LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 17
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

вероятно, геометрия у Паскаля находилась на «доевклидовском»
уровне, когда интуитивно неочевидные утверждения доказывают-
ся путем сведения к очевидным, причем набор последних никак
не фиксируется и не ограничивается. Лишь на следующем, су-
щественно более высоком уровне делается великое открытие, что
можно ограничиться конечным, сравнительно небольшим набо-
ром очевидных утверждений — аксиом, предположив истинность
которых, можно остальные геометрические утверждения дока-
зать. При этом, наряду с неочевидными утверждениями (такими,
как, например, теоремы о замечательных точках треугольника),
приходится доказывать «очевидные» теоремы, в справедливость
которых легко поверить (например, простейшие признаки равен-
ства треугольников).
Собственно, 32-е предложение — первое неочевидное в этом
смысле предложение «Начал». Нет сомнения, что у юного Пас-
каля не было ни времени для огромной работы по отбору аксиом,
ни, скорее всего, потребности в ней.
Это интересно сопоставить со свидетельством А. Эйнштейна,
который в те же 12 лет в значительной степени самостоятельно
постигал геометрию (в частности, нашел доказательство теоремы
Пифагора, о которой узнал от дяди): «Вообще мне было доста-
точно, если я мог в своих доказательствах опираться на такие
положения, справедливость которых представлялась мне бесспор-
ной».
Примерно в 10 лет Б. Паскаль сделал первую физическую ра-
боту: заинтересовавшись причиной звучания фаянсовой тарелки
и проведя поразительно хорошо организованную серию экспери-
ментов при помощи подручных средств, он объяснил заинтересо-
вавшее его явление колебанием частичек воздуха.
Блез Паскаль (1623 – 1662) 161


«Мистический шестивершинник», или «великая паскалева теоре-
ма». В 13 лет Б. Паскаль уже имеет доступ в математический
кружок Мерсенна, в который входило большинство парижских
математиков, в том числе Э. Паскаль (Паскали жили в Париже с
1631 г.).
Францисканский монах Марен Мерсенн (1588 – 1648) сыг-
рал в истории науки большую и своеобразную роль ученого-
организатора1 . Его основная заслуга состояла в том, что он вел
обширную переписку с большинством крупных ученых мира
(у него было несколько сот корреспондентов). Мерсенн умело
концентрировал информацию и сообщал ее заинтересованным
ученым. Эта деятельность требовала своеобразного дарования:
умения быстро понимать новое, хорошо ставить задачи. Обладав-
ший высокими нравственными качествами Мерсенн пользовался
доверием корреспондентов. Иногда письма Мерсенна адресова-
лись совсем молодым ученым. Так, в 1648 г. он начал перепи-
сываться с 17-летним Гюйгенсом, помогая в его первых шагах в
науке и предвещая, что тот станет «Аполлонием и Архимедом. . .
грядущего века».
Наряду с заочным коллективом корреспондентов существовал
и очный кружок — «четверги Мерсенна», в который и попал Блез
Паскаль. Здесь он нашел себе достойного учителя. Им был Же-
рар Дезарг (1593 – 1662), инженер и архитектор, создатель ориги-
нальной теории перспективы. Его главное сочетание «Черновой
набросок вторжения в область того, что происходит при встрече
конуса с плоскостью» (1639 г.) нашло лишь нескольких читате-
лей, и среди них особое место занимает Б. Паскаль, сумевший
существенно продвинуться вперед.
Хотя в то время Декарт прокладывал в геометрии совер-
шенно новые пути, создавая аналитическую геометрию, в основ-
ном геометрия едва достигла уровня, на котором она находи-
лась в Древней Греции. Многое из наследия греческих гео-
метров оставалось неясным. Это прежде всего относилось к
теории конических сечений. Самое выдающееся сочинение на
эту тему — 8 книг Аполлония — было известно лишь частично.

1
При оценке деятельности Мерсенна надо иметь в виду, что первый науч-
ный журнал — «Журнал ученых» — был основан в 1665 г.
162 Блез Паскаль (1623 – 1662)


C «Konika» Предпринимались
попытки дать модернизиро-
ванные изложения теории,
среди которых наиболее из-
вестное принадлежит Кло-
ду Мидоржу (1585 – 1647),
члену кружка Мерсенна, но
его сочинение фактически не
содержало новых идей. Де-
« зарг заметил, что система-
тическое применение метода
перспективы позволяет по-
строить теорию конических
¬ сечений с совершенно новых
позиций.
Рассмотрим центральную
Рис. 28.
проекцию (из некоторой точки O) картинок на плоскости ? на
плоскость ?. Применять такое преобразование в теории кони-
ческих сечений очень естественно, поскольку само их опреде-
ление — как сечений прямого кругового конуса — можно пере-
фразировать так: все они получаются при центральном проек-
тировании из вершины конуса на различные плоскости одного
из них (например, окружности). Далее, заметив, что при цен-
тральном проектировании пересекающиеся прямые могут перей-
ти или в пересекающиеся или в параллельные, объединим два
последних свойства в одно, считая, что все параллельные друг
другу прямые пересекаются в одной «бесконечно удаленной точ-
ке»; разные пучки параллельных прямых дают разные бесконеч-
но удаленные точки; все бесконечно удаленные точки плоско-
сти заполняют «бесконечно удаленную прямую». Если принять
эти соглашения, то две любые различные прямые (уже не ис-
ключая параллельных) будут пересекаться в единственной точ-
ке. Утверждение, что через точку A вне прямой m можно про-
вести единственную прямую, параллельную m, можно перефор-
мулировать так: через обычную точку A и бесконечно удален-
ную точку (отвечающую семейству прямых, параллельных m)
проходит единственная прямая — в результате в новых услови-
ях без всяких ограничений справедливо утверждение, что через
Блез Паскаль (1623 – 1662) 163


?
две различные точки проходит един-
ственная прямая (бесконечно уда-
ленная, если обе точки бесконечно
A
удалены). Мы видим, что получает-
?
ся очень изящная теория, но для нас
важно то, что при центральном про-
?
ектировании точка пересечения пря-
мых (в обобщенном смысле) перехо-
дит в точку пересечения.
Важно продумать, какую роль
в этом утверждении играет введе-
ние бесконечно удаленных элемен-
тов (при каких условиях точка пере-
E
сечения переходит в бесконечно уда-
E
ленную точку, когда прямая пере-
E
ходит в бесконечно удаленную пря-
мую). Не останавливаясь на исполь-
Рис. 29.
зовании этого простого соображения
Дезаргом, мы расскажем о том, как
замечательно применил его Паскаль.
В 1640 г. Б. Паскаль напечатал свой «Опыт о конических се-
чениях». Небезынтересны сведения об этом издании: тираж — 50
экземпляров, 53 строки текста напечатаны на афише, предна-
значенной для расклейки на углах домов (про афишу Паскаля
достоверно не известно, но Дезарг заведомо рекламировал таким
способом свои результаты). В афише, подписанной инициалами
автора, без доказательства сообщается следующая теорема, ко-
торую ныне называют теоремой Паскаля. Пусть на коническом
сечении L (на рисунке 29 L — парабола) произвольно выбраны и
занумерованы 6 точек. Обозначим через P , Q, R точки пересе-
чения трех пар прямых (1, 2) и (4, 5); (2, 3) и (5, 6); (3, 4) и (6, 1).
(При простейшей нумерации — «по порядку» — это точки пере-
сечения противоположных сторон шестиугольника.) Тогда точки
P , Q, R лежат на одной прямой1 .

1
Сформулируйте самостоятельно следствия, получающиеся из этой теоре-
мы, когда некоторые из рассмотренных точек являются бесконечно удален-
ными.
164 Блез Паскаль (1623 – 1662)

?
N
?
E ?
E

E
Рис. 30.

Паскаль вначале формулирует теорему для окружности и
ограничивается простейшей нумерацией точек. В этом случае это
элементарная, хотя и не слишком простая задача. А вот переход от
окружности к любому коническому сечению очень прост. Нужно
преобразовать при помощи центральной проекции такое сечение
в окружность и воспользоваться тем, что при центральном про-
ектировании прямые переходят в прямые, а точки пересечения (в
обобщенном смысле) — в точки пересечения. Тогда, как уже до-
казано, образы точек P , Q, R при проектировании будут лежать
на одной прямой, а отсюда следует, что и сами точки P , Q, R
обладают этим свойством.
Теорема, которую Паскаль назвал теоремой о «мистическом
шестивершиннике», не была самоцелью; он рассматривал ее как
ключ для построения общей теории конических сечений, покрыва-
ющей теорию Аполлония. Уже в афише упоминаются обобщения
важных теорем Аполлония, которые не удавалось получить Дез-
аргу. Дезарг высоко оценил теорему Паскаля, назвав ее «великой
паскалевой»; он утверждал, что в ней содержатся первые четыре
книги Аполлония.
Паскаль начинает работу над «Полным трудом о конических
сечениях», который в 1654 г. упоминается как оконченный в по-
слании «знаменитейшей Парижской математической академии».
От Мерсенна известно, что Паскаль получил около 400 следствий
из своей теоремы. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) был
последним, кто видел трактат Паскаля уже после его смерти, в
1675 – 1676 гг. Несмотря на совет Лейбница, родные не опублико-
вали рукопись, а со временем она была утеряна.
В качестве примера приведем одно из самых простых, но и
Блез Паскаль (1623 – 1662) 165


самых важных следствий из теоремы Паскаля: коническое сече-
ние однозначно определяется любыми своими пятью точками.
Действительно, пусть {1, 2, 3, 4, 5} — точки конического сечения и
m — произвольная прямая, проходящая через (5). Тогда на m су-
ществует единственная точка (6) конического сечения, отличная
от (5). В обозначениях теоремы Паскаля точка P является точкой
пересечения (1, 2) и (4, 5), Q — точка пересечения (2, 3) и m, R —
точка пересечения (3, 4) и P Q, а тогда (6) определится как точка
пересечения (1, R) и m.

«Паскалево колесо». 2 января 1640 г. семья Паскалей переезжает
в Руан, где Этьен Паскаль получает место интенданта провинции,
фактически ведающего всеми делами при губернаторе. Этому на-
значению предшествовали любопытные события. Э. Паскаль при-
нял активное участие в выступлениях парижских рантьеров, за
что ему грозило заточение в Бастилию. Он был вынужден скры-
ваться, но в это время заболела оспой Жаклина, и отец, несмотря
на страшную угрозу, навещал ее. Жаклина выздоровела и да-
же участвовала в спектакле, на котором присутствовал кардинал
Ришелье. По просьбе юной актрисы кардинал простил ее отца,
но одновременно назначил его на должность. Бывший смутьян
должен был проводить в жизнь политику кардинала (читателей
«Трех мушкетеров» это коварство, наверное, не удивит).
Теперь у Этьена Паскаля было очень много счетной работы, в
которой ему постоянно помогает сын. В конце 1640 г. Блезу Пас-
калю приходит мысль построить машину, чтобы освободить ум
от расчетов «с помощью пера и жетонов». Основной замысел воз-
ник быстро и оставался неизменным на протяжении всей работы:
«. . . каждое колесо или стержень некоторого разряда, совершая
движение на десять арифметических цифр, заставляет двигаться
следующее только на одну цифру». Однако блестящая идея — это
только первый шаг. Несравненно больших сил потребовала ее ре-
ализация. Позднее в «Предуведомлении» тому, кто «будет иметь
любознательность видеть арифметическую машину и пользовать-
ся ею», Блез Паскаль скромно пишет: «Я не экономил ни время,
ни труд, ни средства, чтобы довести ее до состояния быть тебе
полезной». За этими словами стояло пять лет напряженной ра-
боты, которая привела к созданию машины («паскалева колеса»,
166 Блез Паскаль (1623 – 1662)


как говорили современники), надежно, хотя и довольно медлен-
но, производившей четыре действия над пятизначными числами.
Паскаль изготовил около пятидесяти экземпляров машины; вот
только перечень материалов, которые он перепробовал: дерево,
слоновая кость, эбеновое дерево, латунь, медь. Он потратил мно-
го сил на поиски лучших ремесленников, владеющих «токарным
станком, напильником и молотком», и ему много раз казалось,
что они не в состоянии достичь необходимой точности. Тщательно
продумывается система испытаний, в их число включается пере-
возка на 250 лье. Паскаль не забывает и о рекламе: он заручается
поддержкой канцлера Сегье, добивается «королевских привиле-
гий» (нечто вроде патента), много раз демонстрирует машину в
салонах и даже посылает экземпляр шведской королеве Христине.
Наконец, налаживается производство; точное число произведен-
ных машин неизвестно, но до настоящего времени сохранилось
восемь экземпляров.
Поражает, как блестяще умел делать Паскаль самые разные
вещи. Сравнительно недавно стало известно, что в 1623 г. Шик-
кард, друг Кеплера, построил арифметическую машину, однако
машина Паскаля была гораздо совершенней.

«Боязнь пустоты» и «великий эксперимент равновесия жидкостей».
В конце 1646 г. до Руана докатилась молва об удивительных «ита-
льянских опытах с пустотой». Вопрос о существовании пустоты в
природе волновал еще древних греков; в их взглядах на этот во-
прос проявилось присущее древнегреческой философии разнооб-
разие точек зрения: Эпикур считал, что пустота может существо-
вать и действительно существует; Герон — что она может быть по-
лучена искусственно, Эмпедокл — что ее нет и ей неоткуда взять-
ся, и, наконец Аристотель утверждал, что «природа боится пу-
стоты». В средние века ситуация упростилась, поскольку истин-
ность учения Аристотеля была установлена практически в за-
конодательном порядке (еще в XVII веке за выступление про-
тив Аристотеля во Франции можно было попасть на каторгу).
Воспоминания о «боязни пустоты» еще долго сохранялись, о
чем свидетельствует следующий пассаж из неоконченного про-
изведения Ф. М. Достоевского «Крокодил»: «Как же достигнуть
устройством крокодила, чтоб он глотал людей? Ответ еще яснее:
Блез Паскаль (1623 – 1662) 167


устроив его пустым. Давно уже решено физикой, что природа не
терпит пустоты. Подобно тому и внутренность крокодила долж-
на именно быть пустою, чтобы не терпеть пустоты, а следственно
беспрерывно глотать и наполняться всем, что только есть под ру-
кою».
Классический пример «боязни пустоты» демонстрирует вода,
поднимающаяся вслед за поршнем, не давая образоваться пусто-
му пространству. И вдруг с этим примером произошел казус. При
сооружении фонтанов во Флоренции обнаружилось, что вода «не
желает» подниматься выше 34 футов (10,3 метра). Недоумева-
ющие строители обратились за помощью к престарелому Гали-
лею, который сострил, что, вероятно, природа перестает боять-
ся пустоты на высоте, превышающей 34 фута, но все же пред-
ложил разобраться в странном явлении своим ученикам Торри-
челли и Вивиани. Вероятно, Торричелли (а, возможно, и само-
му Галилею) принадлежит мысль, что высота, на которую мо-
жет подняться жидкость в насосе, обратно пропорциональна ее
удельному весу. В частности, ртуть должна подняться на высо-
ту в 13,3 раза меньшую, чем вода, т. е. на 76 . Опыт приобрел
масштабы, более благоприятные для лабораторных условий, и
был проведен Вивиани по инициативе Торричелли. Этот опыт
хорошо известен, но все же напомним, что запаянная с одного
конца метровая стеклянная трубка заполняется ртутью, откры-
тый конец зажимается пальцем, после чего трубка переворачи-
вается и опускается в чашку с ртутью. Если отнять палец, то
уровень ртути в трубке упадет до 76 . Торричелли делает два
утверждения: во-первых, пространство над ртутью в трубке пу-
сто (потом его назовут «торричеллиевой пустотой»), а во-вторых,
ртуть из трубки не выливается полностью, поскольку этому пре-
пятствует столб воздуха, давящий на поверхность ртути в чаш-
ке. Приняв эти гипотезы, можно все объяснить, но можно по-
лучить объяснение и введя специальные, довольно сложно дей-
ствующие силы, препятствующие образованию вакуума. Принять
гипотезы Торричелли было непросто. Лишь немногие из его со-
временников смирились с тем, что воздух имеет вес; некоторые,
исходя из этого, поверили в возможность получения вакуума, но
поверить, что легчайший воздух удерживает в трубке тяжелую
ртуть, было почти невозможно. Упомянем, что Галилей пытал-
168 Блез Паскаль (1623 – 1662)


ся объяснить этот эффект свойствами самой жидкости, а Декарт
утверждал, что кажущийся вакуум всегда заполнен «тончайшей
материей».
Паскаль с увлечением повторяет итальянские опыты, приду-
мав много остроумных усовершенствований. Восемь таких опытов
описаны в трактате, опубликованном в 1647 г. Он не ограничи-
вается опытами с ртутью, а экспериментирует с водой, маслом,
красным вином, для чего ему потребовались бочки вместо чашек
и трубки длиной около 15 . Эффектные опыты выносятся на ули-
цы Руана, радуя его жителей. (До сих пор гравюры с винным
барометром любят воспроизводить в учебниках физики.)
На первых порах Паскаля более всего интересует вопрос о
доказательстве того, что пространство над ртутью пусто. Была
распространена точка зрения, что кажущийся вакуум заполняет
материя, «не имеющая свойств» (вспоминается подпоручик Киже
из повести Ю. Н. Тынянова, «не имеющий фигуры»). Доказать
отсутствие такой материи просто невозможно. Четкие высказы-
вания Паскаля очень важны в плане постановки более широкой
проблемы о характере доказательств в физике. Он пишет: «По-
сле того как я доказал, что ни одна из материй, которые доступны
нашим чувствам и которые нам известны, не заполняет это про-
странство, кажущееся пустым, мое мнение, пока мне не докажут
существование какой-то материи, заполняющей его, — что это про-
странство в самом деле пусто и лишено всякой материи». Менее
академические высказывания содержатся в письме ученому-иезу-
иту Ноэлю: «Но у нас больше оснований отрицать ее (тончайшей
материи — С. Г.) существование, потому что нельзя его доказать,
чем верить в нее по той единственной причине, что нельзя до-
казать, что ее нет». Итак, необходимо доказывать существование
объекта и нельзя требовать доказательства его отсутствия (это
ассоциируется с юридическим принципом, состоящим в том, что
суд должен доказать виновность и не вправе требовать от обви-
няемого доказательств невиновности).
На родине Паскаля в Клермоне жила в это время старшая
сестра Б. Паскаля Жильберта; ее муж Флорен Перье, служа в
суде, свободное время посвящал наукам. 15 ноября 1647 г. Пас-
каль отправляет Перье письмо, в котором просит сравнить уровни
ртути в трубке Торричелли у подножия и на вершине горы Пюи-
Блез Паскаль (1623 – 1662) 169


де-Дом: «Вы понимаете, если бы высота ртути на вершине горы
оказалась меньшей, чем у подошвы (я так думаю по многим осно-
ваниям, хотя все, писавшие об этом предмете, придерживаются
другого мнения), то из этого можно было бы заключить, что един-
ственная причина явления — тяжесть воздуха, а не пресловутый
horror vacui (боязнь пустоты — С. Г.). Ясно, в самом деле, что вни-
зу горы воздух должен быть сгущеннее, чем наверху, между тем
как нелепо предполагать в нем больший страх пустоты у под-
ножия, нежели на вершине». Эксперимент по разным причинам
откладывался и состоялся лишь 19 сентября 1648 г. в присутствии
пяти «уважаемых жителей Клермона». В конце года вышла бро-
шюра, в которую были включены письмо Паскаля и ответ Перье
с очень скрупулезным описанием опыта. При высоте горы около
1,5 разница уровней ртути составила 82,5 ; это «повергло участ-
ников эксперимента в восхищение и удивление» и, вероятно, было
неожиданным для Паскаля. Предположить существование пред-
варительных оценок невозможно, а иллюзия легкости воздуха бы-
ла очень велика. Результат был столь ощутим, что уже одному
из участников эксперимента аббату де ла Мару приходит в голо-
ву мысль, что результаты может дать эксперимент в куда более
скромных масштабах. И, действительно, разница уровней ртути у
основания и наверху собора Нотр-Дам-де-Клермон, имеющего вы-
соту 39 , составила 4,5 . Если бы Паскаль допускал такую возмож-
ность, он не стал бы ожидать десять месяцев. Получив известие
от Перье, он повторяет эксперименты на самых высоких зданиях
Парижа, получая те же результаты. Паскаль назвал этот экс-
перимент «великим экспериментом равновесия жидкостей» (это
название может вызвать удивление, поскольку речь идет о равно-
весии воздуха и ртути и тем самым воздух назван жидкостью).
В этой истории есть одно запутанное место. Декарт утверждал,
что именно он подсказал идею эксперимента. Вероятно, здесь про-

<< Пред. стр.

страница 17
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign