LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 19
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

торию, подчеркивает роль слу-
чая в ней («Если бы нос Клео-
патры был бы короче, вся по-
верхность земли приняла бы другой вид»), повествует о страшных
сторонах человеческой жизни («Может ли быть что-нибудь неле-
пее факта, что такой-то человек имеет право убить меня, потому
что он живет по ту сторону реки или моря и потому что его пра-
вительство в ссоре с моим, хотя я никакой не имею с ним ссоры»).
Высказывания Паскаля по самым разным вопросам необычайно
проницательны. Его мысли о государстве ценил Наполеон, ко-
торый, находясь в изгнании на острове св. Елены, говорил, что
«сделал бы Паскаля сенатором».
Паскаль не окончил главную книгу жизни. Оставшиеся мате-
риалы были изданы посмертно в разных вариантах, под разными
названиями. Чаще всего книгу называют «Мысли».
Популярность этой книги была необычайной. Мы ограничим-
ся тем, что подчеркнем ее влияние на деятелей русской культуры.
Не все принимали ее. И. С. Тургенев называл «Мысли» «самой
ужасной, самой несносной книгой из всех когда-либо напечатан-
180 Блез Паскаль (1623 – 1662)


ных», но писал, что «. . . никогда еще никто не подчеркивал то-
го, что подчеркивает Паскаль: его тоска, его проклятия ужас-
ны. В сравнении с ним Байрон — розовая водица. Но какая глу-
бина, какая ясность — какое величие!. . . Какой свободный силь-
ный, дерзкий и могучий язык!. . . ». Н. Г. Чернышевский писал о
Паскале: «. . . погибать от избытка умственных сил — какая слав-
ная погибель. . . ». Полемика с Паскалем прошла через всю жизнь
Ф. М. Достоевского. Для Л. Н. Толстого Паскаль был одним из
самых почитаемых мыслителей. Имя Паскаля постоянно встреча-
ется в составленном им «Круге чтения» (около 200 раз). Паскаль
для Л. Н. Толстого писатель, «пишущий кровью сердца».
Блез Паскаль скончался 19 августа 1662 г. 21 августа в церкви
Сент-Этьен-дю-Мон был составлен «Похоронный акт»: «В поне-
дельник 21 августа 1662 г. был похоронен в церкви покойный Блез
Паскаль, при жизни стремянный, сын покойного Этьена Паска-
ля, государственного советника и президента палаты сборов в
Клермон-Ферране. 50 священников, получено 20 франков».
ВЫСОКОЙ ГЕОМЕТРИИ НАЧАЛА
Но это лишь начала некоей много более высокой Геометрии,
которая распространяется на труднейшие и прекраснейшие
задачи прикладной Математики, и едва ли кому-нибудь удаст-
ся заняться с той же легкостью такими вещами, не пользуясь
нашим дифференциальным исчислением или ему подобны-
ми. Лейбниц

В 1684 г. в журнале «Acta Eruditorum», выходившем с 1682 г. в
Лейпциге («Труды ученых», или, как говорят сейчас, «Ученые за-
писки»), появилась семистраничная статья Готфрида Вильгельма
Лейбница (1646 – 1716) «Новый метод максимумов и минимумов,
а также касательных, для которого не служат препятствием ни
дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род
исчисления». Это была первая публикация по дифференциаль-
ному исчислению, хотя возникло оно лет на двадцать раньше, а
первые шаги старше еще на пятьдесят лет и относятся к самому
началу XVII века.
Золотой век анализа. Анализ бесконечно малых. . . Как видятся
сегодня вехи героического века его создания? В самом нача-
ле XVII века Галилей (1564 – 1642) изучает равноускоренное
движение в связи со свободным падением. Как исследовать
неравномерное движение, если вся наша интуиция относится
к равномерному движению? Можно считать, что на малых участ-
ках времени движение мало отличается от равномерного. Но
удобнее считать, что на «бесконечно малых» интервалах оно
просто является равномерным. Появляется очень расплывчатый
образ неравномерного движения, рассыпающегося на бесконечное
множество бесконечно малых интервалов (нулевых?) с равно-
мерным движением. Лишь через двести лет этот образ удалось
превратить в математически корректное понятие, но все это время

181
182 Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716)


математики решительно и
успешно работали с ним. А по-
том от прямолинейного дви-
жения перешли к криволиней-
ному: движение тела, брошен-
ного под углом к горизонту.
Появляется идея рассматри-
вать кривые как траектории
движений. Так Галилей иссле-
дует параболу.
Впрочем, у Галилея был ве-
ликий предшественник в этих
рассмотрениях: Архимед опре-
делил свою спираль кинема-
тически. Вообще, век анализа
долго продолжался с оглядкой
на Архимеда. Уже в XVI ве-
ке ученые настойчиво изучали
его труды по вычислению пло-
щадей и объемов криволиней-
ных фигур и тел. В Древней
Готфрид Вильгельм Лейбниц
Греции был развит логически
безупречный метод доказательства формул для криволинейных
квадратур и кубатур — метод исчерпания. Формула доказывалась
от противного при помощи приближения кривого тела с двух сто-
рон ступенчатыми телами с любой точностью. Этим методом бле-
стяще владел Архимед, а до него Евдокс доказал таким образом
формулы для объема пирамиды и конуса. Теперь мы знаем (в
XVII веке это не было известно), что когда Архимед искал фор-
мулы (а не доказывал их), он разрезал тело на бесконечно малые
слои (неделимые), а потом пользовался механическими сообра-
жениями. Из переписки Галилея мы знаем, что он много думал о
методе «неделимых», но не написал задуманной книги.
Вскоре после того, как математики XVII века занялись про-
блемой измерения криволинейных площадей и объемов, им стало
тесно в рамках метода исчерпания. Первым, кто предпочитает
двигаться по скользкой дороге бесконечно малых, был Кеплер
(1571 – 1630). В 1616 г. выходит его «Новое измерение винных бо-
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) 183


чек», где он исследует практическое правило измерения объема
бочки при помощи одного замера линейкой, просунутой в налив-
ное отверстие. Он не приводит доказательства по Архимеду, смело
работает с бесконечно малыми, но выражает уверенность в воз-
можности провести строгое доказательство. Кеплер пишет, что он
излагает принципы Архимеда «лишь настолько, насколько это-
го достаточно для удовлетворения ума, любящего геометрию, а
полные во всех частях строгие доказательства следует искать в
самих книгах Архимеда, если кто не убоится тернистого пути их
чтения». Эта позиция (строгие доказательства провести можно,
но мы этого делать не будем) надолго становится удобной за-
щитой от необходимости проводить строгие доказательства. Вот
несколько примеров. Ферма: «Было бы легко дать доказатель-
ство в духе Архимеда . . . достаточно предупредить об этом раз
и навсегда, чтобы избежать постоянных повторений». Паскаль:
«Один из методов отличается от другого только способом выра-
жения». Барроу: «Это доказательство можно было бы удлинить
апагогическим (от противного — С. Г.) рассуждением, но для че-
го?». Но находились критики, которые пытались остановить лю-
бителей вольно обращаться с бесконечно малыми, заклиная их
именем Архимеда. Против Кеплера было направлено сочинение
Андерсона, ученика Виета, «Иск Архимеда» (1616 г.). Еще через
сто лет Ролль констатировал, что «характер точности не господ-
ствует больше в геометрии с тех пор, как к ней примешали новую
систему бесконечно малых».
Кеплер еще при формулировке своего второго закона рассмат-
ривал площадь, заметаемую отрезком, соединяющим Солнце с
планетой, как «сумму» этих отрезков. Каждый следующий мате-
матик пытался разработать более безопасные процедуры работы с
бесконечно малыми. Кавальери (ок. 1598 – 1647) был близок к Га-
лилею и удостоился от Галилея высшей похвалы — был назван «со-
перником Архимеда». Кавальери посвятил методу неделимых две
книги (1635, 1647). Он исходит из того, что площадь определяется
длинами отрезков, по которым фигура пересекается семейством
параллельных прямых (аналогично для объема). Кавальери уве-
рен, что его процедуры имеют преимущества по сравнению с прие-
мами Кеплера: «Всякий, кто видел трактат упомянутого Кеплера
о движении Марса, может легко убедиться на основании наших
184 Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716)


исследований, как легко ему было впасть в ошибку . . . исходя из
предположения, что площадь эллипса равновелика совокупности
всех расстояний планеты, вращающейся на эллиптической линии,
от Солнца». Кавальери считал, что надо осторожно работать с
непараллельными отрезками, но Кеплер не ошибался! Только ин-
туиция могла защитить математиков от заблуждений при работе
с бесконечно малыми.
Кавальери применяет свои методы к вычислению площади
криволинейной трапеции под параболами y = xn (в современных
b
обозначениях a xn dx). С огромным трудом он постепенно увели-
чивает n, дойдя между 1635 г. и 1647 г. до n = 9. Но к этому
времени Ферма (1601 – 1655) уже умел вычислять площади для
всех рациональных n = ?1 (в 1644 г. он сообщил об этом Кавалье-
ри, но первые результаты относятся еще к 1629 г.). Математики
начинают ощущать свое превосходство над древними. В 1644 г.
Торричелли писал: «Несомненно, что геометрия Кавальери есть
удивительное по своей экономии средство для нахождения тео-
рем. . . Это — истинно царская дорога среди зарослей математи-
ческого терновника. . . Жаль мне древней геометрии, что она ли-
бо на знала, либо не хотела признавать учения о неделимых».
Как же обстоит дело в случае n = ?1, выпавшем из рассмот-
рений Ферма? И здесь выяснилось поразительное обстоятельство:
x
при квадратуре гиперболы появляются логарифмы ( 1 dy/y =
ln x). Этот замечательный факт постепенно выкристаллизовывал-
ся, начиная с работы Сент-Винцента (около 1647 г.). Логариф-
мы появились у Непера (1550 – 1617) в самом конце XVI века
при помощи кинематических рассмотрений, очень напоминавших
первые механические построения Галилея. Однако долго они вос-
принимались как чисто вычислительное средство (таблицы!) и
не пересекались с теоретическими исследованиями. Как писал
Торричелли, Непер «следовал только арифметической практике»
(грубо говоря, еще не было логарифмической или показательной
функций), и лишь с середины века эти функции начинают по-
являться (в значительной степени в связи с квадратурами). Это
было принципиально, что при квадратуре алгебраической функ-
ции простого вида появляется трансцендентная. Был подробно
исследован вопрос о квадратуре круга и его частей, и здесь выяс-
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) 185

v
нилось, что квадратура алгебраической функции ( 1 ? x2 ) ведет
к тригонометрическим (круговым) функциям. Кстати, и синусо-
ида появилась тогда же как промежуточный объект при вычис-
лении площади под циклоидой («спутница циклоиды»).
Постепенно в круг интересов математиков все более начинают
входить задачи на проведение касательных к кривым. Древние
умели проводить касательные лишь к коническим сечениям, да
еще Архимед умел строить касательную к своей спирали. Так что
в этой задаче с самого начала математики XVII века были ли-
шены поддержки древних. Начиная с 1629 г. Декарт (1596 – 1650)
и Ферма, соревнуясь друг с другом, разрабатывают общие прин-
ципы построения касательных, причем последний связывает их
с задачами на максимум и минимум. Параллельно Торричелли
и Роберваль (1602 – 1675) предлагают искусственные приемы по-
строения касательных, интерпретируя их как направления ско-
рости при движении по кривой и искусно представляя движение
по кривой как сложное движение, составленное из более простых.
В 50 – 60-е годы, отправляясь от результатов Декарта – Ферма,
Слюз, Гудде, Гюйгенс находят совершенно автоматические пра-
вила построения касательных к широким классам алгебраических
кривых. Характерно, что никто из авторов не спешил обнародо-
вать свое правило. В 1659 г. Гудде пишет Схоутену: «Я прошу вас
сохранить в тайне все, что я вам пишу, и не говорить кому бы то
ни было, что найдено нечто подобное. Необходимо, чтобы мои луч-
шие открытия либо были известны только самым интимным моим
друзьям, либо чтобы они стали известны всем». Характерная ил-
люстрация эпохи! Информация распространяется в основном при
помощи писем, редко выходят книги, а первый журнал («Журнал
ученых» в Париже) стал выходить в 1665 г. Быстрая публика-
ция еще не воспринималась как естественное средство сохранить
приоритет. Считалось вполне допустимым «придержать» метод,
чтобы самому извлечь максимальные следствия.
В 1668 г. Николай Кауфман (1620 – 1689), более известный под
именем Меркатор, опубликовал в книге «Логарифмотехника» за-
мечательный способ вычислять логарифмы:

x
x2 x3 x4
dx
= ln(1 + x) = x ? ?
+ + ...,
1+x 2 3 4
0
186 Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716)


где можно обеспечить любую точность, взяв достаточное число
членов (ряд для ln 2 был ранее получен Броункером). Позже вы-
яснилось, что этот ряд знали уже Гудде (1656 г.) и Ньютон (1665),
но они не торопились с публикацией. Постепенно рады становят-
ся важнейшим средством как для вычислений, так и для тео-
ретических рассмотрений. Например, Грегори (1638 – 1675) имел
очень интересный план применить ряды к доказательству транс-
цендентности ? и к доказательству, что некоторые задачи (вычис-
ление дуги эллипса или гиперболы) не сводятся к элементарным
функциям.
Мы очень бегло описали ситуацию в первой половине века бес-
конечно малых, причем мы не только опустили многие славные
страницы истории (результаты Паскаля, Ферма), не упомянули
многие достойные имена (Валлис, Фабри), но и сильно огрубили
картину, не обсуждая многочисленные переходящие друг в друга
этапы становления результатов, авторство которых очень условно
и часто несправедливо закреплено за теми или иными математи-
ками: «. . . открытие произошло в результате почти неуловимых
переходов, и спор по этому поводу о приоритете был бы равно-
силен спору месяцу скрипкой и тромбоном относительно точного
момента появления определенной мелодии в симфонии» (Бурба-
ки).
К началу 60-х годов математики накопили немало фактов. На-
чал очерчиваться круг задач, решаемых при помощи бесконечно
малых. Выкристаллизовались два основных направления: вычис-
ление квадратур и построение касательных. Ситуация с этими
задачами была существенно различной. В то время как в зада-
че о касательных, более молодой, появились достаточно общие
методы, в задаче о квадратурах все оставалось на уровне от-
дельных задач и искусственных приемов. Например, Декарт был
уверен, что общие приемы в этих задачах не существуют. Все бо-
лее осознавалась замечательная связь, которая имелась между
этими задачами. Они оказались взаимно обратными, что наибо-
лее естественно было усмотреть при помощи кинематических рас-
смотрений: нахождение скорости (мгновенной) по пути сводится
к построению касательной, а путь находится по скорости при по-
мощи квадратур. Эта связь, которая наметилась уже у Галилея, в
весьма полном виде появляется у Барроу (1630 – 1677) в его лекци-
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) 187


ях, изданных в 1669 – 1670 г., хотя эксплуатируется она еще явно
недостаточно.
Активность в области теории бесконечно малых к концу 60-х
годов заметно падает. Ферма и Декарта уже нет в живых, Гюй-
генс уже сделал свои главные работы. Остававшиеся задачи с
трудом поддавались искусственным приемам, да и не было на
математическом небосклоне такого созвездия математиков пер-
вой величины, как двадцать лет назад. Необходим был перелом,
для которого требовался очень талантливый человек, который
бы отважился на некоторое время отказаться от движения впе-
ред и переосмыслил все с самого начала, разгрузил теорию от
искусственных приемов, и только упростив и систематизировав
способы решения известных задач, двинулся вперед. Необходимо
было превратить теорию бесконечно малых в исчисление — набор
достаточно простых формальных, но широко действующих ре-
цептов. Нужно было превратить теорию из искусства в ремесло.
В таком виде ее не только можно будет вывести из узкого круга
посвященных, но и крупным математикам это позволило бы без
затраты усилий пройти часть пути и сконцентрировать усилия
на более глубоких вопросах. Характерно, что еще работающие
гиганты, прежде всего Гюйгенс, не чувствовали в этом потреб-
ности: их устраивала работа по-старому. Этот труд должен был
взять на себя математик следующего поколения.
«Бог сказал: да будет Ньютон! — и наступил свет» — сказа-
но в популярном четверостишии А. Попа. Ньютон (1642 – 1727) и
создал исчисление во время своих двухлетних чумных каникул
(1665 – 67 гг.) в Вулсторпе, когда после окончания Кембриджско-
го университета он оказался на своей ферме отрезанным из-за
чумы от внешнего мира. В эти два года он получил свои самые
замечательные результаты по механике и математике. Перед этим
он слушал лекции Барроу и возможно от него усвоил идею си-
стематически рассматривать кривые как функции от времени:
«вероятно, что лекции д-ра Барроу могли навести меня на рас-
смотрение образования фигур с помощью движения, хотя я теперь
и не помню этого». Очень поучительное высказывание! Ньютон
строит исчисление флюксий. У него независимое переменное —
это всегда время, и флюксии — это скорости, производные по вре-
мени. Подробно разрабатываются правила вычисления флюксий
188 Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716)


(наши правила дифференцирования). Дальше исследуется обрат-
ная задача — нахождение флюент. Это операция интегрирования,
и Ньютон систематически выясняет, какие правила для нее можно
получить, эксплуатируя то, что она обратна дифференцированию
(нахождению флюксий по Ньютону).
Это дает немало удобных приемов, поскольку с флюксиями
(производными) все выглядит просто. По такой схеме — диффе-
ренцирование предшествует интегрированию — обычно строится
анализ и сегодня. Но главный конек Ньютона — это ряды. Он
очень ценит свою формулу для бинома (1 + x)k при любых (не
обязательно натуральных) k. Он воспринимает ряды как универ-
сальный метод решения аналитических задач и не видит для него
ограничений.
В октябре 1666 г. Ньютон составляет черновой набросок тео-
рии, а в 1669 г. летом он передает конспект своих результатов
Барроу, а через него Коллинзу в Лондон. В 1670 – 71 гг. Ньютон
готовит подробное сочинение по методу флюксий, но не находит
издателя, и сочинения Ньютона по анализу начали появляться в
печати лишь после 1704 г. Кое-какая информация о его работах
распространялась среди математиков, кое-кто имел возможность
познакомиться с рукописью, хранившейся у Коллинза. Ньютон не
торопился с публикацией, спокойно наблюдая как некоторые его
результаты переоткрывались и публиковались другими (напри-
мер, результаты о рядах — Меркатором). Вряд ли кто-нибудь из
окружающих мог оценить важность исчисления, более обращали
внимание на конкретные результаты. Да и сам Ньютон больше
ценил их и выдвигал на первый план метод рядов, а не исчисле-
ние. Итак, к 70-м годам «активными остаются только Ньютон в
Кембридже и Дж. Грегори, уединившийся в Абердине, к которым
в скором времени со всем пылом неофита (вновь посвященного —
С. Г.) присоединяется Лейбниц» (Бурбаки).
Лейбниц и его путь в математику. Всю свою жизнь Лейбниц был
нацелен на глобальные проблемы, на всеобъемлющие теории. Его
путь в математику был нестандартен, и в этом отчасти причи-
на того, что он отдавал предпочтение методу в век, когда более
ценили конкретные результаты. В жизни Лейбница было мно-
го планов. Некоторые поражают своей грандиозностью. Новые
замыслы вытесняли старые, нередко увлекавшемуся автору не
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) 189


хватало реализма. Почти ни одной из задуманных книг он не до-
писал до конца, а большинство оставил в самом начале (лишь
несколько книг по философии постигла лучшая участь). Но как
трудно сохранить реализм, когда замыслы далеко обгоняют век!
Уже с 13 – 14 лет Лейбниц мечтает о перестройке логики, о со-
здании алфавита человеческих мыслей, в котором можно было бы
записывать все мыслительные процессы. Постепенно зреет глав-
ная идея его жизни: создание «универсальной характеристики»,
«универсального языка». «Универсальная математика является,
так сказать, логикой воображения»; она должна заняться всем,
«что в области воображения поддается точным определениям».
Язык должен быть защищен от записи неправильных мыслей:
«химеры, которые не понимает даже тот, кто их создает, не смогут
быть записаны его знаками». Он грезит о машине, которая будет
доказывать теоремы, хочет превратить мышление в исчисление,
арифметизировать его так, чтобы можно было заменять рассуж-
дения вычислениями и решать споры при помощи математиче-
ских выкладок. Трижды приступал Лейбниц к реализации своего
грандиозного, сильно опередившего время замысла, но всякий раз
останавливался, пройдя лишь первые шаги. Только в XX веке,
когда многое из задуманного Лейбницем оказалось явью в рам-
ках математической логики, стало ясно, что его замыслы были не
столь утопичны, сколь прозорливы.
Лейбница интересуют разнообразные применения математи-
ки, и он верит в безграничные ее возможности. Он готовится стать
юристом и в 18 лет пытается строить юриспруденцию как мате-
матическую теорию с аксиомами и теоремами, думает о приме-
нении вероятностных соображений в судопроизводстве. В 20 лет
он оказывается от кафедры в Нюрнбергском университете: его не
привлекает спокойная академическая карьера. Планы Лейбница
более честолюбивы: «я давно в душе лелеял другое» и «я считал

<< Пред. стр.

страница 19
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign