установлен вскоре после смерти ученого. Бы-
ло еще мнение, что непонятно, почему памятник надо непременно
устанавливать в Петербурге, а не в Базеле, где Эйлер родился,
или в Берлине, где он работал почти так же долго, как в Петер-
бурге. Вопрос был поставлен на голосование. Голоса разделились
поровну, а это, согласно академическому уставу, означало, что в
памятнике Эйлеру отказано. Демократия победила!
Сегодня в Петербурге имеется Математический институт име-
ни Эйлера, но памятника пока нет.
ЖОЗЕФ ЛУИ ЛАГРАНЖ
Я занимаюсь геометрией спокойно и в тишине. А так как
меня никто и ничто не торопит, то я работаю больше для
моего удовольствия, нежели по должности; я похож на вель-
мож-охотников строиться: я строю, ломаю, перестраиваю до
тех пор, пока не выйдет что-нибудь такое, чем я останусь до-
волен. Лагранж

Письмо из Турина. В августе 1755 г. великий Эйлер (1707 – 1783)
получил из Турина письмо от 19-летнего Лагранжа, который и
прежде писал ему. У Эйлера, несомненно, уже успело сложить-
ся мнение, что его корреспондент является талантливым зрелым
математиком, несмотря на его молодость. И все же содержание
последнего письма поразило ученого.
С конца XVII века внимание математиков все более привле-
кали задачи, которые сейчас принято называть вариационными,
а тогда обычно называли изопериметрическими. Все началось с
поставленной Иоганном Бернулли (1664 – 1748) задачи о брахи-
стохроне — кривой наибыстрейшего спуска между двумя точками.
Впрочем, задачи о кривых, обладающих теми или иными свой-
ствами максимума-минимума, возникали и раньше: окружность
при заданной длине ограничивает фигуру наибольшей площади
(изопериметрическое свойство, отсюда и название класса задач),
прямая — кратчайшее расстояние между точками и т. д. Число
таких задач росло, математики с удовольствием решали их, под-
бирая свой «ключ с секретом» к каждой из них.
Однако стиль эпохи расцвета дифференциального и инте-
грального исчисления требовал попытаться найти общий метод,
развить исчисление для решения изопериметрических задач. За-
мечательные математики, которые занимались этими задачами,
интуитивно ощущали общие моменты в их решении. Многое сде-
лал Якоб Бернулли (1654 – 1705). И все же картина оставалась

253
254 Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813)


достаточно пестрой и для созда-
ния общего метода предстояло
много поработать.
Эйлеру было в точности
19 лет, когда его учитель И. Бер-
нулли поставил ему задачу о бра-
хистохроне в среде с сопротив-
лением. Потом еще добавилась
задача о кратчайших («геодези-
ческих») линиях на поверхностях.
Вариационные задачи постоян-
но в поле зрения у Эйлера, и
к 1732 г. у него выкристалли-
зовался общий метод решения
таких задач. Еще 12 лет ушло
на совершенствование метода,
и в 1744 г. выходит итоговый
Жозеф Луи Лагранж
мемуар о решении «изопери-
метрических задач в самом широком смысле». Метод иллю-
стрируется на решении более 60 самых разнообразных задач.
Сегодня мы ясно понимаем, в чем была трудность в решении
вариационных задач: в некотором смысле они были преждевре-
менны в анализе XVIII века. В то время аналитики занимались в
основном функциями от одного переменного, в меньшей степени
функциями от нескольких переменных. Однако кривые, фигури-
рующие в вариационных задачах, не характеризуются конечным
набором параметров. Фактически эти задачи имеют дело с функ-
циями от бесконечного числа переменных, а это уже вотчина ана-
лиза XX века (функционального анализа).
Основное наблюдение Эйлера состояло в том, что кривые, яв-
ляющиеся решениями изопериметрических задач, отвечают реше-
ниям некоторых дифференциальных уравнений. В выводе этих
уравнений Эйлер и видит основную задачу. Он действует очень
осторожно, чтобы остаться в рамках привычного анализа: заме-
няет кривые ломаными (ведь они зависят от конечного числа
параметров, характеризующих вершины) и следит за изменени-
ем фигурирующей в задаче величины при изменении только од-
ной вершины. Искомое дифференциальное уравнение получает-
Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813) 255


ся, но путь к нему достаточно тернист. Как напишет Деламбр
(1749 – 1822; не путать с Даламбером!), верный друг и биограф
Лагранжа, этот метод «не обладал всей той простотой, которая
желательна в вопросе чистого анализа».
Эти слова, вероятно, отражают мнение Лагранжа. С реши-
тельностью, присущей молодости, он отваживается провести пол-
ностью схему, разработанную для функций, когда рассматривает-
ся главная линейная часть df приращения функции f (x), отвеча-
ющая приращению dx аргумента x, и ищутся x, в которых df (x) =
0. Он рассматривает функции от кривых — функционалы (разу-
меется, специального вида) I(l), не пугаясь, что фактически это
функции от бесконечного числа переменных; для фиксирован-
ной кривой l рассматривает произвольное малое «возмущение» ?l,
определяет главную часть соответствующего приращения функ-
ционала — ?I и для определения кривых, на которых ?I = 0,
получает дифференциальное уравнение, к которому Эйлер шел
кружным путем, и которое ныне называется уравнением Эйлера–
Лагранжа. Заметим, что Лагранж предусмотрительно вводит но-
вое обозначение ?, которое похоже на обозначение дифференциа-
ла d, но отличается от него. Удачно введенное обозначение очень
помогало делу.
Короткой информации Эйлеру было достаточно, чтобы оце-
нить все преимущества усовершенствований Лагранжа. Начина-
ется оживленная переписка, высокая оценка великого ученого
окрылила начинающего математика. В письмах обсуждаются
все усложняющиеся постановки задач: ведь сила нового мето-
да должна быть продемонстрирована на решении новых задач,
недоступных старой технике. Письмо Лагранжа возродило и у
самого Эйлера интерес к экстремальным задачам. Уже в 1756 г.
он делает в Берлинской академии два сообщения, связанные с
методом Лагранжа. В том же году Лагранж по представлению
Эйлера был избран иностранным членом этой академии — редкая
честь для молодого ученого, который еще не успел опубликовать
своих трудов (впрочем, в то время такому избранию придавали
меньше значения, чем в наши дни).
Эйлер не спешит публиковать свои новые результаты, предо-
ставляя своему молодому коллеге не торопясь подготовить к пе-
чати свою работу. Он разъясняет свою позицию в письме от 10 ок-
256 Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813)


тября 1759 г.: «Твое аналитическое решение изопериметрической
проблемы содержит, насколько я вижу, все, чего только можно
желать в этой области, и я чрезвычайно рад, что эта теория, ко-
торой после первых моих попыток я занимался едва ли не один,
доведена тобой до величайшего совершенства. Важность вопроса
побудила меня к тому, что я с помощью твоего освещения сам
вывел аналитическое решение. Я, однако, решил скрывать это,
пока ты не опубликуешь свои результаты, так как я никоим об-
разом не хочу отнимать у тебя часть заслуженной тобой славы».
Замечательный пример научной этики!
Письмо Эйлера добавило решимости Лагранжу опубликовать
сделанное, и во II томе «Туринских записок» за 1761 – 1762 гг. по-
является его мемуар «Опыт нового метода для определения мак-
симумов и минимумов неопределенных интегральных формул».
В 1764 г. публикует свои результаты и Эйлер, предваряя публи-
кацию словами: «После того как я долго и бесплодно трудился над
решением этого вопроса, я с удивлением увидал, что в Туринских

записках“ задача эта решена столь же легко, как и счастливо. Это
прекрасное открытие вызвало у меня тем большее восхищение,
что оно значительно отличается от данных мною методов и зна-
чительно их превосходит по простоте». Несколько удивляет, что
Эйлер не упоминает предшествовавшей переписки. Эйлер пред-
лагает называть новый метод «вариационным исчислением» по
аналогии с дифференциальным исчислением (?I называется ва-
риацией).
Таким был научный дебют Лагранжа. В одном отношении он
уникален. Известны и другие примеры, когда великие матема-
тики получали первые крупные результаты в том же возрасте,
что и Лагранж. Однако при этом речь шла обычно о решении
конкретных задач. Интерес же к совершенствованию метода как
такового приходит с годами. Мы же видим, что уже в первой
работе Лагранжа проявилось то, что будет всегда отличать его
в дальнейшем: полное прояснение ситуации, совершенствование
метода, поиск первопричины ценится выше конкретных задач.

Джузеппе Луиджи. Мы рассказали о первой великой работе Ла-
гранжа, но все же стоит сказать несколько слов о более ранних
событиях его жизни. Жозеф Луи Лагранж родился 25 января
Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813) 257


1736 г. в Турине, в Италии. Впрочем, на родине его называли
Джузеппе Луиджи. Его прадед приехал из Франции и поступил на
службу к герцогу Савойскому, а дед и отец продолжали служить
в должности казначея фабрик и строений. К рождению будущего
математика семья разорилась. «Если бы я был богат, я, вероятно,
не достиг бы моего положения в математике; а в какой другой дея-
тельности я добился бы тех же успехов?» — говорил впоследствии
ученый. Впрочем, поначалу семейные планы предназначали Жо-
зефу Луи карьеру адвоката, и в 14 лет он определяется в Турин-
ский университет. Однако вскоре он перешел в Артиллерийскую
школу, что было связано с усилившимся интересом к математике.
В 19 лет он — профессор математики в этой школе (по некоторым
сведениям, еще раньше).

<< Пред. стр.

страница 26
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign