LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 25
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

альное исчисление», в 1768 – 1770 г. — три тома «Интегрального
исчисления», а после смерти Эйлера — еще один том добавлений.
Мы имеем возможность лишь очень мало сказать об аналити-
ческих результатах Эйлера. Прежде всего он внес принципиаль-
ный вклад в эволюцию полнятия функции. К тому времени мате-
матики ясно понимали, что функция является основным объектом
анализа, знали большое число конкретных функций, но только
подходили к пониманию общего понятия. С точки зрения мате-
238 Леонард Эйлер (1707 – 1783)


матика, занимавшегося приложениями, функция всегда задается
какими-то аналитическими выражениями. С другой стороны, при
построении дифференциального и интегрального исчисления ра-
бота с явными выражениями часто неудобна. Здесь более эффек-
тивен геометрический взгляд на функцию. Эйлер, в поле зрения
которого были и приложения, и общая теория, параллельно разви-
вал обе точки зрения на функции. Он был первым, кто отважился
отождествить общие функции с произвольными (непрерывными)
кривыми, имеющими единственные точки пересечения с верти-
калями. Как писал Риман, «Эйлер первым ввел эти (произволь-
ные — С. Г.) функции в Анализ и, опираясь на геометрическую
наглядность, приложил к ним исчисление бесконечно малых».
Но Эйлер не только развил для произвольных функций ана-
лиз, он указал реальную ситуацию, когда произвольные функции
возникают в приложениях. В 1748 г., исследуя формулу для изме-
нения со временем формы колеблющейся струны, Эйлер подчер-
кивает, что в начальный момент времени форма струны может
быть произвольной. В то же время Даламбер, который нашел
эту формулу на год раньше, имел массу неприятностей из-за уве-
ренности, что начальная форма должна задаваться аналитиче-
ским выражением (в частности, он пришел к выводу, что нераз-
решима задача о колебании струны, изогнутой по дуге параболы).
В 1761 г. Лагранж подчеркнул заслугу Эйлера в использовании
общих функций: «. . . они необходимы для большого числа важных
вопросов динамики и гидродинамики . . . г-н Эйлер является, как
я полагаю, первым, кто ввел в анализ этот новый род функций
в своем решении проблемы о колеблющихся струнах. . . ». Со вре-
мени Эйлера существенно поменялась терминология: его общие
(«разрывные», или «механические») функции являются непре-
рывными с нашей точки зрения, а непрерывные в его смысле
функции после Лагранжа стали называть аналитическими. Эй-
лер был уверен, что общие функции не допускают аналитического
представления. Он решительно возражал Д. Бернулли, считавше-
му (в связи с задачей о струне), что общие функции являются
суперпозициями гармоник. Через 70 лет правоту предположения
Д. Бернулли подтвердил Фурье.
Как ни замечательны результаты Эйлера в области формиро-
вания общего понятия функции, они не идут ни в какое сравне-
Леонард Эйлер (1707 – 1783) 239


ние с колоссальной работой по отбору и изучению специальных
классов «хороших» функций, необходимых в приложениях. В изу-
чении специальных функций он решительно выходит за пределы
элементарных функций. Мы уже говорили о дзета-функции, вве-
денной еще в 1830 г. Продолжая исследования Валлиса, Эйлер
ищет функцию ?(x), которая принимала бы в целых точках зна-
чения n!, а затем и функцию B(x, y), которая в целых точках
(n + m)!
совпадает с (числом сочетаний). Так появились знамени-
n!m!
тые эйлеровы интегралы (гамма- и бета-функции).
Математики XVIII века знали, что элементарных функций
недостаточно, и помнили о мечте Лейбница разобраться с выс-
шими трансцендентными функциями, однако трезвая оценка по-
казывает, что регулярных способов разобраться с этой пробле-
мой тогда не было. Отдельные примеры функций появлялись у
разных математиков, но мы теперь ясно видим, что это была
задача для XIX века, и одновременно, что Эйлер, руководству-
ясь неведомыми чувствами, практически без пробелов угадал все
специальные функции, которые составляют предмет высшего ана-
лиза. Мы уже говорили об эйлеровских интегралах и ?-функции.
К этому можно прибавить бесселевы функции, некоторые виды
тэта-функций, гипергеометрическую функцию Гаусса (разумеет-
ся, это более позднее название!), при различных значениях пара-
метров в которй получается большинство специальных функций,
появляющихся в математической физике. Наконец, Эйлер сделал
важнейшие шаги в теории эллиптических интегралов, включая
теорему сложения. От этих результатов отправлялись Лежандр
и Гаусс, Абель и Якоби. Вошло в привычку, что если появляется
новый естественный класс функций, то его надо поискать у Эй-
лера. В последние годы в самых разных задачах теории чисел,
алгебры, топологии, геометрии мистическим образом появляется
дилогарифм Li2 (z) = ? z n /n2 . Оказалось, что Эйлер знал о
n=1
замечательных свойствах этой функции, в частности, о теоремах
сложения.
Важнейший технический прием, которого не хватало Эйле-
ру, — это продолжение специальных функций в комплексную об-
ласть. Но Эйлер уже делал первые шаги в построении комплекс-
ного анализа: он наряду с Даламбером (правда, в связи с за-
240 Леонард Эйлер (1707 – 1783)


дачами гидромеханики) рассмотрел уравнения Коши – Римана,
которые задают аналитические функции комплексного перемен-
ного; пользовался комплексными подстановками для вычсисления
вещественных интегралов, а в последние годы жизни вычислял
вещественные интегралы через интегралы от комплексных функ-
ций, очень близко подойдя к теории Коши контурного интегри-
рования на комплексной плоскости. Эйлер понимал неизбежность
«комплексного» мира.
Наиболее знаменитым результатом Эйлера в комплексном
анализе является его открытие связи между показательной и
тригонометрической функциями в комплексной области, которую
невозможно увидеть, оставаясь в пределах вещественных чисел.
Формулу Эйлера eix = cos x + i sin x Ж. Л. Лагранж (1736 – 1813)
назвал «одним из наиболее прекрасных анлитических открытий,
сделанных в настоящем веке». Формула производит сильное впе-
чатление и сегодня. Ее можно очень естественно получить через
ряды или функциональные уравнения, и редко вспоминают, как
она появилась в математике XVIII века. Удивительно, что логи-
ка ее открытия была достаточно прямолинейной. В начале века
И. Бернулли (1667 – 1748), учитель Эйлера, занимаясь задачей
об интегрировании рациональных дробей, обратил внимание на
1 1 1 1
2 = 2i x ? i ? x + i . Если его формально
соотношение
1+x
проинтегрировать, то слева получается арктангенс, а справа —
логарифм, правда, мнимого аргумента. После несложных преоб-
разований получается формула
1 ? i tg x
1
x= ln , (16)
2i 1 + i tg x

которая тривиально преобразуется в формулу Эйлера. Хотя
И. Бернулли и не выписал (16), он безуспешно пытался придать
смысл встречавшимся здесь вычислениям с мнимыми величина-
ми. На этой почве возникла известная дискуссия (1712 – 13 гг.)
между Бернулли и его учителем Лейбницем о логарифмах от-
рицательных чисел (чему равен ln(?1)?), а в 1714 г. «формула
Эйлера» промелькнула без необходимых обоснований у Рождера
Коутса (1682 – 1716), рано умершего сподвижника Ньютона. Эй-
лер, будучи хорошо осведомленным в проблемах, волновавших
Леонард Эйлер (1707 – 1783) 241


его учителя, в 1728 г., отправляясь от вычислений, выводит (16),
а в 1739 г. он развил теорию логарифмов в комплексной обла-
сти так, что все формулы стали корректными и противоречия
исчезли (ln(?1) = (2k + 1)?i, где k — произвольное целое число).
Поиски специальных функций невозможно отделить от выде-
ления важных классов дифференциальных уравнений. Уже никто
не сомневался, что явно проинтегрировать произвольные диффе-
ренциальные уравнения нельзя. Эйлер активно участвует в вы-
делении тех уравнений, которые возникают из физики. Он рас-
сматривает ряд уравнений в связи с задачами гидромеханики,
колебания струн и мембран, распространения звука: здесь и урав-
нение Лапласа, и некоторые варианты волнового уравнения, и др.
Для Эйлера был характерен аналитический взгляд на физику.
Он стремился свести физические задачи к решению тех или иных
дифференциальных уравнений. В механике он первый перешел от
геометрического языка Ньютона к аналитическому.
Подводя итоги деятельности Эйлера в области анализа, под-
черкнем, что Эйлер отдавал предпочтение аналитическим мето-
дам при решении как общематематических, так и прикладных
задач. Но никогда анализ не был для Эйлера самоцелью. Мож-
но вспомнить, что он (в отличие от Даламбера) упорно искал
чисто алгебраическое доказательство основной теоремы алгебры
(существование комплексного корня у любого алгебраического
уравнения). Алгебраического доказательства найти не удалось,
и Г. Фробениус (1849 – 1917) с сожалением отмечал, что заме-
чательным алгебраическим рассмотрениям Эйлера не отдано
должного, а многие из них несправедливо приписываются Гауссу.

Геометрия. Занятия Эйлера геометрией носили более отрывоч-
ный характер. Второй том «Введения в анализ» является первым
учебником аналитической геометрии. Очень многое в аналитиче-
ской геометрии идет от Эйлера. Он первым рассмотрел аффинные
преобразования (и ввел этот термин), исследовал группу враще-
ний, связав полученные при этом результаты с движением твер-
дого тела. Эйлер продумывал возможности применения анализа к
геометрии, сделав первые шаги в дифференциальной геометрии.
Одним из первых рассмотрел он и геометрические задачи, свя-
занные с картографией, отправляясь от вопроса, в каком смысле
242 Леонард Эйлер (1707 – 1783)


плоское изображение на карте подобно соответствующей картине
на сфере (поверхности земного шара). Многим показалась неожи-
данной обнаружившаяся при этом связь с комплексными числа-
ми.
Даже в элементарной геометрии Эйлер обнаружил факты, ко-
торые никто не заметил прежде, например, что в треугольнике
ортоцентр, центр описанной окружности и центр тяжести лежат
на одной прямой — прямой Эйлера. Кажется, и теорему о пересе-
чении трех высот треугольника в одной точке (ортоцентре), про-
пущенную у Евклида, никто до Эйлера явно не сформулировал.
Вероятно, более других геометрических утверждений попу-
лярна теорема Эйлера для многогранников: + = + 2, где —
число вершин, — число граней, — число ребер. Интересно, что
Эйлер увидел это соотношение на примерах, но не смог понача-
лу доказать его в общем виде, проверив вместо этого теорему
для любых пирамид, призм, некоторых составных многоранни-
ков, правильных многогранников. Эйлер и в геометрии борется
за доверие к математическому эксперименту: «Итак, поскольку
верность этого утверждения во всех этих случаях оправдыва-
ется, нет никакого сомнения, что оно имеет место для любых
тел, так что это предложение представляется достаточно об-
основанным». Лишь позднее он нашел общее доказательство.
Эйлер уже не вызывал своих коллег на состязание по реше-
нию задач, как это делал еще Ферма, но он охотно обменивался
с ними как решенными, так и нерешенными задачами. Отсюда
его результаты по традиционной тематике математических со-
стязаний: магическим квадратам, дружественным числам и т. д.
Популярные книги до сих пор сохранили несколько просто фор-
мулируемых задач, либо придуманных Эйлером, либо им впервые
решенных. Можно вспомнить об обходе шахматной доски конем
так, чтобы ни одна клетка не проходилась дважды. Другая извест-
ная задача — доказать невозможность обойти семь кенигсбергских
мостов так, чтобы ни один мост не проходился дважды. На при-
мере этой задачи видно, что Эйлера интриговали нестандартно
решаемые задачи, поскольку эта нестандартность могла иметь да-
леко идущие последствия. В марте 1736 г. Эйлер пишет «мужу
славному и знатному Мариони»: «Некогда мне была предложена
задача об острове, расположенном в городе Кенигсберге и окру-
Леонард Эйлер (1707 – 1783) 243


женном рекой, через которую перекинуто семь мостов. Спрашива-
ется, может ли кто-нибудь обойти их, переходя только однажды
через каждый мост. И тут же мне было сообщено, что что ни-
кто до сих пор не мог это проделать, но никто и не доказал,
что это невозможно. Вопрос этот, хотя и банальный, показался
мне, однако, достойным внимания тем, что для его решения недо-
статочны ни геометрия, ни алгебра, ни комбинаторное искусство.
Поэтому мне пришла в голову мысль, не отностится ли она слу-
чайно к геометрии положения, которую в свое время исследовал
Лейбниц.» Лейбниц в самом деле оставил несколько загадочных
реплик о невиданной геометрии, «которая раскрывается перед
нами в положении, как алгебра в величинах» (письмо к Гюйген-
су, 1679 г.). Эйлер безуспешно пытается выяснить подробности
о «геометрии положения». Он разрабатывает метод, позволяю-
щий решить эту задачу и по существу относящийся к началам
топологии. Он чувствует, что рассмотренная задача — лишь отго-
лосок более глубоких проблем: «Если бы можно было привести
здесь другие, более серьезные задачи, этот метод мог бы прине-
сти еще большую пользу, и им не следовало бы пренебрегать».
Через месяц в письме к Элеру в Данциг обсуждается обобщение
задачи о мостах и констатируется: «Ты можешь убедиться, слав-
нейший муж, что это решение по своему характеру, по-видимому,
имеет мало отношения к математике, и мне непонятно, почему
следует скорее от математика ожидать этого решения, нежели от
какого-нибудь другого человека, ибо это решение подкрепляет-
ся одним только рассуждением, и нет необходимости привлекать
для нахождения этого решения какие-либо законы, свойственные
математике. Итак, я не знаю, как так получается, что вопросы,
имеющие совсем мало отношения к математике, скорее разреша-
ются математиками, чем другими. Между тем ты, славнейший
муж, определяешь место этого вопроса в геометрии положения,
что касается этой новой науки, то, признаюсь, мне неизвестно, ка-
кого рода относящиеся сюда задачи желательны были Лейбницу
и Вольфу.» Так Эйлер вслед за Лейбницем видел впереди новую
область геометрии — геометрии формы, без измерений, — черты
которой стали проясняться через полтора века.
244 Леонард Эйлер (1707 – 1783)


Механика. Механика была с самого начала в поле зрения Эйлера.
Уже в 1736 г. выходит его «Механика, или наука о движении, из-
ложенная аналитически». Это первая книга 29-летнего ученого.
Эйлер тщательно изучил «Начала» Ньютона, в которых меха-
ника изложена на геометрическом языке. Он обнаружил, что с
точки зрения приложений к конкретным задачам более эффекти-
вен переход на аналитический язык при помощи использования
координат. В конечном счете механическая задача преобразует-
ся в чисто математическую задачу решения дифференциальных
уравнений. Это направление в механике продолжил Лагранж, ко-
торый в предисловии к своей «Аналитической механике» кон-
статировал: «В этой работе вовсе нет чертежей, в ней только
алгебраические операции». Эйлер ясно отдавал себе отчет, что
сведение механической задачи к математической еще не означает
ее решения: «. . . Хотя принципы механики, на которых основа-
ны все законы движения, по-видимому, достаточно известны и
достаточно применимы к общим явлениям для того, чтобы с их
помощью подчинить изменения движения аналитическим форму-
лам, однако очень часто анализ становится недостаточным для
решения уравнений. . . Разве мы не видим, что принципы механи-
ки каждый день приводят нас к дифференциальным уравнениям,
решение которых может быть найдено только при таком развитии
анализа, от которого он еще очень далек.»
Механика Ньютона не выходила за пределы движения матери-
альных точек, потом Декарт рассмотрел движение плоских пла-
стин, но только Эйлер перешел к изучению специфики движения
твердого тела конечных размеров. Сделал он это в книге, вышед-
шей в свет через 29 лет после выхода его «Механики».
Механика Ньютона начинается с аксиом — трех его законов.
Эйлер считал, что они нуждаются в существенно большей мо-
тивировке, и их следует вывести из каких-то более первичных
законов мироздания. Предпринятая в 1736 г. попытка в этом на-
правлении была сомнительной. А. Н. Крылов пишет, что Эйлер
получил лишь «разжиженные» законы Ньютона, и находит кор-
ни пожеланий Эйлера в его привычке к занятиям богословием.
Когда Эйлер был в Берлине, перед ним неожиданно открылся
новый путь разработать для механики более естественные основа-
ния. В 1744 г. Мопертюи предположил, что все законы движения
Леонард Эйлер (1707 – 1783) 245


и равновесия в природе могут быть выведены из того, что всякое
движение происходит так, чтобы минимальное значение приняла
некоторая величина — действие. Мопертюи отправлялся от оптики
(принцип Ферма), переходил к механике, но затем толковал свой
закон максимально широко и путано, давал своему закону наи-
меньшего действия теологическое толкование, утверждая, что что
минимальность действия является следствием «наиболее мудро-
го употребления могущества Творца». Мопертюи не пошел даль-
ше простых механических применений, он увлекся глобальными
проблемами, которые вскоре вовлекли его в горячую дискуссию,
дорого ему стоившую. Даламбер писал: «Этот спор о действии,
если нам будет позволен сказать, несколько походит на некото-
рые религиозные споры по ожесточению, с которым он велся, и
по количеству людей, принявших в нем участие, ничего в этом не
смысля».
Эйлер с самого начала на стороне Мопертюи. Ему не чужда
и теологическая интерпретация: «Действительно, так как здание
всего мира совершенно и возведено премудрым Творцом, то в
мире не происходит ничего, в чем не был бы виден смысл какого-
нибудь максимума или минимума». Но прежде всего Эйлер ищет
точную формулировку принципа, которая позволила бы ему изме-
нить законы механики. Он находит такую формулировку в случае
центральных сил, хотя и не дает доказательства. Как писал сам
Мопертюи по поводу Эйлера, «Этот великий геометр не толь-
ко обосновал принцип более фундаментально, чем это сделал я,
но его взор, более объемлющий и более проникновенный, чем
мой, привел его к открытию следствий, которые я не извлек».
Утверждения Мопертюи были настолько общими, что в диску-
сии (точнее сказать, скандале) приняли участие люди, далекие от
физики, и среди них Вольтер, имевший с Мопертюи давние счеты
и разразившийся сатирическим памфлетом «Диатриба доктора
Акакии уроженцу Сен-Мало». В конечном счете Мопертюи был
морально раздавлен, но от Вольтера досталось и Эйлеру, ярому
защитнику Мопертюи. Его можно безошибочно узнать в ученом,
который пытается снискать себе славу среди европейских мате-
матиков тем, что «производит на бумаге максимум вычислений».
Речь идет об ученом, который считает не менее чем на 60 стра-
ницах вместо того, чтобы подумать и потратить не более десяти
246 Леонард Эйлер (1707 – 1783)


строк, который считает три дня и три ночи, не потратив четверть
часа на обдумывание правильного пути. Вот как преломился у
Вольтера образ гениального вычислителя.
Эйлера нередко упрекали и упрекают, что он переоценил пу-
таные высказывания Мопертюи, почти демонстративно подчер-
кивая вторичность своих работ. Намекали даже, что практичный
Эйлер стремился угодить всесильному (перед дискуссией) прези-
денту Берлинской Академии наук. Но думается, что такое отно-
шение к работе Мопертюи было органично для Эйлера: он умел
ценить пионерские работы и понимал, сколь в несовершенном ви-
де предстают в них идеи. Мопертюи высказал то, что естественно
было сделать Эйлеру. Эйлер все время искал для механики более
надежное основание, чем законы Ньютона, которые он не готов
был принять за первичные. Ему не суждено было догадаться, что
необходимый принцип можно было почерпнуть из его любимого
вариационного исчисления.

Астрономия. Занятия Эйлера астрономией — продолжение его за-
нятий механикой. Его область интересов — небесная механика. Он
смог реализовать здесь свои поразительные вычислительные спо-
собности (как писал французский астроном Араго, он «вычислял
так, как человек дышит»). Эйлеру одному из первых стали до-
ступны вычисления, опережавшие результаты наблюдений. Ста-
рая небесная механика только экстраполировала результаты на-
блюдений, новая — исходила прежде всего из закона всемирного
тяготения. Первые шаги в этом направлении сделаны самим Нью-
тоном, давшим теоретическое определение ускорения движения
Луны и объяснившего некоторые аномалии (как стали говорить,
неравенства) в ее движении. Как всегда, Эйлер ясно осознает на-
сущные задачи небесной механики. Пережде всего надо попытать-
ся объяснить «неравенства» в движении больших планет Юпите-
ра и Сатурна их взаимным притяжением, накладывающимся на
притяжение Солнца. Эйлер далеко продвигается к вожделенной
цели — объяснить так называемые «большие неравенства», прояв-
ляющиеся в систематическом ускорении Юпитера и замедлении
Сатурна. Однако Эйлеру не удалось довести вычисления до ре-
зультата, хорошо согласующегося с наблюдением, хотя он и дви-
гался по правильному пути (это удалось позднее Лапласу).
Леонард Эйлер (1707 – 1783) 247


Теория движения Луны была в центре внимания Эйлера. Са-
мой злободневной была задача объяснения периодического дви-
жения перигея орбиты (с периодом 9 лет). Учет возмущения упор-
но давал период 18 лет, пока в 1749 году Клеро не показал, что
учет возмущающих членов следующего порядка дает правиль-
ный период. Эйлер признавал, что Клеро, сконцентрировавший
усилия на решении этой задачи, опередил его: «. . . в этом вопро-
се у г-на Клеро, пожалуй, нет более сильного противника, чем
я . . . , хотя я и был в этом вопросе предшественником г-на Кле-
ро, у меня не хватило терпения пуститься в столь пространные
вычисления». Хотя теория Эйлера и не дала столь выигрышного
итога, как результат Клеро, она имела последствие исключитель-
ной важности. На ее основе в 1755 г. Майер (1723 – 1762) составил
таблицы движения Луны невиданной точности. Они дали спо-
соб измерять долготу на борту корабля, конкурентоспособный со
способом, использующим хронометр (изобретенный Харрисоном

<< Пред. стр.

страница 25
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign