LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 20
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

недостойным молодого человека сидеть, точно пришпиленный к
месту; дух мой горел желанием стяжать большую научную славу
и посмотреть свет». Он принимает приглашение герцога Иоганна
Филиппа и переезжает в Майнц. Лейбниц хочет воспользовать-
ся ситуацией и, пусть в рамках довольно скромного государства,
создать совершенный свод законов. Постепенно его планы ста-
новятся все более широкими и одновременно менее реалистиче-
190 Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716)


скими. Он задумывает перестройку всей юридической науки, на-
чинает три грандиозные монографии. Вероятно, когда в 1717 г.
непременный секретарь Французской академии наук Фонтенель
в «Похвальном слове Лейбницу» назвал его великим юристом, у
него были основания.
У Лейбница немало интересных идей, но скоро приходит оче-
редь совершенно другого замысла. Живший в Майнце известный
дипломат Бойнебург увлекает Лейбница грандиозными планами
изменить европейскую политику. Их замыслам тесно в провинци-
альном Майнце. Они берутся за предложение курфюрста Бран-
денбургского найти мотивировку для избрания на польский пре-
стол немецкого князя. Лейбниц сочинил блестящий меморандум,
который, впрочем, не помешал проиграть дело: правильная прак-
тическая дипломатия оказалась эффективнее политического пам-
флета. Следующий прожект касался организации союза немецких
государств против Франции. Он содержал немало остроумных хо-
дов, но реализовать его не удалось. Наконец, третий грандиозный
проект: вовлечь Францию в войну с Турцией с тем, чтобы осла-
бить ее влияние в Европе. Для реализации проекта Лейбниц едет
в Париж. Единственным результатом было то, что Лейбниц по
существу лишился поддержки курфюрста, который не очень был
заинтересован в советнике, пытавшемся через его голову пере-
страивать европейскую политику.
Возможно, то обстоятельство, что Лейбниц остался не у дел,
переключило эту кипучую натуру на математику. Первоначально
в планах Лейбница математике предназначалась вспомогательная
роль. В 1666 г. он издает в Лейпциге «Диссертацию о комбина-
торном искусстве», в которой он сообщает, что его не интересует
открытие новых арифметических истин: математика должна по-
мочь ему разработать «логику открытия». И в Майнце он находит
время для «математических досугов». В 1676 г. он работает над
конструкцией арифметической машины, интересуется машиной
Паскаля. Лейбниц привез в Париж некоторые математические
результаты. Осенью 1672 г. они были темой обсуждения с Гюй-
генсом, который в те годы работал в Париже. Речь шла о сумми-
ровании числового ряда a1 +a2 +. . .+an +. . . при помощи подбора
такой последовательности b1 , b2 , b3 , . . . , что an = bn ? bn+1 . Тогда
a1 + . . . + an = b1 ? bn+1 . Лейбниц рассматривает ряд примеров,
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) 191


когда работает его правило, и удачно, что под правило подошел
пример, предложенный Гюйгенсом:
1 1 1
+ + ... + + ...
1·2 2·3 n(n + 1)
(здесь bn = 1/n). Они оба не знали, что этот прием не был нов,
да и речь шла об очень частном вопросе. Лейбниц тем не менее
был высокого мнения о своих достижениях. Позднее он трезво
оценивал ситуацию: «Когда я приехал в 1672 г. в Париж, я был
математиком-самоучкой, но опыт мой был невелик, мне не хвата-
ло терпения пройти долг цепь доказательств. . . Я хотел плавать
самостоятельно без учителя. . . В этом высокомерном математи-
ческом невежестве я уделял внимание только истории и праву,
видел в их изучении свою цель. Однако математика была для ме-
ня более приятным развлечением».
В 1673 г. Лейбниц посетил Лондон в составе майнцской ди-
пломатической миссии. Контакты с английскими математиками
подействовали на него отрезвляюще. Он узнал что его основные
результаты не новы, а современная математика далеко впереди.
У Лейбница оставался единственный путь войти в современную
математику — начать все с начала. 27 лет — не самый подходя-
щий возраст для старта в науку молодых, но Лейбница это не
смущает, он имел все основания позднее назвать себя «самым уча-
щимся из смертных» (письмо Я. Бернулли, 1703 г.). С осени 1673 г.
начинаются годы математического ученичества Лейбница, уме-
ло направляемого Гюйгенсом. Гюйгенс угадал в самоуверенном
«переростке» подлинный дар. «. . . Гюйгенс, который, как я пред-
полагаю, считал меня более способным, чем я был на самом деле,
дал мне экземпляр только что изданного Маятника“ . Для меня

это было началом или поводом для более глубоких математиче-
ских занятий.» Итак, все началось с великой книги «Маятниковые
часы». Затем последовали Сент-Винцент, Декарт, Слюз, Валлис, и
прежде всего Паскаль. Лейбниц увидел, что Паскаль по существу
применяет очень общий метод к частной задаче и, пораженный,
что «глаза Паскаля были закрыты», пытается вычленить этот
метод и применить его к другим задачам. Так появляется так на-
зываемый метод «характеристического треугольника», в котором
бесконечно малый треугольник заменяется конечным, что было
192 Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716)


существенным прогрессом по сравнению с методом неделимых.
Лейбницу было бы неплохо почитать и более классические тексты,
но он торопится; он в самом деле смог пробраться «к геометрии
воистину с черного хода». Появляются результаты, удивившие
Гюйгенса, например, ряд
? 111
= 1 ? + ? + ....
4 357
Потом оказалось, что его знал Грегори. Гюйгенс рассчитывал, что
при помощи ряда можно получить квадратуру круга (а Грегори,
напротив, рассчитывал таким способом доказать трансцендент-
ность ?). Лейбниц занимается не только анализом. Он пытается
найти формулу для решения общего алгебраического уравнения
(именно общего, частные проблемы его мало интересуют), анали-
зирует формулу Кардано в комплексной области (удивляет Гюй-
v
v v
генса соотношением 1 + ?3 + 1 ? ?3 = 6), работает над
циркулем, который позволяет находить корни любого уравнения
(подобно тому как обычный циркуль позволяет находить корни
квадратного).
Все же главные результаты связаны с бесконечно малыми.
Лейбниц писал, что уже в 1673 г. он «заполнил несколько сот
страниц», но еще «не считал этот труд достойным быть издан-
ным. Ибо мне наскучило заниматься мелочами, когда передо мной
открылся Океан».
Много теорем было получено в первый год «ученичества», но
большинство из них можно было найти у Грегори или Барроу.
Однако общие приемы позволяли получать все проще и единооб-
разнее. Путь Лейбница был выбран: он строит исчисление беско-
нечно малых.
Характер его таланта, его предыдущий научный опыт как
нельзя лучше отвечали этой цели. Он четко продумывает вопрос
о классе функций, которые должно рассматривать в анализе (са-
мо слово «функция» впервые появляется у Лейбница в 1673 г.).
Он решительно отвергает идею ограничиться алгебраическими
функциями (геометрическими кривыми по Декарту) и считает,
что необходимо рассматривать и трансцендентные функции (тер-
мин Лейбница; Декарт в этих случаях говорил о механических
кривых). С первых шагов он сопровождает построение исчисле-
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) 193


ния разработкой символики, которая в конечном счете приняла у
него вид, дошедший до наших дней.
Лейбниц, как никто до него, понимал важность удачной сим-
волики, причем не только в математике. Исчисление бесконечно
малых дало ему прекрасный повод для реализации этой идеи.
Хорошая символика не только упрощает пользование исчисле-
нием, но и по существу необходима для овладения им. В 1678 г.
Лейбниц писал Чирнгаузу: «Следует заботиться о том, чтобы
знаки были удобны для открытий. Это достигается в наибольшей
мере тогда, когда знаки коротко выражают и как бы отобра-
жают глубочайшую природу вещи, и при этом удивительным
образом сокращается работа мышления». Лейбниц всюду искал
возможность ввести удобную символику. Стоит упомянуть, что
к нему восходит метод решения систем линейных уравнений
при помощи определителей, в связи с чем он писал Лопиталю
(1693 г.): «Часть секрета анализа состоит в искусстве хорошо
употреблять применяемые знаки, и по этому малому образцу Вы
видите, сударь, что Виет и Декарт еще не познали все его тай-
ны». Следует подчеркнуть, что в исчислении Ньютона не было
развитой символики. Он сам писал, что «не дал своего метода
в форме символов и не придерживался какого-либо определен-
ного вида символов для флюент и флюксий». Показательно, что
Гюйгенс не оценил пользы аналитической символики. При его
даровании он был в состоянии без нее обходиться. Лейбниц пы-
тался объяснить преимущества: «Я вполне себе представляю,
что вы располагаете методом, эквивалентным моему исчислению
разностей. Ибо то, что я называю dx или dy, вы можете обо-
значить другой буквой. Однако это примерно то же самое, как
если бы вместо корней или степеней всегда хотели подставлять
буквы. . . Посудите сами, насколько это было бы затруднитель-
но. . . » То, без чего мог обойтись Гюйгенс, было совершенно
необходимо для превращения анализа в повседневное практи-
ческое средство. Вероятно, символика явилась решающей при-
чиной, по которой мы пользуемся сегодня анализом в варианте
Лейбница.
Уже в 1674 г. Лейбниц уверен, что «все учение о суммах и
квадратурах может быть сведено к анализу — вещь, на которую
никто до сих пор не надеялся». К концу 1675 г. в первом при-
194 Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716)


ближении исчисление построено, и Лейбниц имел повод убедить-
ся в его эффективности. Важным моментом было решение за-
дачи Дебона, которой занимался Декарт, но не смог довести ре-
шение до конца: «Еще в прошлом году я поставил перед собой
вопрос, который можно отнести к труднейшим во всей геомет-
рии, поскольку распространенные до сих пор методы здесь по-
чти ничего не дают. Сегодня я нашел его решение и я приведу
его анализ» (11 ноября 1675 г.). Речь идет о нахождении кри-
вой с постоянной подкасательной (отрезок между проекцией точ-
ки A на ось OX и точкой пересечения касательной в точке A с
осью OX). Трудность заключается в том, что решение связано
с логарифмической функцией. К середине 1676 г. дифференци-
альное и интегральное исчисление сложилось окончательно. Он
поражается, что «благодаря этому исчислению все предстает пе-
ред очами и в уме с восхитительной краткостью и ясностью».
Лейбниц, как и Ньютон, стремился создать мощный метод, не
заботясь на этой стадии о достаточно строгом обосновании исчис-
ления. «Ньютон и Лейбниц, повернувшись спиной к прошлому,
решили временно искать оправдание новым методам не в строгих
доказательствах, а в обилии результатов и их взаимной согласо-
ванности» (Н. Бурбаки). Еще на стадии ученичества Лейбницу
казалось, что Грегори слишком увлекается «доказательствами на
античный лад». Для Лейбница конкретные результаты, в первую
очередь, рассматривались как возможная иллюстрация его мето-
да. Возможно, здесь сказалось, что он никогда не умел легко де-
лать выкладки и всегда завидовал вычислителям «из железа или
меди». Позднее (1696 г., письмо Лопиталю) он связывал это с тем,
что одновременно занимался многими разными вещами: «Моему
уму, занятому другими предметами, не удается сосредоточиться в
необходимой мере, из-за этого я ежеминутно спотыкаюсь, а когда
я напрягаю внимание, у меня появляется неприятное ощущение
какого-то жара». В 1699 г.: «вычисления становятся приятнее, ко-
гда их делишь с кем-нибудь, а я не в состоянии долго заниматься
вычислениями, если мне не помогают».
В 1675 г. в Париже у Лейбница был достойный напарник, его
соотечественник Чирнгауз (1651 – 1708). Их способности были во
многом дополнительны, и это делало их сотрудничество особен-
но плодотворным. Чирнгауз занимался больше всего алгебраиче-
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) 195


скими уравнениями, но интересовался также и квадратурами.
Лейбницу было больно, что его товарищ не смог оценить пользу
исчисления: «. . . некоторые квадратуры, которые получены тобою
пространно, но изящно, и сами по себе красивы, я считаю только
следствиями общего исчисления. А пишу я это, мой друг, так как
с сожалением вижу, что ты часто теряешь много времени и толь-
ко потому, что не пожелал с достаточным вниманием отнестись к
некоторым моим замечаниям» (1678 г.).
Лейбниц, разумеется, слышал, что Ньютон владеет какими-то
мощными методами, и решает обсудить с ним свой новый метод.
Через посредничество Ольденбурга (секретаря Королевского об-
щества) в 1676 г. происходит обмен письмами. Лейбниц сообщает
о задачах, которые он умеет решать, просит сообщить о методах
Ньютона, обещает рассказать о своем методе. Еще ранее Лейбниц
писал Ольденбургу, что создание метода — единственная вещь,
которой он придает значение, Результаты Лейбница не удивили
Ньютона. Он сразу заметил, что задача Дебона сводится к квад-
ратуре гиперболы (логарифмам), а по поводу ряда для ? заме-
тил, что потребовалось бы 1000 лет, чтобы сосчитать 20 десятич-
ных знаков. Очень скупо говорит Ньютон о методе. Ясно лишь,
что центр тяжести в его рассмотрениях — на степенных рядах.
Ньютон утверждает, что он в состоянии решить при их помощи
любое дифференциальное уравнение. Основная часть информа-
ции закодирована в двух анаграммах, в которых высказывания
зашифрованы первыми буквами содержащихся в них слов (5ac-
cdae10effh. . . ). Ньютон расшифровал их много позднее. Это был
старинный способ сохранить приоритет. Быть может, концентра-
ция внимания на степенных рядах помешала Лейбницу осознать,
что у Ньютона имеется исчисление.
Лейбниц не согласен, что ряды решают все проблемы. «Мы
пока, насколько мне известно, не располагаем общим обратным
методом касательных». Ему видится иная картина. Надо пы-
таться сводить решение дифференциальных уравнений к извест-
ным квадратурам. Важно разобраться, хватает ли элементарных
функций и квадратур гиперболы и круга (логарифмической и
тригонометрических функций). Грегори приводил веские аргу-
менты в пользу того, что для вычисления длин дуг эллипса или
гиперболы (будущие эллиптические интегралы) этих квадратур
196 Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716)


мало. Тогда надо «установить какие-то другие высшие основные
фигуры» (в другом месте «высшие трансцендентности в гео-
метрии»), которых достаточно для решения дифференциальных
уравнений. Ньютона и эта постановка не застает врасплох: он
сообщает, при каких ? и ? интеграл x? (1 + x)? dx сводится к
известным квадратурам. Переписка прервалась по инициативе
Ньютона, кроме того в 1677 г. умер Ольденбург, через которого
она велась.

Математика и «завоевание умов» государей. Да и жизнь Лейбни-
ца решительно поменялась. От его парижского периода остались
лишь черновики и наброски статей. У него зреет план подготовки
всеобъемлющего труда «Математика бесконечного», но жизнен-
ные перемены отвлекли его от математики.
Нам не дано знать, опять ли взыграло у Лейбница политиче-
ское честолюбие, или он не нашел возможности обеспечить себе
жизнь занятиями наукой (возможно, протестантство помешало
ему получить место в Парижской академии наук). Так или ина-
че, с конца 1676 г. он на службе у герцога Иоганна Фридриха в
Ганновере. Он едет в Ганновер кружным путем, посещает Лон-
дон, где видится со многими математиками, но не встречается с
Ньютоном, встречается со Спинозой в Голландии.
Итак, Лейбниц смог получить место лишь у второсортного го-
сударя, да и то поначалу он лишь герцогский библиотекарь. Не
самое завидное место для 30-летнего ученого политика, еще не
отказавшегося от честолюбивых замыслов. Но Лейбниц полон эн-
тузиазма и мечтает о лучшей библиотеке в мире, пока размер
реально отпускаемых средств не охладил его. Его допускают к
юридической деятельности, но предпочитают загружать повсе-
дневными делами, к которым он не имел вкуса, в отличие от
глобальных юридических проблем. Очень ограниченно допускают
Лейбница к дипломатической деятельности. Так, ему поручается
подготовить текст, мотивирующий право герцога участвовать во
франко-германских мирных переговорах. Иоганн Фридрих был
католическим монархом в протестантском государстве, и Лейб-
ниц хотел воспользоваться этим обстоятельством для реализации
своей заветной идеи: объединить католическую и протестантскую
религии.
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) 197


В 1678 г. на престоле новый герцог Эрнст Август, при кото-
ром дела стали идти хуже. Но Лейбниц полон проектов, спектр
которых необычайно велик: усовершенствование кладки печей,
производства гвоздей, молотков, усовершенствование колес эки-
пажей, удочек, рулей кораблей, литейного производства, пожар-
ного дела, реорганизация архивов, составление «Свода законов
Эрнсто-Августов» и т. д. Почти ни один проект не нашел под-
держки. Дальше всего зашло дело с планом усовершенствова-
ния водяных двигателей на рудниках в Гарце. В 1685 г. реализа-
ция была прервана, поскольку была признана бесперспективной.
В каждом проекте Лейбница была остроумная находка, но ему ча-
сто не хватало реализма. Успех наступал тогда, когда за доводку
идеи брался талантливый практик. Так было с паровой маши-
ной: «. . . Лейбниц, рассыпая вокруг себя, как всегда, гениальные
идеи без заботы о том, припишут ли заслугу открытия этих идей
ему или другим, — Лейбниц, как мы знаем теперь из переписки
Папена (изданной Герландом), подсказал ему при этом основную
идею: применение цилиндра и поршня» (Ф. Энгельс). В качестве
курьеза упомянем, что Лейбниц предлагал патеру Гримальди, на-
правлявшемуся в Китай, ознакомить просвещенного императора
с двоичной системой счисления и при ее помощи обратить в хри-
стианство (доказав единственность божества).
Постоянная борьба за влияние при дворе надолго отвлекла
Лейбница от математики. Новое обращение Лейбница к матема-
тике стимулировалось двумя обстоятельствами. С 1682 г. при под-
держке Лейбница стали выходить «Ученые записки» в Лейпци-
ге, и Лейбниц предполагает публиковать там свои результаты.
В 1683–84 гг. в журнале публикуются статьи Чирнгауза о квад-
ратурах, в которых Лейбниц обнаруживает следы своих недав-
них бесед с автором без необходимых ссылок. Когда-то Лейбниц
безуспешно пытался убедить Чирнгауза в эффективности исчис-
ления, теперь он напечатал сам некоторые результаты в этом
направлении. Очень вероятно, что Чирнгауз не помнил, что перво-
источником его утверждений были высказывания Лейбница. Так
бывает, что непонятые мысли прячутся глубоко, а через некоторое
время возникают как свои собственные.
В мае 1684 г. Лейбниц напечатал статью с осторожной кри-
тикой Чирнгауза (без приоритетных претензий и без указания
198 Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716)


полной фамилии), а в октябре выходит его знаменитая статья, о
которой мы говорили в начале. На семи страницах формулируют-
ся основные правила дифференциального исчисления, обсуждает-
ся связь с задачами на максимум и минимум и о точках перегиба,
рассматривается несколько примеров (вывод закона преломления,
задача Дебона). Очень оптимистична оценка: «То, что человек,
сведущий в этом исчислении, может получить прямо в трех стро-
ках, другие ученейшие мужи принуждены были искать, следуя
сложными обходными путями». По существу в это время Лейб-
ниц не занимается анализом. Он лишь печатает немногое из своих
математических «кладовых». Он печатает еще несколько статей.
Среди них в 1686 г. вышла статья «о глубоко скрытой геометрии и
анализе неделимых, а также бесконечных». В ней впервые появля-
ется в печати интеграл (он еще называется суммой, но обознача-
ется через ; термин «интеграл» ввел И. Бернулли). Здесь четко
формулируется взаимная обратность операций дифференцирова-
ния и интегрирования, подчеркивается необходимость рассмотре-
ния трансцендентных функций в анализе. В статье приводятся
краткие исторические замечания. Ньютон называется «глубочай-
шего дарования геометром». Отмечается, что публикация его ме-
тодов способствовала «немаловажному приращению науки». На
этом фактически закончился второй период математической жиз-
ни Лейбница.
Дела при дворе складывались все хуже. К 1685 г. оконча-
тельно провалился гарцский проект. Герцог нацелился стать девя-
тым курфюрстом (князья, участвующие в выборах императора).
В этой игре Лейбницу отводится немаловажная, но четко огра-
ниченная роль. Он должен провести изыскания по истории дома
Вельфов, к которому относился герцог. Они были необходимы для
подкрепления претензий. Любознательного Лейбница скромная
деятельность историографа вполне привлекала. Она, в частности,
давала ему возможность вырваться из Ганновера. В 1687 г. он от-
правляется в трехлетнюю поездку для работы в архивах Германии
и Италии. За десять лет безвыездной ганноверской жизни его кон-
такты с учеными были крайне ограничены. Он пытается заменить
их активной перепиской: еще в Майнце число его корреспонден-
тов приближалось к 50, в Ганновере их число возросло до 70, а
к началу нового века и до 200. Все же письма не могут заменить
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) 199


личных контактов. Подводя итоги путешествия, Лейбниц напи-
шет: «Путешествие отчасти послужило тому, чтобы освободить
меня от обычных обязанностей и дать моему духу исцеление, и я
получил удовлетворение от бесед, которые имел обыкновение ве-
сти со многими искусными в науках и эрудированными людьми».
Кроме того, Лейбницу тесно на службе у ганноверского герцога.
Для его планов важно «завоевать ум большого государя». Он по-
лучает аудиенцию у императора Леопольда в Вене («Я прожил
день, которого желал уже двадцать лет»). В числе благосклонно
встреченных предложений — проект организации Академии наук
в Вене. Но скоро императору, занятому войной с Францией, стало
не до Академии.
С 1690 г. Лейбниц снова в Ганновере. Он рассчитывает за два-
три года закончить «Историю Вельфов». Но оценка оказалась,
как всегда, слишком оптимистической. Слишком фундаменталь-
ны были его замыслы, а они еще расширялись по мере работы.
Ограничивать задачу Лейбниц не умел, и книга тяжелым грузом
висела на нем до конца его дней.

<< Пред. стр.

страница 20
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign