LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 24
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

проблемы. Доказательство некоторых ключевых утверждений
осталось на долю последователей Эйлера. Уже по некоторым
примерам можно увидеть особенности научного стиля Эйлера.
Перед ним было несколько прекрасных задач, на которых можно
было сосредоточиться на годы, если не на всю жизнь, но ника-
кая конкретная проблема не имела для Эйлера приоритета перед
воссозданием целостной картины, перед неудержимым желанием
двигаться вперед. Он постоянно возвращался к неполучившимся
задачам, умело дозируя время, уделяемое той или иной проблеме.
Трудность возникавших проблем, сознание, что он вынужден от-
казаться от получения строгого доказательства, привели Эйлера
к формированию способов установления математической истины,
Леонард Эйлер (1707 – 1783) 229


отличных от доказательства. Эксперимент выходит на первый
план не только при обдумывании задачи или гипотезы: тщатель-
но проведенный числовой эксперимент на большом материале во
внутренней системе ценностей Эйлера иногда равнозначен уста-
новлению истины. Он говорит о «познанных, но не доказанных
истинах» и стремится к тому, чтобы такого рода аргумента-
ция получила гражданство в математике. Получение строгого
доказательства для Эйлера остается важнейшей целью, но на
некоторой стадии он сознательно отказывается от дальнейшего
поиска, тщательно прорабатывая эвристические соображения.
Аналитическая теория чисел. Теория чисел обязана Эйлеру идеей,
которая вскоре совершенно изменила ее лицо. Речь идет о при-
менении в арифметике математического анализа. Трудно было
представить такую возможность. Поначалу она удивила самого
Эйлера: «И хотя мы здесь рассматриваем природу целых чисел, к
которой Исчисление Бесконечно Малых кажется неприложимым,
тем не менее я пришел к своему заключению с помощью диффе-
ренцирований и других уловок».
Эйлер для разных s рассматривает сумму бесконечного ряда
1 1 1
?(s) = 1 +
+ s + ... + s + ... (14)
2s 3 n
(позднее ее назовут дзета-функцией Римана, и она сыграет в
арифметике исключительную роль). Путем нестрогого рассуж-
дения Эйлер доказывает, что эта бесконечная сумма совпадает с
бесконечным произведением по простым числам
?1 ?1 ?1 ?1
1 1 1 1
?(s) = 1 ? 1? 1? ... 1 ? . . . . (15)
2s 3s 5s ps
Это рассуждение состоит в следующем: при s > 0 множитель (1 ?
? p?s )?1 можно рассматривать как сумму бесконечной геометри-
ческой прогрессии 1 + p?s + p?2s + p?3s + . . .. Перемножая эти
бесконечные суммы по всем простым p и ограничиваясь произве-
дениями слагаемых, в которых при всех p, кроме конечного числа,
берется 1, мы приходим к бесконечной сумме (14). Тут надо еще
многое добавить, чтобы это рассуждение стало строгим, начиная
с придания смысла сумме бесконечного числа слагаемых и про-
изведению бесконечного числа множителей. У Эйлера этого нет.
230 Леонард Эйлер (1707 – 1783)


Он чувствует, что эти рассмотрения ведут к исключительно се-
рьезным арифметическим результатам, но сам может предъявить
лишь новое доказательство восходящей еще к Евклиду теоремы
о бесконечности множества простых чисел. Дело в том, что еще
1 1 1
Я. Бернулли знал, что суммы n слагаемых 1 + + + . . . +
2 3 n
при n > ? стремятся к бесконечности, т. е. ?(s) стремится к
бесконечности при s > 1, чего не может произойти с произведени-
ем (15), если число различных p конечно. Может показаться, что
гора родила мышь, но чутье не обмануло Эйлера. Это стало яс-
но, когда Дирихле доказал бесконечность числа простых чисел в
арифметической прогрессии с взаимно простыми первым членом
и разностью (обобщение теоермы Евклида), отправляясь именно
от намеченного доказательства Эйлера (доказательство Евклида
не переносится на случай арифметических прогрессий, отличных
от натурального ряда).
Эйлер приоткрывает еще одну тайну в мире простых чи-
сел. Его аналитическое чутье, сильно опережавшее технические
1
при больших x близка
возможности, подсказывает, что p<x
p
1
к ln n<x , а это — первый шаг в получении закона распре-
n
деления простых чисел в натуральном ряду. Эйлер чувствует,
что функцию ?(s) можно продолжить даже на те значения s,
для которых ее нельзя определить как сумму ряда. Более того,
он замечает связь между значениями ? в точках s и 1 ? s (то,
что позднее будет сформулировано Риманом в виде знаменитого
функционального уравнения). Эйлер исследует значения ?(s) в
целых точках. Мы расскажем ниже, как он разобрался со случаем
четных аргументов, а симметрию между s и 1 ? s он рассчитывал
применить к исследованию ? в нечетных точках. Но он потерпел
неудачу, поняв, что в отрицательных четных точках продолжен-
ная ? равна нулю. Отметим, что об арифметической природе
значений дзета-функции в нечетных точках стало кое-что извест-
но лишь в самые последние годы: в 1979 году было доказано, что
число ?(3) иррационально, а летом 2000 года был анонсирован
результат, согласно которому среди чисел, являющихся значени-
ями дзета-функции в нечетных точках, содержится бесконечно
много различных иррациональных чисел.
Леонард Эйлер (1707 – 1783) 231


Ряды и бесконечные произведения. Бесконечные суммы и беско-
нечные произведения были любимым объектом Эйлера в анализе.
Бесконечными суммами (рядами), в частности, степенными ряда-
ми a0 +a1 x+. . .+an xn +. . ., много пользовался Ньютон (например,
при исследовании бинома (1 + x)? для нецелых ?). Ньютон, не
очень акцентируя на этом внимание, имел в виду ряды, у которых
сходятся суммы последовательных n слагаемых (как у убываю-
щей геометрической прогрессии). Хотя Эйлер прекрасно понима-
ет, что ряд может не суммироваться, он смело работает с рядами,
не заботясь о сходимости: формально перемножает, делит ряды,
почленно дифференцирует и т. д. Это предвестие современной ра-
боты с формальными рядами в алгебре. Не ограничиваясь фор-
мальными действиями, Эйлер хотел приписывать числовые значе-
ния расходящимся рядам. Потомки неоднократно осуждали его за
в самом деле сомнительные утверждения типа 1?3+5?7+. . . = 0,
1 1 1
. . . + 3 + 2 + + 1 + n + n2 + n3 + . . . = 0. А с другой стороны, Эй-
n
n n
1 1 1
лер брал частичные суммы гармонического ряда 1+ + +. . .+
23 n
и замечал, что если вычесть ln n, то разность будет стремиться к
конечной константе 0,577216 . . ., ныне носящей имя Эйлера. Это —
важный пример выявления природы расходимости. Не имея необ-
ходимого аппарата, Эйлер почувствовал, что расходящиеся ряды
необходимы в математике, а поразительная интуиция страховала
его при нестрогих рассуждениях от ошибочных выводов. В то же
время его эпигоны, не имевшие столь мощной защиты, допустили
немало ошибок и нелепостей.
Эйлер смотрит на бесконечные ряды как на многочлены бес-
конечной степени и по аналогии формулирует для них прави-
ло разложения в бесконечное произведение линейных множите-
лей. Если сумма ряда 1 + a1 x + a2 x2 + . . . равна нулю в точ-
ках ?1 , ?2 , . . . , ?n , . . . , то она совпадает с бесконечным произведе-
x x
нием 1 ? ... 1? . . .. Эйлер не дает этому утверждению
?1 ?n
ни обоснования, ни строгой формулировки, а прямо переходит к
примерам. Он исходит из бесконечного ряда


x2 x4 x6
sin x = 1 ? ?
+ + ...;
3! 5! 7!
232 Леонард Эйлер (1707 – 1783)


его сумма имеет нули при ?±k = ±?k, откуда делается вывод:

x2 x4 x2 x2 x2
1? ? ... = 1 ? 2 1? 2 1 ? 2 ....
+
3! 5! ? 4? 9?
Формально выполняя умножения скобок, собирая коэффициент
при x2 и сравнивая с коэффициентом в ряду слева, получаем

?2
11 1
1 + + + ... + 2 + ... = .
49 n 6
Это — значение дзета-функции в точке s = 2. Полученный ряд ис-
следовал еще Я. Бернулли, но не смог найти его сумму. Эйлер к
этому ряду присматривался давно. Он вначале знал его сумму с
семью знаками: 1,6449340, а потом вычислил еще восемь знаков.
Понимая, что проведенные им выкладки строго не оправданы,
Эйлер прежде всего нашел ? 2 /6 с семью знаками и сравнил с
известным ему ответом. Получилось совпадение! Это происходи-
ло в 1735 г. Сравнивая коэффициенты при дальнейших степенях
в ряду и произведении, Эйлер без труда находит ?(4) = ? 4 /90,
?(6) = ? 6 /42 · 6!. Он понимает, что ?(2n) = cn ? 2n и интересуется
природой коэффициентов c2n . Для них он получает рекуррентные
формулы, достаточные для вычислений, но это не удовлетворяет
Эйлера.
Почти в то же время Эйлера волновала другая числовая по-
следовательность, возникшая из совершенно другой задачи. Он
хотел применить интегралы к оценке сумм большого числа слага-
емых S(n) = f (1) + f (2) + . . . + f (n). Получилась формула (теперь
ее называют формулой Эйлера – Маклорена):
n
f (n) f (n) f (n) f (n)
?
S(n) = f (x) dx + + + ,
2 12 720 30240
0

и далее при следующих производных — загадочные коэффи-
циенты, которые Эйлер умел вычислять, но не знал простой
закономерности для них. Каково же было удивление Эйлера,
когда обнаружилось, что коэффициенты в его формуле рав-
ны (?1)n?1 cn /22n?1 . Только величайшим математикам приро-
да дарит такие удивительные совпадения! Ведь прямой связи
Леонард Эйлер (1707 – 1783) 233


между задачами нет. А потом Эйлер вспомнил о замечатель-
ной числовой последовательности Bn , возникшей у Я. Бернулли
при вычислении суммы k-х степеней первых n натуральных чи-
сел (Bn сейчас называют числами Бернулли), и оказалось, что
(?1)n?1 (2n!)cn
. Кроме того, при разложении z/(ez ? 1) по
B2n =
22n?1
степеням z коэффициент при z n равен Bn /n!. Числа Бернулли
были известны до Эйлера, но Эйлер был первым, кто понял, что
они таинственным образом возникают в самых разных задачах.
Эйлера постоянно волновало, что его вычисления ?(2n) необ-
основаны. Он придумывает еще один аргумент, усиливающий вы-
воды из его числовых экспериментов. Среди рассмотренных им
примеров был пример, основанный на разложении 1 ? sin x в ряд
?
=
и бесконечное произведение. Он приводил к соотношению
4
111
1 ? + ? + . . ., которое уже было строго выведено Лейбницем
357
непосредственно из геометрического определения ?. Эйлер оце-
нивает это совпадение как очень сильное: «Для нашего метода,
который может некоторым показаться недостаточно надежным,
здесь обнаруживается великое подтверждение. Поэтому мы вооб-
ще не должны сомневаться в других результатах, выведенных тем
же методом». Эйлер настаивает на серьезном отношении к недока-
занным утверждениям, прошедшим экспериментальную проверку
и получившим косвенные подтверждения. Он понимает, что в со-
временной ему ситуации математика потеряет многое, если жест-
ко придерживаться евклидовских правил установления истины.
Впрочем, он не отказывается от поисков строгого обоснования и
через десять лет находит существенно более простое обоснование
разложения sin x (кстати, основанное на связи тригонометриче-
ской и показательной функций в комплексной области).
Эйлер продолжает манипуляции с бесконечными произведе-
ниями. Он вычисляет ряд, отвечающий бесконечному произведе-
нию s(x) = (1 ? x)(1 ? x2 )(1 ? x3 ) . . ., и замечает, что в нем многие
степени отсутствуют:
s(x) = 1 ? x ? x2 + x5 + x7 ? x12 ? x15 + x22 + x26 ? x35 ? x46 + . . . ;
у ненулевых членов знаки меняются через два. Для Эйлера не
составило труда разгадать закономерность последовательности
234 Леонард Эйлер (1707 – 1783)


показателей ненулевых слагаемых. Он рассматривает последова-
тельные разности: 1, 3, 2, 5, 3, , 7, 4, . . ., разбивает получившуюся
последовательность на две: натуральный ряд и последователь-
ность нечетных чисел, и в результате для исходной последова-
тельности показателей получает представление: члены k-й пары —
1
это m = (3k 2 ± k), причем знак при xm совпадает с (?1)k . Од-
2
нако Эйлеру не удается даже на формальном уровне доказать
совпадение бесконечного произведения и ряда: «Я долго тщетно
разыскивал строгое доказательство равенства между этим рядом
и бесконечным произведением (1?x)(1?x2 )(1?x3 ) . . ., и я предло-
жил этот вопрос некоторым из моих друзей, способности которых
в этом отношении мне известны, но все согласились со мной, что
это преобразование произведения в ряд верно, хотя никто не
сумел раскопать какой-либо ключ для доказательства. Таким
образом, это познанная, но не доказанная истина. . . ». Кстати,
числа вида (3k 2 ? k)/2 были известны еще греческим математи-
кам (по крайней мере, Никомаху в I веке); это так называемые
пятиугольные числа.
К обсуждаемой задаче Эйлер пришел, отправляясь от дру-
гой задачи. Пусть am (bm ) — число представлений натурального
числа m в виде суммы четного (нечетного) числа различных сла-
гаемых. Проанализировав, какими способами возникает член xm
при перемножении (1 ? x), (1 ? x2 ),. . . , нетрудно убедиться, что
коэффициент при xm в точности равен am ? bm . Это означает, что
утверждение, к доказательству которого стремился Эйлер, равно-
сильно тому, что am = bm для всех m, отличных от (3k 2 ± k)/2, а
для этих чисел |am ? bm | = 1 (знак можно уточнить). Именно это
утверждение интересовало Эйлера, а рассмотрение бесконечных
произведений и рядов — это лишь способ доказать его.
Эйлер связывает с рассмотренным рядом s(x) еще одно заме-
чательное арифметическое утверждение для ?(n) — суммы дели-
телей числа n. Манипулируя с s (x)/x, Эйлер получает

?(n) = ?(n ? 1) + ?(n ? 2) ? ?(n ? 5) ? ?(n ? 7) + . . . .

Полученное соотношение Эйлер называет «наиболее необычай-
ным законом чисел, относящимся к сумме их делителей». Не видя
никакого пути к его прямому доказательству, он проверяет закон
Леонард Эйлер (1707 – 1783) 235


при n 20, а затем при n = 101 (простое число) и 301 и пишет:
«Примеры, которые я только что разобрал, безусловно рассеют
любые сомнения, которые мы могли бы иметь в отношении спра-
ведливости этой формулы. Это прекрасное свойство чисел тем
более удивительно, что мы не чувствуем никакой разумной связи
между структурой моей формулы и природой делителей, с сум-
мой которых мы здесь имеем дело».
Аддитивная теория чисел. Задачи о числе представлений нату-
ральных чисел в виде сумм слагаемых некоторой природы (как
говорил Эйлер, задачи о «разбиении чисел») долго были в центре
его внимания. Возможно, первоначальный толчок дали задачи,
содержавшиеся в письме Ф. Ноде (1740 г.), фамилия которого ни-
чего не говорит нашему современнику1 . К этим задачам Эйлер
применил аппарат бесконечных произведений. Вот несколько при-
меров. Эйлер утверждает, что
1
(1 + x)(1 + x2 )(1 + x3 ) . . . = .
(1 ? x)(1 ? x3 )(1 ? x5 ) . . .
Рассуждение состоит в том, что если умножать левую часть по-
следовательно на (1 ? x), (1 ? x3 ), (1 ? x5 ),. . . , то постепенно
будут исчезать все ненулевые степени, а это и означает тожде-
ство (это рассуждение можно сделать строгим при помощи теории
пределов). После раскрытия скобок в левой части получается ряд
1 + a1 x + a2 x2 + . . ., где ak — число представлений k в виде суммы
различных натуральных слагаемых. Правая часть при помощи
суммы бесконечной геометрической прогрессии записывается в
виде
(1 + x + x2 + x3 + . . .)(1 + x3 + x6 + x9 + . . .)(1 + x5 + x10 + . . .) . . . ,
и она равна 1 + b1 x + b2 x2 + . . ., где bk — число представлений k
в виде суммы нечетных слагаемых, среди которых могут быть
одинаковые (почему?). Эйлер делает вывод о совпадении числа
представлений ak = bk . Попробуйте доказать это совпадение непо-
средственно, и вы убедитесь, что не видно, как подойти к этой
задаче.
1
Знаменательно, что Эйлер стартовал не только от великих источников,
как это было в случае Ферма, но иногда с совершенно случайных задач.
236 Леонард Эйлер (1707 – 1783)


Следующее рассуждение исходит из тождества
(1 + x)(1 + x2 )(1 + x4 )(1 + x8 ) . . . = 1 + x + x2 + x3 + . . . ;
чтобы убедиться в его правдоподобности, можно умножить обе
части на (1?x) и проследить, как последовательно исчезают нену-
левые степени x в обеих частях. Из него сразу следует, что каждое
число одним и только одним способом представляется в виде сум-
мы различных степеней двойки (числа таких представлений —
коэффициенты в степенном ряду, полученном после преобразо-
вания левого произведения).
Метод Эйлера позднее получил название метода производя-
щих функций. Функции натурального аргумента a(n) (например,
число каких-то разбиений n) ставится в соответствие функция,
являющаяся суммой бесконечного ряда A(x) = a(0) + a(1)x +
+ a(2)x2 + . . .. Идея Эйлера, подтвержденная на многочисленных
примерах, состояла в том, что в свойствах функции A(x) свое-
образно проявляются арифметические свойства последовательно-
сти a(n). Характерно, что чисто арифметическое доказательство
результатов Эйлера о разбиениях, доказанных Эйлером аналити-
чески, было получено лишь во второй половине XIX века. Ме-
тодом Эйлера был позднее доказан ряд замечательных результа-
тов. Например, Якоби не только передоказал теорему Лагранжа
о представлении натурального числа в виде суммы четырех квад-
ратов, но и нашел число таких представлений.
Задачи о разбиениях отходили от арифметики Диофанта и
Ферма не только по методам, но и по постановкам. Они начина-
ли аддитивную теорию чисел (в отличие от мультипликативной).
К аддитивной теории чисел относились и знаменитые проблемы
Гольдбаха, поставленные в письме к Эйлеру. Среди них широко
известна гипотеза, что каждое нечетное число представимо в ви-
де суммы трех простых, а каждое четное — двух. Для достаточно
больших нечетных чисел это было доказано И. М. Виноградовым.
Эйлер, верный своим правилам, тщательно продумал эти задачи.
Гипотезу о том, что каждое нечетное число n есть сумма простого
и удвоенного квадрата, он проверил при n < 2500 (это не доказано
и по сей день). Он сформулировал несколько новых гипотез. На-
пример, осталась недоказанной гипотеза Эйлера, что всякое про-
стое вида 8k+3 есть сумма удвоенного простого числа вида 4l+1 и
Леонард Эйлер (1707 – 1783) 237


нечетного квадрата. Упомянем еще одну арифметическую гипоте-
зу Эйлера, происхождение которой трудно реконструировать: чис-
v
ло 3 2 является трансцендентным. Обобщение этого утверждения
составило одну из проблем Гильберта, решенную А. О. Гельфон-
дом. Еще один пример удивительного предвидения!

Анализ. Мы уже говорили о работах Эйлера по анализу в связи
с рядами и бесконечными произведениями. Дифференциальное
и интегральное исчисление были созданы в течение XVII века,
в окончательной форме — в трудах Ньютона и Лейбница. Эйлер
приходился «научным внуком» Лейбницу (через И. Бернулли).
Уже в конце XVII века встал вопрос о создании руководства по
исчислению бесконечно малых; эту цель преследовал «Анализ бес-
конечно малых» (1696 г.) маркиза Лопиталя, ученика И. Бернул-
ли. Свое продумывание анализа Эйлер сопровождает созданием
сквозной монографии по анализу, чему была подчинена значи-
тельная часть жизни Эйлера. В 1748 г. выходят два тома «Вве-
дения в анализ бесконечно малых». Второй том — это аналити-
ческая геометрия. Первый том — замечательный учебник, кото-
рый с интересом могли бы читать студенты и сегодня, — содер-
жит всё из «обыкновенного» анализа, что, по мнению Эйлера,
должно предшествовать анализу бесконечно малых. Здесь много
элементарного материала и задач. Вот одна из них: «После по-
топа человеческий род размножился от шести человек; положим,
что 200 лет спустя число людей возросло до 1 000 000 человек;
требуется узнать, на какую свою часть число людей должно бы-
ло бы увеличиваться ежегодно». Но при этом подробное изучение
элементарных функций содержит и разложение в ряды, и выход
в комплексную область. Здесь же — вычисления ?(2n) и теория
разбиений натуральных чисел. В 1755 г. выходит «Дифференци-

<< Пред. стр.

страница 24
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign