LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 15
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

плоскости. Рассмотрим на этой плоскости кривую L, составлен-
ную из мгновенных центров вращения во все моменты времени;
кривую L называют неподвижным центроидом; мы будем назы-
вать ее «рельсом». С другой стороны, рассмотрим на пластине
кривую C, составленную из всех таких точек, которые оказы-
ваются мгновенными центрами вращения в какие-то моменты
140 Тайны циклоиды


 
?


 




Рис. 15.

времени; C называют подвижным центроидом; мы будем назы-
вать C «колесом». Введенные «несерьезные» термины, вероятно,
подсказали вам, что исходное движение можно получить, если
рассмотреть качение без скольжения нашего кривого «колеса»
по кривому «рельсу» и вовлечь в это качение остальные точки
(рис. 15). Отсюда можно вывести равенство длин дуги «колеса» и
соответствующей дуги направляющего «рельса» (по которой эта
дуга «колеса» прокатилась). При этом разрешается, чтобы при
качении «колесо» пересекало «рельс».
Часто под рулеттами понимают траектории, которые описы-
вают точки плоскости при ее движении как твердой пластины с
условием (б) во все моменты времени, т. е. при некотором качении.
Ко всем рулеттам мы научились проводить нормали и касатель-
ные. При этом оказалось, что не нужно даже уметь проводить
касательные к «колесу» и «рельсу» (это было бы необходимо, если
пользоваться сложением скоростей). В наших механических рас-
смотрениях мы вышли за пределы XVII века; замечательно, од-
нако, что способ проведения нормалей к общим рулеттам открыл
Декарт, определявший их с помощью качения (не зная, сколь об-
щий характер носят движения, порожденные качениями).
Эпициклоиды. Рассмотрим теперь рулетты, получающиеся при
качении круга по кругу. Пусть круг радиуса r катится по внеш-
Рулетты и касательные к ним 141


ней стороне окружности радиуса R. Траектории граничных точек
катящегося круга («колеса») называются эпициклоидами. Их вид
зависит от k = R/r (рис. 16 на с. 142). Если k — целое, то по-
движный круг, прокатившись один раз по границе неподвижного,
сделает k оборотов и эпициклоида будет иметь k заострений и
k арок. Эпициклоиду при k = 1 называют кардиоидой (она на-
поминает стилизованное изображение сердца). Если k = p/q —
несократимая дробь, то подвижный круг, сделав q оборотов, p раз
прокатится по неподвижному. Если же k будет иррациональным
числом, то никакой периодичности не будет, и наблюдаемая точка
никогда не вернется в исходное положение. (Можно доказать, что
получающаяся в этом случае бесконечная траектория заполняет
кольцо {R OA R + 2r}, подходя сколь угодно близко к любой
его точке, но не в каждую попадая.)
Касательные к эпициклоидам легко строятся с помощью
мгновенного центра вращения — точки соприкосновения кругов.
Докажите, что касательная к эпициклоиде (в некоторой точ-
ке) проходит через точку соответствующего подвижного круга,
диаметрально противоположную точке соприкосновения с непо-
движным.
Замечание. При построении эпициклоид и решении задач нужно
помнить следующее. Если A — начальное положение наблюдае-
мой точки (рис. 18 на с. 143), а в некоторый момент времени
подвижный круг касается неподвижного в точке B, то эпицикло-
иде принадлежит такая точка его границы C, что дуга BA равна
по длине дуге BC; учитывая разницу радиусов, получаем
?BC R
= = k.
?BA r
Траектории движения внутренних (соответственно внешних) то-
чек подвижного круга при рассматриваемом качении называют-
ся укороченными (соответственно удлиненными) эпициклоидами
(рис. 17 на с. 143; мы ограничиваемся целыми k).
Задача 5. Пусть точка A равномерно вращается вокруг точки O1 ,
которая, в свою очередь, равномерно вращается вокруг точки O;
OO1 = r2 , O1 A = r1 . Пусть оба вращения происходят по часовой
стрелке; v1 и v2 — величины линейных скоростей. Покажите, что
142 Тайны циклоиды




 ?
? ?
?
 
?¤ ?  

??




k=3 k=6
а) б)

1 5
k= k=
в) г)
2 2
2
k=
д)
3


Рис. 16.
Рулетты и касательные к ним 143




Рис. 17. Укроченные и удлиненные эпициклоиды

движение точки A будет происходить по какой-то эпициклоиде
(быть может, укороченной или удлиненной). Какими соотноше-
ниями определяется характер кривой?
Гипоциклоиды. Рулетты, получающиеся при качении круга ради-
уса r по внутренней стороне окружности радиуса R > r, называ-
ются гипоциклоидами (соответственно, удлиненными или укоро-
ченными).
Можно также в качестве аналога такого
движения рассмотреть качение обруча ради-
уса R, внутренней стороной касающегося гра-
ницы неподвижного круга радиуса r < R. ? ?
Соответствующие рулетты называются пери-
 
циклоидами. Но оказывается, что они сов-
падают с эпициклоидами (см. приложение в
конце главы).
Задача 6. Пусть вращения, описанные в
Рис. 18.
задаче 5, происходят в двух противопо-
ложных направлениях (одно — по, другое — против часовой стрел-
ки). По каким траекториям будет при этом двигаться точка A?
Мы не ставили перед собой цели строго доказать все ре-
зультаты, полученные нами из кинематических соображений. В
некоторых случаях это сделать просто: механические рассуж-
дения заменяются математическими почти автоматически (для
этого оказывается достаточно скорости заменить производными).
В других случаях такие «заменители» найти сложнее (напри-
144 Тайны циклоиды


мер, там, где рассматривается движение пластин или изменяются
силы). Однако чисто математические рассмотрения не могут
полностью заменить механическую интерпретацию, во многих
случаях дающую возможность увидеть простой и красивый ответ.


3. Брахистохрона, или еще одна тайна циклоиды
Ошибка Галилея. В самом начале XVII века юный Галилей пы-
тался экспериментально проверить свою догадку о том, что сво-
бодное падение — равноускоренное движение. Когда он перенес
наблюдения с Пизанской башни в лабораторию, ему стало очень
мешать то, что тела падают «слишком быстро». Чтобы замед-
лить это движение, Галилей решил заменить свободное падение
тел их движением по наклонной плоскости, предположив, что и
оно будет равноускоренным. Проводя эти опыты, Галилей обра-
тил внимание на то, что в конечной точке величина скорости тела,
скатившегося по наклонной плоскости, не зависит от угла наклона
плоскости, а определяется только высотой H и совпадает с ко-
нечной скоростью тела, свободно упавшего с той же высоты (как
вы хорошо знаете, в обоих случаях |v|2 = 2gh. Изучив движе-
ния по наклонным плоскостям, Галилей перешел к рассмотрению
движения материальной точки под действием силы тяжести по
ломаным линиям. Сравнивая времена движения по различным
ломаным, соединяющим фиксированную пару точек A и B, Гали-
лей заметил, что если через эти две точки A, B провести четверть
окружности (это всегда можно сделать; подумайте, как?) и впи-
сать в нее две ломаные M и L, такие, что ломаная L «вписана»
в ломаную M (см. рис. 19), то материальная точка из A в B
быстрее попадает по ломаной M , чем по ломаной L (попытай-
тесь доказать это). Увеличивая у ломаной число звеньев и пере-
ходя к пределу, Галилей получил, что по четверти окружности,
соединяющей две заданные точки, материальная точка спустит-
ся быстрее, чем по любой вписанной в эту четверть окружности
ломаной. Из этого Галилей сделал ничем не аргументированный
вывод, что четверть окружности, соединяющая пару заданных
точек A, B (не лежащих на одной вертикали), и будет для матери-
альной точки, движущейся под действием силы тяжести, линией
Брахистохрона, или еще одна тайна циклоиды 145


наискорейшего спуска (позже линию наискорейшего спуска ста-
ли называть брахистохроной). Впоследствии выяснилось, что это
утверждение Галилея было не только необоснованным, но и оши-
бочным.

Швейцария. Конец XVII века. «Про-
 
гуливаясь по улицам Базеля и об-
суждая всевозможные математиче- § ¦?
ские вопросы, Иоганн и Якоб Бер- ?
нулли наткнулись на следующий во-
прос: какую форму могла бы принять
свободно висящая цепь, укрепленная
¤
в двух своих концах? Они скоро и
? ?
легко сошлись на том взгляде, что
цепь примет ту форму равновесия,
при которой ее центр тяжести будет Рис. 19.
лежать возможно ниже. . . Физическая часть задачи этим исчер-
пана. Определение кривой с наиболее низким центром тяжести
при данной длине между двумя точками A и B есть уже задача
только математическая.» (Мах).
Исследовав цепную линию (так называется линия, форму ко-
торой принимает гибкая тяжелая нерастяжимая нить, подвешен-
ная в двух точках), братья Бернулли заинтересовались другими
задачами, в которых разыскиваются кривые, отвечающие наи-
меньшему значению той или иной величины. В 1696 году Иоганн
Бернулли опубликовал заметку «Новая задача, к разрешению ко-
торой приглашаются математики». Впрочем, эта «новая» задача
уже рассматривалась Галилеем. Речь шла о нахождении брахи-
стохроны — линии, соединяющей фиксированную пару точек, по
которой материальная точка спустится под действием силы тяже-
сти быстрее всего. Задача о брахистохроне, недоступная в начале
века даже великому Галилею, оказалась очень своевременной в
конце века. Она была очень быстро решена и самим Иоганном
Бернулли, и его братом Якобом, и их учителем Лейбницем, а так-
же Ньютоном и Лопиталем. Мы расскажем о решении Иоганна
Бернулли: оно совершенно неожиданным образом использует со-
ображения из геометрической оптики!
«Без всякого еще метода, при помощи одной своей геометриче-
146 Тайны циклоиды



?? ?   ¦ ? ¤  




Рис. 20.
ской фантазии Иоганн Бернулли одним взглядом решает задачу
умело, пользуясь при этом тем, что случайно уже известно, —
картина поистине замечательная и удивительно красивая. Мы
должны признать в Иоганне Бернулли истинно художественную
натуру, действующую в области естествознания. Брат его, Якоб
Бернулли, был научным характером совсем другого рода. Ему
было уделено больше критики, но гораздо меньше творческой
фантазии. И он решил ту же задачу, но гораздо более тяжело-
весным образом. Зато он не упустил случая развить с большей
основательностью общий метод для решения задач этого рода. Та-
ким образом, мы находим в обоих братьях разделенными те две
стороны научного таланта, которые в величайших исследовате-
лях природы, каким был, например, Ньютон, бывают соединены
с необычайной силой.» (Мах).
Принцип Ферма. Еще в 140 году до н. э. Клавдий Птолемей соста-
вил подробную таблицу зависимости угла преломления светового
луча при переходе из воздуха в воду от угла падения, но лишь в
1621 году Снеллиус угадал аналитическую закономерность, свя-
зывающую эти углы:
sin ?падения
= k,
sin ?преломления

где k — коэффициент преломления, константа для фиксированной
пары сред.
В 1650 году Ферма дал замечательную интерпретацию этого
закона. Он отправлялся от известного еще Герону Александрий-
скому факта, что равенство углов падения и отражения можно
Брахистохрона, или еще одна тайна циклоиды 147

¦
?© ? 
?
??
??
§ ? ??
¤
??
?© ? 

Рис. 21.

вывести из предположения, что при отражении свет выбирает на-
икратчайший путь (рис. 20).
Ферма предположил, что путь распространения света меж-
ду двумя точками есть такой путь, для прохождения которого
свету требуется наименьшее время по сравнению с любым дру-
гим путем между этими точками, — теперь это утверждение
носит название «приниипа Ферма». Из принципа Ферма, в част-
ности, следует, что поскольку в однородной среде скорость света
постоянна, то наименьшее время приходится на путь наименьшей
длины. Отсюда следует, что путь света в однородной среде, не
имеющей препятствий, прямолинеен, а также закон отражения.
Если же среда имеет переменную плотность, и скорость света в
различных ее участках различна, то путь распространения света,
на прохождение которого уходит наименьшее время, уже не дол-
жен быть прямолинейным. Посмотрим, что происходит в случае
преломления. (Все наши дальнейшие рассмотрения относятся к
плоскому случаю).
Пусть прямая l разделяет две среды (на плоскости), в первой
из которых скорость света равна c1 , а во второй c2 ; A1 и A2 —
точки, лежащие по разные стороны от l. Найдем на l такую точ-
ку B, что sin ?1 / sin ?2 = c1 /c2 , где ?1 — угол падения, ?2 — угол
преломления (см. рис. 21). Существование и единственность такой
точки B легко доказывается. Пусть C — любая другая точка пря-
мой l. Опустим из нее перпендикуляры CE и CF на A1 B и A2 B
соответственно.
Тогда ?ECB = ?1 , ?F CB = ?2 , и прохождение отрезка BE
со скоростью c1 займет столько времени, сколько прохождение
отрезка BF со скоростью c2 . Значит, свету на прохождение пу-
ти A1 BA2 нужно столько же времени, сколько на прохождение
148 Тайны циклоиды


?? ? 

?? ? 

?? ? 

¤? ¤ 


Рис. 22.

двух отрезков: A1 E со скоростью c1 и F A2 со скоростью c2 .
Так как длины отрезков A1 C и A2 C больше длин отрезков A1 E
и F A2 соответственно, то свету на прохождение пути A1 CA2 нуж-
но больше времени, чем на прохождение пути A1 BA2 и, значит,
точка C не годится.
Таким образом, из принципа Ферма следует закон преломле-
ния Снеллиуса, причем коэффициент преломления светового луча
из одной среды в другую оказывается равным отношению скоро-
стей света в этой паре сред1 .
Из принципа Ферма также следует, что в сложной слоистой
оптической среде, состоящей из горизонтальных «полос», в каж-
дой из которых скорость света постоянна: c1 , c2 , . . . (рис. 22), свет
будет распространяться по плоской ломаной с вершинами на раз-
деляющих эти полосы прямых, причем если ?i — угол, который
звено ломаной, лежащее в области со скоростью света ci , образует
с вертикалью, то sin ?j /cj = const для всей ломаной. Действитель-
но, если sin ?j /cj = sin ?j+1 /cj+1 для некоторого j, то по принципу
Ферма по такой ломаной свет распространяться не может: верши-
ну ломаной на границе соответствующих сред можно передвинуть
так (не меняя остальных вершин), что общее время, затраченное
светом, уменьшится.
Если же в некоторой неоднородной оптической среде скорость
света меняется непрерывно, но так, что в точках горизонталей
(т. е. в точках с одинаковыми ординатами) она одна и та же: c(y)

1
Принцип Ферма получил обоснование в волновой теории света, построен-
ной Гюйгенсом в 1672 – 1673 годах.
Брахистохрона, или еще одна тайна циклоиды 149


(значение y = 0 соответствует начальному положению точки, из
которой выходит луч), то предельным переходом получаем, что
в этой среде путь распространения света между двумя точками
есть такая кривая L, что
sin ?(y)
= const, (11)
y
через ?(y) обозначен угол, который касательная, проведенная к
кривой L в точке с ординатой y, образует с вертикалью.
Чтобы перейти к задаче о брахистохроне, заметим, что соот-
ношение (11) мы получили из принципа Ферма, пользуясь лишь
тем, что в фиксированной точке нашей неоднородной среды ве-
личина скорости света фиксирована и не зависит от направления
распространения света (в наших примерах она была постоянна
на горизонталях). Но, как мы уже отмечали выше, для тела, дви-
v
жущегося только под действием силы тяжести, |v(y)| = 2gy,
где y — пройденный по вертикали путь, «потеря» высоты, — и мы
получаем, что и в этой задаче величина скорости в каждой фик-
сированной точке плоскости фиксирована и не зависит от того,
по какому пути происходит движение. Поэтому все выводы из
принципа Ферма могут быть перенесены и сюда. Следовательно,
чтобы попасть из одной заданной точки в другую за минимально
возможное время, материальная точка должна двигаться по та-
кому пути L, соединяющему эти две точки (мы предполагаем, что
точки не лежат на одной вертикали), для которого
sin ?(y)
= const, (12)
v
y
где ?(y) — угол между вертикалью и касательной к кривой L,
проведенными в точке с ординатой y.
 
Нам остается лишь отыскать кривую,
удовлетворяющую условию (12). ?
Опять циклоида! Математики XVII века
привыкли к тому, что циклоида — это «па- ?
лочка-выручалочка» во многих вопросах.
И вот ей снова было суждено подтвердить Рис. 23.
свою «репутацию» — брахистохрона также
оказалась циклоидой!
150 Тайны циклоиды


<< Пред. стр.

страница 15
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign