LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 16
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

В самом деле, если через ?(y) обозначить угол, который каса-
тельная, проведенная к циклоиде с параметром r (получающейся
при качении без скольжения по прямой {y = 0} круга радиуса r) в
точке с ординатой y составляет с вертикалью, то sin ?(y) = y/2r
(см. формулу (9) на с. 125). Более того, как мы уже отмечали,
циклоида является единственной кривой, удовлетворяющей это-
му соотношению. Таким образом, брахистохроной, соединяющей
две данные точки A и B (не лежащие на одной вертикали), слу-
жит часть арки (или арка) перевернутой циклоиды (см. рис. 23),
причем в «верхней» точке A находится острие этой циклоиды. По-
скольку мы рассматриваем только одну (первую) арку циклоиды,
то ее параметр r по точке B определяется однозначно.
Дуга циклоиды, являющаяся брахистохроной, может быть
больше полуарки циклоиды. В этом случае материальная точка,
двигаясь под действием силы тяжести по брахистохроне, снача-
ла спустится вниз (дойдя до вершины перевернутой циклоиды),
а затем начнет снова подниматься вверх. И тем не менее такое
движение оказывается более экономным по времени, чем если бы
материальная точка отправилась из A в B по прямой!
Для сравнения отметим, что хотя перевернутая циклоида яв-
ляется и таутохроной, и брахистохроной, в первом случае нужно
брать дугу с концом в вершине циклоиды, а во втором — с началом
в острие.
Несколько задач. Вернемся к оптике. Теперь мы знаем, что если
в плоской неоднородной среде величина скорости света меняется
v
по закону c(x, y) = k H ? y (т. е. аналогично изменению вели-
чины скорости материальной точки, движущейся под действием
силы тяжести), то в такой среде свет между двумя точками будет
распространяться по дугам перевернутых циклоид с остриями на
прямой {y = H}.
Попробуйте сейчас решить несколько задач на отыскание в оп-
тически неоднородной среде пути распространения света между
двумя точками, если в этой среде задан закон изменения величи-
ны скорости света.
3адача 7. Величина скорости света меняется по закону c(x, y) = k(y ?
?a). Докажите, что свет между двумя точками будет распространяться
по дугам полуокружностей с диаметрами на прямой {y = a} (причем
Брахистохрона, или еще одна тайна циклоиды 151


«начальная» точка находится на этой прямой).
3адача 8. Величина скорости света меняется по закону
k
(x, y) = v .
a?y
Докажите, что в этом случае свет между двумя точками будет распро-
страняться по дугам парабол.
Пока во всех задачах величина скорости света зависела толь-
ко от y. Если же оптическая среда такова, что эта зависимость
более сложная, например, величина скорости света постоянна не
на горизонталях, а на каких-то кривых — линиях постоянства
скорости света, — то свет между двумя точками будет распро-
страняться по такой кривой L, для которой
sin ?(c(x0 , y0 ))
= const,
c(x0 , y0 )
где ?(c(x0 , y0 )) — угол между касательной к кривой L и нормалью
к линии постоянства скорости света c(x, y) = c(x0 , y0 ).
3адача 9. Величина скорости света меняется по закону c(x, y) =
v
= k 1 ? r2 , где r = x2 + y 2 — расстояние от начала координат.
Докажите, что в такой среде свет между двумя точками будет распро-
страняться по дугам окружностей, перпендикулярных к окружности
радиуса 1 с центром в начале координат.
3адача 10. Величина скорости света меняется по закону c(x, y) = kr.
Докажите, что в этом случае свет между двумя точками будет рас-
пространяться по дугам гипоциклоид (см. «упражнения Ньютона»
со с. 136).
Если в задачах 7 – 10 c(x, y) интерпретировать как величину скоро-
сти некоторого механического движения, то полученные при решении
этих задач траектории распространения света будут брахистохронами
для соответствующих механических систем.
Основная задача механики заключается в том, чтобы
определить положение движущегося тела в любой мо-
мент времени. Из школьного учебника по физике

Аналогия между механикой и оптикой. Итак, в механике обычно
ищется траектория материальной точки, если известны действу-
ющие на точку силы и заданы начальные положение и вектор
152 Тайны циклоиды


скорости (начальные условия). Однако можно интересоваться не
индивидуальными траекториями, а описанием всей совокупности
траекторий при заданном законе изменения действующих сил
(дополнительное задание начальных условий будет тогда выде-
лять из этой совокупности траекторий конкретную траекторию).
Так, классический результат Галилея о движении брошенного
тела (горизонтально или под углом к горизонту) заключается в
том, что в случае силы тяжести множество траекторий состоит
из дуг парабол.
Использование оптики в чисто механических задачах навело
на мысль попытаться выделить возможное множество траекторий
для конкретной механической системы каким-нибудь условием
минимальности, аналогичным принципу Ферма. Об этом думал
Лейбниц, но первая формулировка принадлежит Мопертюи. Од-
нако его построения касались всего мироздания в целом и не
содержали точных утверждений. Первая точная формулиров-
ка принадлежит Эйлеру (учившемуся математике у Иоганна
Бернулли). Она относится к следующей специальной ситуации.
Пусть материальная точка движется по плоскости под дей-
ствием такой силы, что потенциальная энергия зависит только от
положения точки: U = U (x, y). В силу закона сохранения энергии
величина скорости точки |v| тогда также зависит только от (x, y):

2
|v(x, y)| = (E ? U (x, y)).
m

Рассмотрим плоскую неоднородную оптическую среду, в которой
k
величина скорости света меняется по закону c(x, y) = .
v(x, y)
Принцип Эйлера состоит в том, что траектории света, распро-
страняющегося в такой среде, будут совпадать с возможными
траекториями исходной механической системы (материальной
точки массы m с потенциальной энергией U (x, y)). Разумеется,
принцип Эйлера можно сформулировать так, что в нем не будет
идти речь о распространении света.
В частности, из задачи 8 и принципа Эйлера следует приве-
денное выше утверждение Галилея о траектории материальной
точки, движущейся под действием силы тяжести.
Брахистохрона, или еще одна тайна циклоиды 153


Поясним тепреь принцип Эйлера. Для простоты ограничимся
случаем, когда U (x, y), а значит и |v|, зависит только от y. По-
скольку на горизонталях потенциальная энергия постоянна, сила
будет направлена вертикально, горизонтальная компонента век-
тора ускорения равна нулю, а горизонтальная компонента вектора
скорости постоянна, то есть


|v(y)| sin ?(y) = const, (13)


где ?(y) — угол между вектором скорости и вертикалью в точке
траектории с ординатой y. Соотношение (13) вместе с (11) и да-
ет принцип Эйлера для данного частного случая. (В общем же
случае следует учесть, что силы действуют перпендикулярно к
линиям постоянства потенциальной энергии и что, следователь-
но, компоненты вектора скорости, касательные к этим линиям
постоянства, не меняются.)
В современной механике принципы, обобщающие принцип Эй-
лера (такие, как, например, принцип Гамильтона), играют исклю-
чительно важную роль.



Эпилог
Героическая история циклоиды завершилась с концом XVII ве-
ка. Она так таинственно возникала при решении самых разных
задач, что никто не сомневался, что она играет совершенно ис-
ключительную роль. Пиетет перед циклоидой держался долго,
но прошло время, и стало ясно, что она не связана с фундамен-
тальными законами природы, как, скажем, конические сечения.
Задачи, приводившие к циклоиде, сыграли огромную роль в ста-
новлении механики и математического анализа, но когда величе-
ственные здания этих наук были построены, оказалось, что эти
задачи являются частными, далеко не самыми важными. Про-
изошла поучительная историческая иллюзия. Однако, знакомясь
с поучительной историей циклоиды, можно увидеть много прин-
ципиальных фактов из истории науки.
154 Тайны циклоиды




Рис. 24.

Приложение
В этом приложении мы, как и обещали, объясним, почему пери-
циклоиды (с. 143) совпадают с эпициклоидами. Напомним, что
именно надо доказать.
Утверждение. Пусть обруч радиуса R, висевший на неподвиж-
ном круге радиуса r < R, начинают катить без скольжения по
этому кругу. Тогда точка обруча описывает ту же траекторию,
которую описывала бы точка колеса радиуса R ? r, катящегося
снаружи по тому же кругу радиуса r (рис. 24).
Обозначим радиус колеса R ? r через ?.
? Напомним, что кривые, описываемые при
указанном качении точками границы колеса,
называются эпициклоидами, а кривые, опи-
сываемые точками обруча, — перициклоидам.

Докажем, что при указанном в условии соот-
ношении между радиусами (R = r + ?) пери-
циклоиды совпадают с эпициклоидами.
Зафиксируем по одной точке на колесе и
?
на обруче. Пусть в начальный момент точки,
наблюдаемые на колесе и обруче, совпадают с
одной и той же точкой A границы неподвиж-
Рис. 25. ного круга (рис. 25). Пусть для определенно-
сти и колесо, и обруч катятся по кругу против
Тайны циклоиды 155


??
 ?  
?

??

а) б)

Рис. 26.
часовой стрелки. Если в некоторый момент колесо касается непо-
движного круга в точке B, то точка, наблюдаемая на его границе
(точка эпициклоиды), занимает такое положение C, что длины
дуг AB и BC равны (дуга BC выбирается с учетом направления
качения) — рис. 26а.
Аналогично, положение точки C , наблюдаемой на обруче
(точки перициклоиды), в тот момент, когда он касается непо-
движного круга в точке B , находится из условия равенства длин
дуг AB и B C , с учетом направления качения (см. рис. 26б).
Докажем, что для любой точки B на границе неподвижного
круга можно так подобрать точку B (тоже на границе неподвиж-
ного круга), что соответствующие точки C (эпициклоиды) и C
(перициклоиды) совпадут (рис. 27а). (Из нашего доказательства
будет ясно также, как по B выбирать B .)
Возьмем точку B так, чтобы отношение длин дуг AB и BB
было равно ?/r: тогда радианная мера дуги BC равна радианной

?
?¦ ? ? ¤?
?  ?  ??
 
¤ ?
 

¦¤

а) б)

Рис. 27.
156 Тайны циклоиды


мере дуги BB — обозначим ее через ?. Имеем

дл. AB = дл. BC = ??, дл. BB = r?.

Поэтому дл. B C = дл. AB = r?+??, и радианная мера дуги B C
также равна ?. Пусть O — центр неподвижного круга, O1 — поло-
жение центра колеса в момент, когда оно касается неподвижного
круга в точке B, O2 — положение центра обруча в момент каса-
ния обруча с неподвижным кругом в точке B ; точки {O, B, O1 }
и {O2 , O, B } лежат на одной прямой.
Пусть 0 < ? < ?. Имеем (рис. 27б) OB = OB = r, O2 B =
R, OO2 = R ? r = ?, OB = O1 C = ?, O1 O = r + ? = R,
?BOB = ?OO1 C = ?, Значит, четырехугольник OO1 CO2 — па-
раллелограмм, откуда O2 C = R, ?CO2 B = ?. Таким образом,
точка C лежит на окружности радиуса R с центром в O2 , причем
радианная мера дуги B C равна ?. Это и означает, что C совпа-
дает с C . Итак, мы доказали, что если по неподвижному кругу
прокатились дуги колеса и обруча одной и той же радианной ме-
ры ? < ?, то получившиеся точки эпициклоиды и перициклоиды
совпадут.
Остается убедиться в справедливости этого утверждения и
при ? ?. Посмотрите сами, во что превращается рисунок 27а
при ? = ?, а также при ? < ? < 2?. Отметим, что поскольку раз-
ность между длинами обруча и колеса равна 2?r — длине границы
неподвижного круга, то в тот момент, когда и колесо, и обруч
сделают полные обороты, наблюдаемые точки, вновь попав на
границу неподвижного круга, займут одно и то же положение A1 .
Случай 2? < ? < 4? сводится к случаю ? < 2?, если считать
точку A1 , начальной точкой вместо A. Если же считать A1 , на-
чальной точкой и одновременно изменить направление качения,
то случай ? ? 2? сведется к случаю ? ?.
БЛЕЗ ПАСКАЛЬ

Паскаль носил в душе водоворот без дна.
Ш. Бодлер, «Пропасть»1


Блезу Паскалю была присуща удивительная разносторонность,
которая была характерна для эпохи Возрождения, но уже почти
изжила себя в XVII веке. Еще не наступило время полного раз-
межевания естественных наук (скажем, физики и математики),
но занятия гуманитарные и естественнонаучные уже обычно не
совмещались.
В историю естествознания Паскаль вошел как великий физик
и математик, один из создателей математического анализа, про-
ективной геометрии, теории вероятностей, вычислительной тех-
ники, гидростатики. Франция чтит в Паскале одного из самых
замечательных писателей: «Тонкие умы удивляются Паскалю как
писателю самому совершенному в величайший век французского
языка. . . Каждая строка, вышедшая из-под его пера, почитается
как драгоценный камень» (Жозеф Бертран). Далеко не все согла-
шались с мыслями Паскаля о человеке, его месте во Вселенной,
смысле жизни, но никто не оставался равнодушным к строкам,
за которые их автор заплатил жизнью и которые удивительным
образом не старились. В 1805 г. Стендаль писал: «Когда я читаю
Паскаля, мне кажется, что я читаю себя». А через сто лет в 1910 г.
Л. Н. Толстой читал «чудного Паскаля», «человека великого ума
и великого сердца» и «не мог не умилиться до слез, читая его и
сознавая свое полное единение с этим умершим сотни лет тому
назад человеком». Поучительно сопоставить, как старятся идеи
естественнонаучные и гуманитарные.
1
Перевод К. Бальмонта.


157
158 Блез Паскаль (1623 – 1662)


Упомянем еще об одной
грани наследия Паскаля —
его практических достижени-
ях. Некоторые из них удосто-
ились высшего отличия — се-
годня мало кто знает имя их
автора. Для И. С. Тургенева
мерилами удобства и просто-
ты были «яйцо Колумба» и
«Паскалева тачка». Узнав, что
великий ученый изобрел са-
мую обыкновенную тачку, он
писал Н. А. Некрасову: «Кста-
ти я в одном месте говорю о
Паскалевой тачке — ты знаешь,
что Паскаль изобрел эту, по-
видимому, столь простую ма-
Паскаль в юности шину». А еще Паскалю при-
надлежит идея омнибусов — общедоступных карет («за 5 су») с
фиксированными маршрутами — первого вида регулярного город-
ского транспорта.
Паскаль — один из самых знаменитых людей в истории чело-
вечества. Ему посвящена необъятная литература. Каких только
сторон жизни и наследия Паскаля не касалось «паскалеведение»!
Особенно популярен Паскаль во Франции. Имеется своеобразное
свидетельство этого: портрет Паскаля был воспроизведен на ас-
сигнациях (в числе других французских писателей, удостоивших-
ся в разное время такой чести, — Корнель, Расин, Мольер, Мон-
тескье, Вольтер, Гюго, Сент-Экзюпери).

Палочки и монетки. Когда мы учимся рисовать графики, то в ка-
лейдоскопе безымянных кривых иногда появляются кривые, име-
ющие какое-то название или носящие чье-то имя: спираль Ар-
химеда, трезубец Ньютона, конхоида Никомеда, лист Декарта,
локон Марии Аньези, улитка Паскаля. . . Редко кто усомнится
в том, что это тот же Паскаль, которому принадлежит «закон
Паскаля». Однако в названии замечательной кривой 4-го поряд-
ка увековечено имя Этьена Паскаля (1588 – 1651) — отца Блеза
Блез Паскаль (1623 – 1662) 159


Паскаля. Э. Паскаль, как было принято в роде Паскалей, слу-
жил в парламенте (суде) города Клермон-Феррана. Совмещение
юридической деятельности с занятиями науками, далекими от
юриспруденции, было делом нередким. Примерно в это же вре-
мя посвящал математике свой досуг советник тулузского парла-
мента Пьер Ферма (1601 – 1665). Хотя собственные достижения
Э. Паскаля были скромными, его основательные познания поз-
воляли ему поддерживать профессиональные контакты с боль-
шинством французских математиков. С великим Ферма он об-
менивался трудными задачами на построение треугольников; в
споре Ферма с Рене Декартом (1596 – 1650) о задачах на мак-
симум и минимум Паскаль выступал на стороне Ферма. Б. Пас-
каль унаследовал добрые отношения отца со многими математи-
ками, но вместе с тем к нему перешли и напряженные отношения
с Декартом.
Рано овдовев, Этьен Паскаль посвящает себя главным образом
воспитанию своих детей (кроме сына, у него было две дочери —
Жильберта и Жаклина). У маленького Блеза очень рано обна-
руживается поразительное дарование, но, как это часто бывает, в
сочетании с плохим здоровьем. (Всю жизнь с Б. Паскалем случа-
лись странные происшествия; в раннем детстве он едва не погиб
от непонятной болезни, сопровождавшейся припадками, которую
семейная легенда связывает с колдуньей, сглазившей мальчика.)
Этьен Паскаль тщательно продумывает систему воспитания
детей. На первых порах он решительно исключает математику из
числа предметов, которым обучает Блеза: отец боялся, что ранняя
увлеченность математикой помешает гармоничному развитию, а
неизбежные напряженные размышления повредят слабому здо-
ровью сына. Однако 12-летний мальчик, узнав о существовании
таинственной геометрии, которой занимался отец, уговорил его
рассказать о запретной науке. Полученных сведений оказалось
достаточно для того, чтобы начать увлекательную «игру в геомет-
рию», доказывать теорему за теоремой. В этой игре участвовали
«монетки» — круги, «треуголки» — треугольники, «столы» — пря-
моугольники, «палочки» — отрезки. Мальчик был застигнут от-
цом в тот момент, когда он обнаружил, что углы треуголки состав-
ляют столько же, сколько два угла стола. Э. Паскаль без труда
узнал знаменитое 32-е предложение первой книги Евклида — тео-
160 Блез Паскаль (1623 – 1662)


рему о сумме углов треугольника. Результатом были слезы на гла-
зах отца и доступ к шкафам с математическими книгами. История
о том, как Паскаль сам построил евклидову геометрию, известна
по восторженному рассказу его сестры Жильберты. Этот рассказ
породил очень распространенное заблуждение, заключающееся в
том, что раз Паскаль открыл 32-е предложение «Начал» Евклида,
то он открыл перед этим все предыдущие теоремы и все аксиомы.
Нередко это воспринималось как аргумент в пользу того, что ак-
сиоматика Евклида — единственно возможная. На самом же деле,

<< Пред. стр.

страница 16
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign