LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 23
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>



ка». Узнав о желании Эйлера принять участие в перестройке Ака-
демии, императрица обещает «не предпринимать до его приезда
никаких перемен в Академии, на тот конец, чтобы лучше уго-
вориться с ним об улучшениях. . . ». С великим дипломатическим
мастерством Эйлеру отказывают в чине: Эйлер может получить
лишь чин коллежского советника (гражданский эквивалент пол-
ковника), что недостойно великого ученого: «Я дала бы, когда
он хочет, чин, если бы не опасалась, что этот чин сравняет его
с множеством людей, которые не стоят г. Эйлера. Поистине его
известность лучше чина для оказания ему должного уважения».
Эйлер, вероятно, быстро понял, что щедрая императрица умеет
четко объяснить границы дозволенного, согласился со всеми усло-
виями и решил «кончить дни свои на службе этой несравненной
государыни».
Оказалось, что Фридрих не склонен легко расстаться со своим
геометром. В частности, он воспользовался возможностью удер-
жать в армии сына ученого. Все же разрешение на отъезд было
получено. Вдогонку король в последний раз использует Эйлера
как мишень для острот: «г. Эйлер, до безумия любящий Большую
и Малую Медведицу, приблизился к северу для большего удоб-
ства к наблюдению их. Корабль, нагруженный его XX, его KK,
потерпел крушение — все пропало, а это жалко, потому что там
было чем наполнить шесть фолиантов статей, испещренных от
начала до конца цифрами. По всей вероятности, Европа лишит-
ся приятной забавы, которая была бы ей доставлена чтением их»
(из письма Даламберу). Вскоре Фридрих утешился, заполучив на
место Эйлера молодого Лагранжа, поучительно мотивируя целе-
сообразность его переезда в Берлин: «Необходимо, чтобы величай-
ший геометр Европы проживал вблизи величайшего из королей».

Снова в России. Эйлер прибыл в Петербург 17 июля 1766 года. Он
отсутствовал ровно 25 лет и приближался к своему шестидесяти-
летию. Поначалу Эйлер всерьез принял предложение Екатерины
принять участие в реорганизации Академии. Он привез с собой по-
дробный проект, причем он не стремился к автономии Академии,
а напротив, ориентировался на тесное переплетение деятельности
Академии и правительственных учреждений. Однако постепенно
выяснилось, что императрица не склонна передоверять Эйлеру
220 Леонард Эйлер (1707 – 1783)


руководство Академией. Эйлер получил еще один урок того, что
просвещенные монархи любят, чтобы их ученые знали свое ме-
сто. Как старейшина академиков — декан — он имел немалое вли-
яние на академические дела, но про пост вице-президента никто
не вспоминал. А во главе Академии Екатерина поставила (про-
должая традиции Елизаветы) младшего брата своего фаворита —
графа В. Г. Орлова. Впрочем, возникла небольшая неувязка: пост
президента все еще занимал Разумовский, который, будучи ко-
мандиром Измайловского полка, оказал Екатерине поддержку во
время переворота. Его не стали обижать, а для Орлова учреди-
ли пост директора академии. Новый директор по-своему неплохо
относится к Эйлеру: заботится о здоровье, достает лекарства, но
может и подшутить над стариком, выдав себя, «для проверки зре-
ния» ученого, за бедного просителя из Швейцарии. Незадолго
до ухода Орлова в 1774 г. произошел конфликт, после которо-
го Эйлер перестал посещать конференции в академии. Однако он
продолжал интересоваться ее делами, и академики нередко соби-
рались на заседания в квартире Эйлера.
Эйлер привез с собой в Петербург кипу рукописей, которые не
удалось опубликовать в Берлине из-за почти прекратившейся во
время войны издательской деятельности. Но еще больше привез
он в своей голове почти созревших, но не реализованных замыс-
лов. А жизнь подсказывала ученому, что он должен торопиться.
Вскоре после приезда он лишается зрения во втором глазу, но не
прекращает работать, диктуя свои сочинения мальчику, не имев-
шему ни малейшего представления о математике. Приглашенный
императрицей окулист барон Вентцель удалил катаракту на од-
ном глазу, но предупредил, что перегрузка неминуемо приведет к
возвращению слепоты. Так и случилось вскоре, ибо Эйлер предпо-
чел потерю зрения пассивности. Он пробует привлечь к занятиям
других ученых: своего сына, академиков Крафта, Фусса и Лек-
селя, но больше всего диктует то, что он знал и хотел поведать
людям. За полтора десятка лет он продиктовал более 400 ста-
тей и 10 больших книг. К слепоте стала присоединяться глухота.
В 1766 г. умирает жена, и Эйлер женится на ее сестре (так проще
всего было сохранить порядок, принятый в доме). Сгорел дом
и большая часть имущества. Ничто не может заставить Эйлера
прервать работу. Летом 1777 г. Эйлера посетил Иоганн (III) Бер-
Леонард Эйлер (1707 – 1783) 221


нулли (1747 — 1807), племянник Даниила. Вот его впечатления:
«Здоровье его довольно хорошо, и этим он обязан умеренному и
правильному образу жизни. Зрением, по большей части утрачен-
ным, а одно время вовсе потерянным, он, однако, теперь лучше
пользуется, чем многие воображают! Хотя он не может узнать ни-
кого в лицо, читать черного на белом и писать пером на бумаге,
однако пишет на черном столе свои математические вычисления
мелом очень ясно и порядочно в обыкновенную величину. По-
том они вписываются в большую книгу одним или другим из его
адъюнктов, Фуссом или Головиным (чаще первым из них). И из
этих-то материалов составляются под его руководством статьи.
Таким образом в протяжение пяти лет, которые прожил г. Фусс
в доме Эйлера, приведено к окончанию 120 или 130 статей.».
Эйлер сохранил работоспособность до последних дней. Второй
петербургский период продолжался 17 лет. В 1783 г. окончил свои
дни сын сельского пастора, ставший величайшим математиком
Европы. Похоронили Эйлера на Смоленском кладбище. Надпись
на памятнике гласила: «Здесь покоятся бренные останки мудро-
го, справедливого, знаменитого Леонарда Эйлера». Через 50 лет
обнаружилось, что могила утеряна, и лишь случайно (во время
похорон невестки ученого) обнаружили «камень, погрузившийся
мало-помалу от собственной тяжести в землю и поросший дер-
ном». В Академии почувствовали себя неловко и решили устано-
вить новый памятник, «достойный знаменитого геометра». Позд-
нее останки Эйлера были перенесены в некрополь Александро-
Невской Лавры, где и сегодня можно увидеть его могилу.

Великое наследие. Научное наследие Эйлера поражает совершен-
но беспрецедентными размерами. При жизни увидели свет его
530 книг и статей. Последние годы жизни академические издания
не справлялись с потоком научной продукции слепого ученого,
и он шутливо обещал графу В. Г. Орлову, что его работы будут
заполнять «Комментарии» Академии в течение 20 лет после его
смерти. Эта оценка оказалась «оптимистической»: Академия за-
нималась изданием трудов Эйлера 47 лет. Число работ дошло до
771, но составленная в 1910 г. Энестремом библиография содержа-
ла 886 названий, разбитых по рубрикам: философия, математика,
механика, астрономия, физика, география, сельское хозяйство.
222 Леонард Эйлер (1707 – 1783)


С 1910 г. Швейцарское общество естествоиспытателей издает со-
брание сочинений Эйлера, распространяемое по международной
подписке: по предварительной оценке оно составит 75 томов боль-
шого объема. К началу 80-х годов вышло 72 тома. Восемь допол-
нительных томов должна составить научная переписка Эйлера.
Такой объем отражает не только поразительную скорость, с
которой работал Эйлер, но и привычку систематически печатать
научные тексты, в том числе и сравнительно спешно подготов-
ленные. Большой разброс тематики отражает не только широту
интересов и умение быстро войти в далекие области науки, но
и многочисленные академические обязанности как в Петербурге,
так и в Берлине. Некоторые публикации носят характер коротких
реплик. Эйлер легко входил в научные контакты, давал разнооб-
разные консультации, охотно думал над случайными, изолирован-
ными задачами, сообщаемыми его корреспондентами. Может по-
казаться, что ученый разбрасывался, проявлял всеядность, но это
только на первый взгляд. Случайные вопросы и задачи служили
питательной почвой для хорошо спланированных размышлений.
Эйлер умел своевременно останавливаться в своих раздумьях, ес-
ли не видел реалистической возможности двигаться вперед. Он
умел организовать свою жизнь так, чтобы многочисленные те-
кущие дела не сильно отражались на основном направлении его
работы.
Как это ни парадоксально, без большого преувеличения можно
сказать, что всю свою жизнь Эйлер занимался почти исклю-
чительно математикой. В других областях науки (например,
механике или астрономии) успех его был прежде всего свя-
зан с применением математических методов. Его философская
установка на протяжении всей его жизни состояла в том, что
естественно-научные открытия должны получаться путем тео-
ретической (в значительной степени математической) обработки
небольшого числа общих, несомненных принципов. В своей швей-
царской диссертации девятнадцатилетний Эйлер писал: «Я не
считал необходимым подтвердить эту новую теорию опытом,
потому что она полностью выведена из самых надежных и неопро-
вержимых принципов механики и, таким образом, сомнение в
том, верна ли она и имеет ли место в практике, просто не мо-
жет возникнуть». Даже законы Ньютона Эйлер пытался вывести
Леонард Эйлер (1707 – 1783) 223


из более общих принципов, а в небесной механике он стремился
не получать эмпирические формулы из обработки результатов
наблюдений, а делать выводы непосредственно из закона все-
мирного тяготения. Он всюду стремился двигаться от теории к
практике. Хотя Эйлер и был всю жизнь связан с экспериментом,
это не было его сильной стороной. С. И. Вавилов писал: «. . . гений
Эйлера был, по существу, математический . . . он плохо чувство-
вал эксперимент (хотя сам и экспериментировал). . . »; в другом
месте: «Математическому гению Эйлера не хватало физической
интуиции Ньютона и Гюйгенса, позволявшей угадывать решение
при отсутствии точной математической формулировки задачи
или методов ее решения».

Арифметика. Обращаясь к математическому наследию Эйлера,
естественно начать с его арифметических работ. Первые публи-
кации Эйлера относятся к 1732 году — пятому году пребывания
в Петербурге. У Эйлера было два великих предшественника в
арифметике: Диофант и Ферма. Если отвлечься от предысто-
рии, связанной с именем Диофанта (III век), то Пьер Ферма
(1601 – 1665) был первым, кто обнаружил, что в арифметике име-
ются не только удивительные факты про конкретные числа, но
и общие утверждения — теоремы. Формулировки значительно-
го числа таких теорем Ферма оставил на полях «Арифметики»
Диофанта (как нельзя кстати изданной в 1621 г.), в письмах и
заметках. Ферма был одним из крупнейших математиков своего
времени, он был в самом центре героической эпопеи создания
анализа и аналитической геометрии, поддерживал переписку с
ведущими математиками. Знаменательно, что он не смог заинте-
ресовать всерьез арифметическими задачами никого из наиболее
серьезных своих корреспондентов. Он нашел заинтересованных
собеседников лишь среди математиков калибром ниже, таких
как Френикль де Бесси (1605 – 1675). По трудно разгадывае-
мым причинам одни научные теории увлекают всех (например,
анализ в XVII веке), другие разрабатываются отдельными уче-
ными, тщетно пытающимися привлечь внимание коллег. Можно
вспомнить про проективную геометрию, созданную Ж. Дезаргом
(1591 – 1661) и Б. Паскалем (1623 – 1662) — далеко не безвестными
учеными, — забытую на полтора века и переоткрытую Г. Монжем
224 Леонард Эйлер (1707 – 1783)


(1746 – 1818) и его учениками. В 70-е годы XVII века заметки
Ферма были частично собраны и опубликованы, но трудно себе
представить судьбу арифметики Ферма, если бы не Эйлер.
П.Л. Чебышев (1821 – 1879) писал в 1849 году: «Эйлером было
положено начало всех изысканий, составляющих общую теорию
чисел. В этих изысканиях Эйлеру предшествовал Ферма . . . Но
изыскания этого геометра не имели непосредственного влияния
на развитие науки: его предложения остались без доказательств
и без приложений. В этом состоянии открытия Ферма служи-
ли только вызовом геометрам на изыскания в теории чисел. Но,
несмотря на весь интерес этих изысканий, до Эйлера никто на них
не вызывался. И это понятно: эти изыскания требовали не новых
приложений приемов, уже известных, или новых развитий прие-
мов, прежде употреблявшихся; эти изыскания требовали создания
новых приемов, открытия новых начал, одним словом, основания
новой науки. Это сделано было Эйлером.».
По-видимому, Эйлер узнал о работах Ферма вскоре после сво-
его приезда в Петербург в 1727 г. от Хр. Гольдбаха (1690 – 1764)
и сохранил интерес к теории чисел на всю жизнь. Выдающиеся
коллеги Эйлера отнеслись к его увлечению по меньшей мере без
понимания. Д. Бернулли (1700 – 1782), который сам был не прочь
немного позаниматься арифметическими задачами, в 1778 г. пи-
сал Н. И. Фуссу (1755 – 1826), ученику Эйлера, по поводу ариф-
метических работ его учителя: «. . . не находите ли Вы, что про-
стым числам оказывают, пожалуй, слишком большую честь, рас-
точая на них столько сил, и не отражает ли это рафинированный
вкус нашего века?». Арифметические проблемы Эйлер обсуждает
прежде всего с Гольдбахом, математиком очень оригинальным,
но все же не относившимся к крупнейшим современникам Эй-
лера, таким, как Ж. Р. Даламбер (1717 – 1783) или А.К. Клеро
(1713 – 1765).
Положение стало иным лишь к концу жизни Эйлера, когда
благодаря его работам отношение к теории чисел стало меняться
и он имел возможность обсуждать эти проблемы с Лагранжем в
письмах 1772 – 73 гг.
Уже в 1729 г. Эйлер узнал от Гольдбаха об утверждении Фер-
n
ма, что числа Fn = 22 + 1 являются простыми при всех n.
В 1732 году он обнаружил, что это утверждение неверно, а имен-
Леонард Эйлер (1707 – 1783) 225


но F5 делится на 641. Наблюдение Эйлера не было результатом
перебора: непосредственно искать делители у F5 было нереали-
стично даже для такого виртуозного вычислителя, каким был
Эйлер. Он вначале обнаруживает, что делители Fn имеют очень
специальный вид (если они существуют): k ·2n+2 +1, а после этого
обнаружить 641 = 5 · 27 + 1 было нетрудно. Удивительно, что пер-
вый заход Эйлера на доказательство утверждений Ферма вывел
его на единственное ошибочное утверждение. К счастью, это не
поколебало доверия и интереса к арифметике Ферма.
Другой класс простых чисел в поле зрения Эйлера — это про-
стые числа Мерсенна Mp = 2p ? 1 (p — простое). Делители Mp
должны одновременно иметь вид 2pk ? 1 и 8l ± 1. Пользуясь этим,
Эйлер доказал простоту числа M31 = 2147483647. С тех пор новых
простых чисел Ферма обнаружено не было, а рекорды в мире про-
стых чисел Мерсенна постоянно увеличиваются (рекорд 1983 г.:
p = 86243; сегодня компьютеры поставляют простые числа Мер-
сенна с невероятным числом знаков).
В отношении чисел Мерсенна Эйлер заполнил также пробел,
остававшийся от Евклида. Евклид знал, что если Mp — простое
число, то Mp (Mp +1)/2 — совершенное число (то есть число, равное
сумме своих собственных делителей). Эйлер доказал, что каждое
четное совершенное число представимо в таком виде (неизвестно
до сих пор, существуют ли нечетные совершенные числа). Эйле-
ра интересует, существуют ли многочлены P (n), которые при всех
натуральных n принимают простые значения. Он получает отри-
цательный ответ, но замечает, что значения многочлена 41?n+n2
просты при всех n 40.
Эйлер снабжает доказательством «малую теорему Ферма»,
утверждающую, что число ap?1 ? 1, где a — целое, не делящееся
на p, а p — простое, делится на p; но, не ограничившись этим, он
находит и доказывает ее обобщение на непростой делитель: если a
и m взаимно просты, то a?(m) ? 1 делится на m (здесь ?(m) — чис-
ло натуральных чисел, взаимно простых с m и меньших m; при
простом p имеем ?(p) = p ? 1). Обнаружив, что функция нату-
рального аргумента ?(m) (ее назовут функцией Эйлера) обладает
замечательными свойствами, он тем самым открывает важную
главу теории чисел — теорию арифметических функций. Эйлер
движется очень логично. Он подмечает, что для некоторых a
226 Леонард Эйлер (1707 – 1783)


число ak ? 1 делится на p при k < p ? 1, а для некоторых — нет.
В последней ситуации a называют первообразным корнем по мо-
дулю p. Эксперимент убеждает Эйлера, что первообразные корни
существуют для всех простых p, но доказать этого он не смог
(доказательство нашли позднее Лежандр и Гаусс). Эйлер умел
доказывать трудные теоремы, но он умел и трезво оценивать свои
возможности. Он никогда не концентрировал размышления над
одной трудной задачей на годы, а наступал на математические
тайны широким фронтом.
Еще одно утверждение, сформулированное Ферма без дока-
зательства, привлекло внимание Эйлера. Речь идет о представи-
мости квадратов n2 в виде kp ? 1, где p — простое число. При
p = 3 таких квадратов не бывает (почему?), а при p = 5 име-
ем 22 = 5 ? 1. Ферма утверждал, что для всякого простого p
вида 4l + 1 существует квадрат вида kp ? 1, а для p = 4l ? 1
таких квадратов не существует. В 1747 г. Эйлер после несколь-
ких безуспешных попыток доказывает это утверждение Ферма и
продолжает движение в естественном направлении: для каких p
число kp + 2 может быть квадратом и, шире, для каких p при
фиксированном a число kp + a может быть квадратом? При a = 2
гипотеза состоит в том, что квадраты такого вида существуют
при p = 8l ± 1 и не существуют в остальных случаях. Общая
гипотеза: квадраты вида kp + a (p — простое) существуют (как
говорят, a является квадратичным вычетом по модулю p) или не
существуют (a — квадратичный невычет) одновременно для всех
простых p из арифметической прогрессии b + 4ak (k = 1, 2, 3, . . . ).
Это утверждение позднее получило название «квадратичного за-
коном взаимности». Эйлер смог доказать его, кроме a = ?1, лишь
для a = 3. Далее Лагранж и Лежандр рассматривали случаи раз-
личных a, пока 19-летний Гаусс не нашел полное доказательство
гипотезы Эйлера (в нашей книге оно изложено в главе о Гауссе).
Следующий круг вопросов, унаследованный у Ферма, — это
решение уравнений в целых числах. Наиболее знаменитое утвер-
ждение Ферма — его «Великая теорема»: уравнение xn + y n = z n
при натуральном n > 2 не имеет решений в целых положительных
числах (при n = 2 такие решения существуют и называются пифа-
горовыми тройками). В 1738 году Эйлер находит доказательство
«Великой теоремы Ферма» для n = 3, 4, но он отказался от попы-
Леонард Эйлер (1707 – 1783) 227


ток доказать теорему для б?льших n, несмотря на немотивиро-
о
ванное утверждение Ферма о существовании доказательства для
произвольного n. Великая теорема Ферма была доказана Э. Уайл-
сом в 1995 году.
Однажды Ферма предложил Френиклю и Сен-Мартену по-
строить прямоугольный треугольник с целочисленными сторона-
ми, у которого сумма катетов и гипотенуза — квадраты, то есть ре-
шить в целых числах систему уравнений x+y = u2 , x2 +y 2 = v 4 .
Ферма заподозрили в том, что он дал «невозможную» задачу.
Эйлер исследовал эту систему, замечательную тем, что ее наи-
меньшее решение дается 13-значными числами: 1 061 652 293 520,
4 565 486 027 761.
Эйлер рассматривает уравнение x2 ? Dy 2 = 1, D = a2 , кото-
рое он называет уравнением Пелля. Он обнаруживает связь его
v
наименьшего решения с разложением D в бесконечную цепную
дробь. Многочисленные примеры убеждают Эйлера, что получа-
ется периодическая цепная дробь, но доказательство этого факта
лишь позднее нашел Лагранж.
Ферма утверждал, что всякое простое число вида 4k +1 может
быть представлено в виде суммы двух квадратов, причем един-
ственным образом (простые числа вида 4k+3, как легко показать,
не представляются в виде суммы квадратов). Эйлер устанавли-
вает, что верно и обратное: если представление N в виде сум-
мы квадратов существует и единственно, то N — простое число.
Он показывает, что этим свойством иногда можно пользоваться
для доказательства простоты N . Например, число 1 000 009 со-
ставное, поскольку наряду с представлением 10002 + 32 имеется
представление 2352 + 9722 . Далее, Эйлер показывает, что анало-
гичным свойством обладают формы x2 + 2y 2 , x2 + 3y 2 . В виде
x2 + 2y 2 представляются, причем единственным образом, простые
числа вида 8m + 1, 8m + 3, а числа, допускающие неединственное
представление, являются составными. Аналогично единственное
представление в виде x2 + 3y 2 допускают только простые числа
(они имеют вид 6m + 1). После этого Эйлер переходит к общей
задаче: верно ли, что число N допускает единственно представ-
ление в виде x2 + Dy 2 (D фиксировано) тогда и только тогда,
когда N — простое число. Это утверждение оказалось верным при
всех D 10, но при D = 11 удалось предъявить составное число,
228 Леонард Эйлер (1707 – 1783)


допускающее единственное представление. Ситуация заинтриго-
вала. Эйлера. Он назвал число D удобным, если в виде x2 + Dy 2
единственным образом представляются лишь простые числа. Эй-
лер получает критерий, позволяющий проверять удобство чисел,
и с любопытством выписывает удобные числа одно за другим; по-
сле 10 идут 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24. . . Постепенно удобные
числа встречаются все реже. В первой тысяче их набралось 62,
но Эйлер упорно продолжает вычисления, вероятно надеясь под-
метить закономерность. Он обнаружил еще только три удобных
числа: 1320, 1365, 1848, хотя, не теряя терпения, он перебрал все
числа до 10000 и несколько дальше. Эйлер имел все основания
высказать гипотезу, что совокупность удобных чисел ограничи-
вается найденными им 65 числами. Гаусс сделал рассмотрения
Эйлера более корректными, но новых удобных чисел не нашел.
Сейчас доказана конечность множества удобных чисел, но неиз-
вестно, существуют ли удобные числа, большие 1848. Эта работа
очень характерна для творческого метода Эйлера, проделывавше-
го огромную экспериментальную вычислительную работу как для
проверки гипотез, так и с целью увидеть новые закономерности.
Из великих математиков этим индуктивным методом в совершен-
стве владел, пожалуй, только Гаусс.
На этом мы кончим обзор той стороны арифметической де-
ятельности Эйлера, в которой он был последователем Ферма.
Он включил утверждения Ферма в далеко продуманную карти-
ну мультипликативной (связанной с делимостью) теории чисел,
безошибочно увидев практически все ее основные теоремы и

<< Пред. стр.

страница 23
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign