LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 2
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

отдавали приоритет точному изложению конкретных достижений
ученых (работы Галилея по механике, математические и механи-
ческие исследования Гюйгенса в связи с маятниковыми часами,
две первые математические работы Гаусса). К сожалению, это не
всегда возможно, даже если речь идет о давних работах. Нет боль-
шего удовольствия, чем следить за полетом мысли гения, как бы
давно он ни жил. Дело не только в том, что любителю физики
или математики это недоступно в отношении современных работ.
Уметь почувствовать революционный характер старого достиже-
ния — важный элемент культуры. Высокомерие по отношению к
давно жившим людям — опасная черта. Рассказывая детям о вели-
ких открытиях, мы часто не учим их этим открытиям удивляться.
Мы хотим подчеркнуть, что собранные в книге рассказы не но-
сят характер историко-научных текстов. Это проявляется в силь-
ной адаптации исторических реалий. Мы свободно модернизируем
рассуждения ученых: пользуемся алгебраической символикой в
доказательствах Кардано, вводим ускорение свободного падения
в выкладки Галилея и Гюйгенса (чтобы не мучить читателя беско-
12 Предисловие


нечными пропорциями), работаем с натуральными логарифмами
вместо неперовых при рассказе об открытии Непера, пользуемся
поздними высказываниями Галилея, чтобы реконструировать ло-
гику его ранних исследований по механике. Всюду мы сознательно
пренебрегали деталями, уместными в работе по истории науки, с
тем чтобы выпукло изложить небольшое число основных идей.
«ВЕЛИКОЕ ИСКУССТВО»

В 1545 г. вышла книга Джероламо Кардано, название которой
начиналось этими словами (по латыни «Ars magna»). В основ-
ном она была посвящена решению уравнений 3-й и 4-й степеней,
однако ее значение для истории математики выходило далеко за
пределы этой конкретной задачи. Уже в XX веке Феликс Клейн,
оценивая книгу, писал: «Это в высшей степени ценное произведе-
ние содержит зародыш современной алгебры, выходящей за пре-
делы античной математики».
XVI век был веком возрождения европейской математики по-
сле средневековой спячки. На тысячу лет были забыты, а частич-
но безвозвратно утрачены, труды великих греческих геометров.
Из арабских текстов европейцы узнавали не только о математике
Востока, но и об античной математике. Характерно, что в распро-
странении математики в Европе большую роль сыграли купцы,
для которых поездки были средством и получения информации,
и ее распространения. Особенно выделяется фигура Леонардо из
Пизы (1180 – 1240), более известного как Фибоначчи (сын Бона-
ччи). Его имя увековечено в названии замечательной числовой
последовательности (числа Фибоначчи). Наука может утратить
высочайший уровень очень быстро. Для его восстановления мо-
гут потребоваться века. Три века европейские математики оста-
вались учениками, хотя у того же Фибоначчи были, безусловно,
интересные наблюдения. Лишь в XVI веке в Европе появились
математические результаты принципиального значения, которых
не знали ни античные, ни восточные математики. Речь идет о ре-
шении уравнений 3-й и 4-й степеней.
Характерно, что достижения новой европейской математики
относятся к алгебре, новой области математики, пришедшей с Во-
стока и, по существу, делавшей только первые шаги. По крайней

13
14 Джероламо Кардано (1501 – 1576)


мере еще сто лет математикам Европы будет не по силам не толь-
ко сделать в геометрии что-нибудь сопоставимое с достижениями
Евклида, Архимеда, Аполлония, но даже усвоить до конца ре-
зультаты великих геометров.
Легенда приписывает Пифагору фразу: «Все есть число.» Но
после Пифагора в греческой математике постепенно все подчи-
нила геометрия. В геометрической форме имелись у Евклида и
элементы алгебры. Например, квадрат разрезался прямыми, па-
раллельными сторонам, на два меньших квадрата и два равных
прямоугольника. Из сопоставления площадей получалась форму-
ла (a + b)2 = 2 + b2 + 2ab. Но, разумеется, символики не было, и
формулировка с площадями оставалась окончательной. Форму-
лировки получались очень громоздкими. Задачи на построение
циркулем и линейкой по существу приводили к решению квадрат-
ных уравнений и рассмотрению выражений, содержащих квад-
ратные корни (квадратичных иррациональностей). Например, у
Евклида (на другом языке) подробно исследуются выражения
v
вида a + b. В определенной степени греческие геометры по-
нимали связь классических неразрешимых задач на построение
(удвоение куба и трисекция угла) с кубическими уравнениями.
У арабских математиков алгебра постепенно отрывается от
геометрии. Впрочем, как мы увидим ниже, решение кубическо-
го уравнения было получено геометрическим путем (алгебраиче-
ский вывод формул для решения даже квадратного уравнения
появился лишь в 1572 г. у Бомбелли). Алгебраические утвержде-
ния появляются у арабских математиков как рецепты для реше-
ния однотипных арифметических задач, обычно с «житейским»
содержанием (например, задачи на раздел наследства). Правила
формулируются на конкретных примерах, но с таким расчетом,
чтобы можно было решить похожую задачу. До последнего вре-
мени так иногда формулировались правила решения арифмети-
ческих задач («тройное правило» и т. д.). Формулировка правил в
общем виде почти неминуемо требует развитой символики, до ко-
торой было еще далеко. Арабские математики не пошли дальше
решения квадратных уравнений и некоторых специально подо-
бранных кубических.
Проблема решения кубических уравнений волновала как араб-
Джероламо Кардано (1501 – 1576) 15


ских математиков, так и их европейских учеников. Удивительный
результат в этом направлении принадлежит Леонардо Пизанско-
му. Он показал, что корни уравнения 3 + 22 + 10 = 20 не мо-
гут быть выражены через евклидовские иррациональности вида
v
a + b. Поразительная для начала XIII века постановка задачи,
предвещавшая проблему разрешимости в радикалах, осмыслен-
ную значительно позже. Путей же к решению общего кубического
уравнения математики не видели.
Состояние математики на рубеже XV – XVI веков было поды-
тожено в книге Луки Пачоли (1445 – 1514) «Сумма арифметики»
(1494 г.), одной из первых печатных книг по математике, напи-
санной к тому же не на латыни, а на итальянском языке. В конце
книги говорится, что для решения кубических уравнений «искус-
ством алгебры еще не дан способ, как не дан способ квадратуры
круга». Сравнение звучит внушительно, а авторитет Пачоли был
настолько велик, что большинство математиков (как мы увидим,
среди них в начале были и наши герои) считало, что кубические
уравнения в общей ситуации решить вообще нельзя.
Сципион Дель Ферро. Нашелся человек, которого мнение Пачоли
не остановило. Это был профессор математики в Болонье Сципи-
он дель Ферро (1465 – 1526); он нашел способ решать уравнения

x3 + ax = b. (1)
Отрицательными числами тогда еще не пользовались и, напри-
мер, уравнение
x3 = ax + b (2)
воспринималось как совсем другое! Об этом решении известны
лишь косвенные сведения. Дель Ферро сообщил его своему зятю
и преемнику по кафедре Аннибалу делла Наве и ученику Анто-
нио Марио Фиоре. Последний решил после смерти учителя вос-
пользоваться доверенной ему тайной, чтобы стать непобедимым в
поединках по решению задач, которые были тогда очень распро-
странены. 12 февраля 1535 г. его жертвой едва не стал Никколо
Тарталья — один из главных героев нашего рассказа.
Никколо Тарталья. Тарталья родился около 1500 г. в Брешии в
семье бедного конного почтальона Фонтане. В детстве, когда его
16 Джероламо Кардано (1501 – 1576)




Никколо Тарталья (единственный известный портрет).

родной город был захвачен французами, он был ранен в гортань
и с тех пор говорил с трудом. Отсюда и его прозвище «Тарта-
лья» («заика»). Он рано остался на попечении матери, которая
попыталась учить его в школе. Но деньги кончились, когда в
классе письма дошли до буквы «к». Тарталья покинул школу,
не научившись писать свою фамилию. Он продолжает занимать-
ся самостоятельно и становится «магистром абака» (что-то вроде
учителя арифметики в частном коммерческом училище). Он мно-
го ездит по Италии, пока в 1534 г. не попадает в Венецию. Здесь
его научные занятия стимулировались общением с инженерами и
артиллеристами из знаменитого венецианского арсенала. Тарта-
лью спрашивают, например, как надо наклонить орудие, чтобы
оно стреляло дальше всего. Он дает ответ, который показался
спрашивавшим удивительным, — под углом 45? . Ему не верят, что
надо поднять ствол так высоко, но «несколько частных опытов»
доказали его правоту. Хотя Тарталья говорит, что у него были
«математические доводы» для этого утверждения, скорее это бы-
ло эмпирическое наблюдение (а доказательство дал лишь Гали-
лей).
Джероламо Кардано (1501 – 1576) 17


Тарталья публикует две книги, служащие продолжением одна
другой: «Новая наука» (1537 г.) и «Проблемы и различные изобре-
тения» (1546 г.), где читателю обещаются «. . . новые изобретения,
не краденные ни у Платона, ни у Плотина, ни у какого иного грека
и латинянина, а полученные лишь искусством, измерением и ра-
зумом». Книги написаны на итальянском языке, в форме диалога,
которую позднее перенял Галилей. В ряде вопросов Тарталья был
предшественником Галилея. Хотя в первой из указанных книг он
повторял вслед за Аристотелем, что брошенное под углом тело
вначале летит по наклонной прямой, затем по дуге окружности
и, наконец, по вертикали падает вниз, во второй книге он пишет,
что траектория «не имеет ни одной части, которая была бы со-
вершенно прямой». Тарталья интересовался равновесием тел на
наклонной плоскости, свободным падением тел (его ученик Бене-
детти убедительно показал, что характер падения тела не должен
зависеть от веса). Важную роль сыграли выполненные Тартальей
переводы Архимеда и Евклида на итальянский язык (Тарталья
называет его «народным» в отличие от латыни), его подробные
комментарии. По своим человеческим качествам Тарталья был
далеко не безупречен, очень труден во взаимоотношениях. Бом-
белли (правда, человек не беспристрастный; о нем ниже) писал,
что «этот человек по натуре своей был так склонен говорить толь-
ко дурное, что даже хуля кого-либо считал, что дает ему лестный
отзыв». По другим свидетельствам (Нуньес) «он временами бывал
так возбужден, что казался умалишенным».
Вернемся к предстоящему поединку. Тарталья был опытным
бойцом и надеялся одержать над Фиоре легкую победу. Он не
испугался и тогда, когда обнаружил, что все 30 задач Фиоре со-
держат уравнения (1) при разных a и b. Тарталья думал, что
Фиоре не умеет сам решать предложенные задачи, и надеялся
разоблачить его: «Я думал, что ни одна из них не может быть
решена, потому что брат Лука (Пачоли — С. Г.) уверяет в сво-
ем труде, что такого рода уравнения невозможно решить общей
формулой». Когда уже почти истекли 50 дней, после которых
надлежало сдать решения нотариусу, до Тартальи дошли слу-
хи, что Фиоре обладает таинственным способом решения урав-
нения (1). Перспектива угощать парадным обедом друзей Фиоре
18 Джероламо Кардано (1501 – 1576)


в количестве, равном числу за-
дач, решенных победителем (тако-
вы были правила!), не привлекала
Тарталью. Он прилагает титани-
ческие усилия, и счастье улыбает-
ся ему за восемь дней до назначен-
ного срока (срок истекал 12 фев-
раля 1535 г.): желанный способ
найден! За два часа Тарталья ре-
шил все задачи. Противник его не
решил ни одной. Странным обра-
зом он не справился с одной зада-
чей, которую можно было решить
по формуле дель Ферро (Тарта-
лья дал задачу, имея в виду ис-
кусственный прием). Впрочем мы
увидим, что формулой воспользо-
Джероламо Кардано.
ваться нелегко. Через день Тарта-
лья нашел способ решать уравнения (2).
О поединке Тарталья – Фиоре знали многие. В этой ситуа-
ции секретное оружие могло не помочь, а помешать Тарталье в
дальнейших поединках. Кто согласится состязаться с ним, если
исход предрешен? Все же Тарталья отвергает несколько просьб
раскрыть его способ решать кубические уравнения. Но нашелся
проситель, который добился своего. Это был Джероламо Карда-
но, второй герой нашего рассказа.

Джероламо Кардано. Он родился 24 сентября 1501 г. в Павии. Его
отец — Фацио Кардано, образованный юрист с широкими интере-
сами, упоминается у Леонардо да Винчи. Он был первым учи-
телем сына. Окончив университет в Падуе, Джероламо решает
посвятить себя медицине. Он был незаконнорожденным ребенком,
и это закрыло ему доступ в коллегию врачей Милана. Кардано
долго практиковал в провинции, пока в августе 1539 г. его все же
не приняли в коллегию, специально изменив для этого правила.
Кардано был одним из самых знаменитых врачей своего времени,
вероятно, вторым после Андрея Везалия, его друга. На склоне
лет Кардано написал автобиографию («О моей жизни»). В ней
Джероламо Кардано (1501 – 1576) 19


считанные упоминания о занятиях математикой, зато подробно
описываются исследования по медицине. Он утверждал, что опи-
сал приемы излечения до пяти тысяч трудноизлечимых болезней,
что число разрешенных им проблем и вопросов доходит до соро-
ка тысяч, а более мелких указаний — до двухсот тысяч. Конечно,
к этим цифрам следует относиться с должной долей скептициз-
ма. Все же слава Кардано-врача была несомненной. Он описывает
случаи из своей медицинской практики, делая нажим на лечение
знатных особ (шотландского архиепископа Гамильтона, кардина-
ла Марона и т. д.), утверждая, что его постигли лишь три неуда-
чи. По-видимому, если прибегнуть к современной терминологии,
он был выдающимся диагностом, но не обращал большого вни-
мания на анатомические сведения, как это делали Леонардо да
Винчи и Везалий. В автобиографии Кардано сопоставляет себя с
Гиппократом, Галеном, Авиценной (мысли последнего были ему
особенно близки).
Однако занятия медициной не поглощали Кардано полностью.
В свободное время он занимался всем на свете. Например, состав-
лял гороскопы живых и мертвых (Христа, английского короля
Эдуарда VI, Петрарки, Дюрера, Везалия, Лютера). Эти занятия
сильно повредили Кардано в глазах потомков (по одной недоброй
легенде он покончил жизнь самоубийством, чтобы подтвердить
собственный гороскоп). Но следует помнить, что в те времена
занятия астрологией считались вполне респектабельными (астро-
номия воспринималась как часть астрологии — натуральная аст-
рология в отличие от юдициарной). Услугами Кардано-астролога
пользовался папа.
В своей научной деятельности Кардано был энциклопедистом,
однако энциклопедистом-одиночкой, что характерно для эпохи
Возрождения. Лишь через полтора века появились первые акаде-
мии, в которых ученые специализировались в более или менее уз-
ких областях. Только в таких коллективах можно было создавать
подлинные энциклопедии. Энциклопедист-одиночка не в состоя-
нии в достаточной степени проконтролировать все сообщаемые
им сведения. В случае Кардано большую роль играли особенно-
сти его личности, его психического склада. Он верил в чудеса,
предчувствия, демонов, в свои собственные сверхъестественные
возможности. Он подробно описывает события, убедившие его в
20 Джероламо Кардано (1501 – 1576)


этом (при любых столкновениях в его присутствии не проливалась
кровь ни у людей, ни у животных, даже на охоте; о всех событиях,
кончившихся гибелью его сына, он узнавал заранее по приметам
и т. д.). Кардано считал, что он обладал даром озарения (гарпо-
кратическим чувством, как он его называл), который позволял
ему угадывать пораженный орган у больного, кости, которые вы-
падут в игре, видеть печать смерти на лице у собеседника. Боль-
шую роль в жизни Кардано играли сновидения, которые он за-
поминал с мельчайшими деталями и подробно описывал. По этим
описаниям современные психиатры пытались определить болезнь
Кардано. Кардано пишет, что постоянно повторяющиеся сновиде-
ния вместе с желанием увековечить свое имя служили основными
поводами для написания книг. В энциклопедиях Кардано «О тон-
ких материях», «О разнообразии вещей» описанию снов автора и
его отца уделено много места.
Но в этих книгах содержится и много собственных наблю-
дений и тщательно продуманных сообщений других. Готовность
обсуждать фантастические теории, своеобразная доверчивость
играют не только отрицательную роль; благодаря им он обсуж-
дает вещи, о которых его более осторожные коллеги решились
говорить на много лет позже (см. ниже о комплексных числах).
Не всегда удается проследить авторство. Неясно (это относит-
ся и к другим итальянским авторам XVI века), в какой мере
Кардано был знаком с трудами Леонардо да Винчи (широкой
публике они стали известны лишь в самом конце XVIII ве-
ка). Книга «О тонких материях», переведенная во Франции,
служила популярным учебником по статике и гидростатике в те-
чение всего XVII века. Галилей пользовался указанием Кардано
об использовании собственного пульса для измерения времени
(в частности, при наблюдении над качанием люстры в собо-
ре). Кардано утверждал, что невозможен вечный двигатель,
некоторые его замечания можно интерпретировать как прин-
цип возможных перемещений (так считает известный историк
физики Дюэм), он рассматривал расширение водяного пара.
Кардано разделял созданную еще в III веке до н. э. теорию,
объяснявшую приливы и отливы действием Луны и Солнца. Он
впервые четко провел различие между притяжениями магнит-
ным и электрическим (разумеется, имеются в виду явления типа
Джероламо Кардано (1501 – 1576) 21


наблюдавшегося еще Фалесом притяжения соломинок натертым
янтарем).
Кардано был не чужд и экспериментальным исследованиям
и конструированию практических механизмов. На склоне лет он
при помощи опыта установил, что отношение плотности воздуха
к плотности воды равно 1/50. Когда в 1541 г. испанский король
Карл V триумфально вошел в завоеванный Милан, ректор колле-
гии врачей Кардано шел рядом с балдахином. В ответ на оказан-
ную честь он предложил снабдить королевский экипаж подвеской
из двух валов, качение которых не выведет карету из горизон-
тального положения (в империи Карла V дороги были дальние
и плохие). Ныне такая система подвески называется карданом
(карданный подвес, карданный вал, карданное сочленение) и при-
меняется в автомобилях. Справедливость требует отметить, что
идея такой системы восходит к античности и что, по крайней мере,
в «Атлантическом кодексе» Леонардо да Винчи имеется рисунок
судового компаса с карданным подвесом. Такие компасы получи-
ли распространение в первой половине XVI века, по-видимому,
без влияния Кардано.
Кардано писал огромное число книг, часть из которых была
напечатана, часть осталась в рукописи, а часть была уничтоже-
на им в Риме в ожидании ареста. Только описание книг составило
объемистую книгу «О собственных сочинениях». Многие годы бы-
ли популярны книги Кардано по философии и этике. Книга «Об
утешении» была переведена на английский язык и оказала вли-
яние на Шекспира. Некоторые шекспироведы утверждают даже,
что Гамлет произносит монолог «Быть или не быть», держа эту
книгу в руках.
Можно много говорить о личности Кардано. Он был страстен,
вспыльчив, много играл в азартные игры. Сорок лет играл Кар-
дано в шахматы («я никогда не мог выразить в кратких словах,
сколько ущерба, без всякого за него возмещения, причинили они
моим домашним делам»), двадцать пять лет играл он в кости
(«но еще более шахмат повредили мне кости»). Ради игры он
временами бросал все занятия, попадал в неприятные ситуации.
Побочным продуктом этой страсти Кардано была «Книга об игре
в кости», написанная в 1526 г., но напечатанная лишь в 1663 г.
Эта книга содержит начала теории вероятностей, включая пред-
22 Джероламо Кардано (1501 – 1576)


варительную формулировку закона больших чисел, некоторые
вопросы комбинаторики, наблюдения над психологией игроков.
Несколько слов о характере Кардано. Он сам пишет: «. . . сре-
ди моих пороков исключительным и крупным является тот, кото-
рый заставляет меня не говорить ни о чем с таким удовольствием,
как о том, что, как я знаю, окажется неприятным моим слушате-
лям. И я сознательно и упорно коснею в этом. . . Я допустил много
ошибок, на которые подбивала меня моя наклонность всюду кста-
ти и некстати сообщать обо всем мне известном. . . К этому меня
побуждало не только опрометчивое легкомыслие и незнакомство
с делами, но и пренебрежительное отношение к тем приличиям,
которые в большинстве случаев соблюдаются между людьми бла-
говоспитанными и которые я усвоил только впоследствии». Для
друзей и учеников он умел быть и другим. Бомбелли писал, что
Кардано имел «скорее божественный, чем человеческий облик».

Кардано и Тарталья. К 1539 г. Кардано заканчивает свою первую
математическую книгу «Практика общей арифметики»; она была
призвана заменить книгу Пачоли. Услышав о секрете Тартальи,
он загорелся желанием украсить им свою книгу. По его просьбе
книготорговец Жуано Антонио встретился с Тартальей в Венеции
2 января 1539 г. Он просит от имени «честного человека, врача
города Милана, по имени Джероламо Кардано» передать прави-
ло решения уравнения (1) или для опубликования в книге, или
под обещание держать сообщенное в секрете. Ответ был отрица-

<< Пред. стр.

страница 2
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign