LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 14
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

2
т. е.
|? (t)| = 2g(H ? h(t)).
r
Посмотрим, как движется проекция нашей точки на верти-
каль C0 B . В момент времени t эта проекция занимает положе-
ние Ct , а в момент времени ? она окажется в точке B (см. рис. 9),
пройдя отрезок C0 B длины H. Скорость w(t) в момент време-
ни t этого прямолинейного движения (в точке Ct на рис. 9) — это
проекция вектора скорости r(t) на вертикаль: w(t) = |? (t)| cos ?,
? r
где ? — угол между кусательной к циклоиде и вертикалью. По-
(2r ? y)/2r и y = 2r ? h(t), имеем
скольку (см. (9)) cos ? =
cos ? = h(t)/2r, а значит

g
· h(t)(H ? h(t)).
w(t) =
r

Итак, закон изменения скорости у нашего прямолинейного
движения довольно сложный. Но Гюйгенс заметил (решаю-
щая догадка!), что при равномерном вращательном движении
по окружности диаметра H вертикальная компонента скорости
имеет тот же вид, что и w(t). Действительно, построим на отрез-
ке C0 B как на диаметре полуокружность, и пусть Ct — точка этой
полуокружности, лежащая на высоте h(t). Длина отрезка Ct Ct
равна h(t)(H ? h(t)).
Из подобия прямоугольных треугольников, заштрихованных
на рис. 9 (их стороны взаимно перпендикулярны: OCt — ра-
диус, в точке Ct проведены касательная к полуокружности и
вертикаль), следует, что вектор длины (H/2) g/r, касательный
к окружности в точке Ct , имеет вертикальную проекцию дли-
ны w(t). Значит, когда наша точка C движется по циклоиде,
соответствующая ей точка C равномерно вращается с угловой
Циклоида и изохронный маятник 131


g/r радиан в секунду (не зависящей от H!). За вре-
скоростью
мя ? = ? r/g точка C пройдет полуокружность C0 B , за то
же время точка C пройдет отрезок C0 B , а сама точка C — ду-
гу циклоиды C0 B. Итак, мы не только доказали таутохронность
циклоиды (т. е. что ? не зависит от H), но и нашли полный период
колебаний:
r
T = 4? = 4? . (10)
g
Фактически доказано, что движение тяжелой материальной точки
по циклоидальному желобу можно представить в виде суммы равно-
мерного вращательного движения с угловой скоростью, не зависящей
от того, с какой высоты H пущена точка, и некоторого (вообще говоря
неравномерного) поступательного движения. При H = 2r это легко вы-
вести из кинематического определения циклоиды и соотношения (9) на
с. 125.
Формула (10) настолько напоминает гипотетическую форму-
лу Галилея для периода математического маятника (T = 2? l/g,
где l — длина), что было естественно попытаться использовать (10)
для обоснования последней. И в самом деле, с помощью (10) Гюй-
генс получил первое строгое доказательство формулы для перио-
да колебаний математического маятника при малых углах разма-
ха ?. Он заметил, что при малых углах круговой желоб почти не
отличатеся от циклоидального, и оставалось только понять, при
каком соотношении между длиной l математического маятника и
параметром l циклоиды это отличие наименьшее. Оказалось, что
при l = 4r (это не очевидный факт; мы еще к нему вернемся).
Подставляя в (10) r = l/4, получаем знаменитую формулу для
периода математического маятника: T = 2? l/g (при малых ?).
Циклоидальный маятник. Создавая первую модель часов, Гюй-
генс надеялся скомпенсировать отклонение простого (математи-
ческого) маятника от изохронности, уменьшая в процессе откло-
нения его длину. Длину маятника можно регулировать, устано-
вив «щеки» (рис. 10а), на которые в процессе отклонения будет
наматываться нить подвески. Попытки экспериментально подо-
брать нужную зависимость длины маятника от угла отклонения
не дали успеха, и Гюйгенс в следующих своих конструкциях ча-
сов устанавливает вместо щек ограничители размаха. Когда же
132 Тайны циклоиды

 

? ?
¤
?

а) б)

Рис. 10.

выяснилось, что циклоида — таутохрона, стало понятно, что фор-
ма щек должна быть такой, чтобы конец маятника двигался по
циклоиде.
Гюйгенс искал форму щек, рассуждая (в несколько вольном
пересказе) примерно так. Пусть имеется препятствие, ограничен-
ное кривой L, в некоторой точке O которого закреплена нерастя-
жимая нить длины l (рис. 10б). Натянутую нить мы наматываем
на препятствие, наблюдая за кривой M , которую описывает неза-
крепленный конец нити. Гюйгенс называл кривую M «разверт-
кой» кривой L; теперь M называют эвольвентой кривой L, а L —
зволютой кривой M (с одной эволютой связывается много эволь-
вент, отвечающих разным длинам l). Нам нужно найти эволюту
циклоиды.
Кривая M состоит из таких точек B, что сумма длин от-
резка касательной BA к кривой L в точке A и дуги AO кри-
вой L равна l (см. рис. 10б — это в точности означает натяну-
тость частично намотанной на L нити). Первая догадка Гюйгенса
заключалась в том, что касательная к кри-
? вой M в точке B перпендикулярна к AB,
? т. е. что AB — касательная к кривой L в
точке A — является одновременно и норма-
лью к кривой M в точке B. Проще все-
го пояснить этот факт, исходя из кинема-
тического определения кривой M . Вспом-
  ?
ним, что вектор скорости направлен по ка-
сательной к траектории движения и что при
изменении11.
Рис. действия сил вектор скорости не может изменить-
ся мгновенно (подробнее об этом см. ниже). «Обрубим» в точ-
Циклоида и изохронный маятник 133

?? ?  ?¤
??
¤
  ?
?
?? ?

Рис. 12.

ке A препятствие, но будем продолжать движение натянутой
нити (рис. 11); тогда конец нити начнет двигаться по окруж-
ности с центром в точке A; векторная же скорость его в точ-
ке B не изменится; поэтому в точке B у кривой и окружности
с центром A будет общая касательная, перпендикулярная к ра-
диусу BA.
Когда вы прочтете в этой главе раздел, посвященный рулет-
там, вы заметите, что если рассматривать нити разной длины,
то описанное движение конца нити продолжается до такого дви-
жения всей плоскости как твердой пластины, при котором точки
кривой L являются мгновенными центрами вращения, а различ-
ные эвольвенты — траекториями точек плоскости. Из этого заме-
чания сразу следует перпендикулярность отрезка AB к касатель-
ной к кривой M в точке B.
Следующая догадка Гюйгенса состояла в том, что в «хоро-
шей» ситуации зволюта кривой восстанавливается однозначно
(помните, у одной кривой много эвольвент)! Дело в том, что
нормали к кривой M в разных точках — это касательные к ее
эволюте L. «Хорошую» же кривую по касательным можно восста-
новить: взяв много касательных, построить описанную ломаную
и, «учащая» затем касательные, все лучше приближать кривую
(говорят, что кривая огибает множество своих касательных).
Нам нужно найти кривую, касательные к которой будут нор-
малями к заданной циклоиде. Гюйгенс догадался, что этой кривой
будет такая же циклоида, только поднятая на 2r и сдвинутая на
полпериода (так, что ее вершины совпадают с остриями исходной
циклоиды; см. рис. 12 на следующей странице).
134 Тайны циклоиды


В самом деле, пусть r = 1, и пусть l и l — направляющие
прямые соответственно нижней и верхней циклоид, O и O — их
начальные точки (l на две единицы выше l; O на ? единиц пра-
вее O). Возьмем на прямой l точку C и рассмотрим положения
производящих кругов (обеих циклоид), когда они касаются l в
этой точке C. Пусть C и C — диаметрально противоположные
ей точки соответственно верхнего и нижнего кругов, A и A —
соответствующие точки циклоид. Дуга CC A равна по длине от-
резку OC; поэтому она на ? больше дуги C A , равной по длине
отрезку O C . Отсюда ?C CA = ?C CA, и точки A , C, A лежат
на одной прямой. Остается заметить, что CA — касательная к
верхней циклоиде, а CA — нормаль к нижней (AC — касательная
к ней).
Теперь мы знаем, что щеки таутохронного маятника должны
быть циклоидальными, и что длина нити l должна равняться 4r
(именно при таком значении l мы в качестве эвольвенты получим
нужную циклоиду). При малых же углах размаха ? регулирую-
щие щеки почти не влияют на длину маятника, и циклоида близка
к дуге окружности радиуса 4r (см. конец предыдущего пункта).

Теорема Кристофера Рена. Эволюты и вычисление длин кривых.
Решив задачу о циклоидальном маятнике, Гюйгенс не остано-
вился, понимая, что им создана замечательная математическая
теория. Он пишет: «Для применения моего изобретения к маят-
никам мне необходимо было установить новую теорию, а именно,
теорию образования новых линий при посредстве развертывания
кривых линий. Здесь я столкнулся с задачей сравнения кривых и
прямых линий. Я изучил этот вопрос несколько далее, чем нужно
было для моей цели, так как теория показалась мне изящной и
новой».
Прежде всего Гюйгенс заметил, что когда нить маятника це-
ликом наматывается на щеку, то конец его оказывается в вершине
циклоиды; значит, длина нити маятника (4r) совпадает с длиной
половины арки циклоиды, и, значит, длина арки циклоиды рав-
на 8r. Эту теорему в 1658 году сформулировал и доказал Кристо-
фер Рен; Гюйгенс же, как мы видим, получил очень естественное
доказательство этой теоремы.
Теорема Кристофера Рена произвела на современников очень
Циклоида и изохронный маятник 135


сильное впечатление, и вот почему. Вычислением длин кривых
математики интересовались не меньше, чем вычислением площа-
дей. Вначале, по аналогии с квадратурой (см. с. 126), они инте-
ресовались «ректификацией» — построением циркулем и линей-
кой отрезка соответствующей длины; позже стали интересовать-
ся и алгебраической ректификацией — выражением длины кривой
при помощи любых алгебраических операций. Мы уже говорили,
что квадратуры некоторых фигур были найдены еще античны-
ми математиками; кривую же, для которой была бы возможна
хотя бы алгебраическая ректификация, математики безуспешно
искали вплоть до второй полонины XVII века. Начали думать,
что такой кривой вообще нет (так можно толковать слова Де-
карта «мы, люди, не можем найти соотношения между прямы-
ми и кривыми»). Ректификация циклоиды, полученная Реном,
опровергла эту точку зрения. Затем Ферма получил ректифика-
ции нескольких других кривых; однако во всех этих примерах
фигурировали неалгебраические кривые, и скептики «уточнили»
гипотезу, предположив, что невозможна алгебраическая ректифи-
кация алгебраических кривых (они справедливо объясняли, что,
конечно, искусственно построить кривую, допускающую ректи-
фикацию, можно). Однако и в таком виде гипотеза оказалась
неверной (первый опровергающий эту гипотезу пример был по-
строен еще в 1657 году, но оставался неизвестным): Нейль, Хейрат
и Ферма независимо предъявили в качестве алгебраической кри-
вой, допускающей алгебраическую ректификацию, одну и ту же
полукубическую параболу ay 2 = x3 . Совпадение это казалось ми-
стическим до тех пор, пока Гюйгенс не вскрыл, в чем причина
исключительности этой малозаметной кривой: она является эво-
лютой параболы. Точнее, эволютой параболы y = x2 является
кривая
1 x 2/3
y = +3 .
2 4
Теория Гюйгенса вообще максимально прояснила вопрос о
ректификации. Результаты о циклоидальном маятнике и связан-
ные с ними вопросы составили содержание большей части книги
Гюйгенса «Маятниковые часы», вышедшей в 1673 году.
В заключение мы предлагаем читателям несколько задач с
весьма почтенной репутацией.
136 Тайны циклоиды


Две задачи Галилея
1. Докажите, что под действием силы тяжести материальная точка про-
ходит все хорды окружности, оканчивающиеся в нижней точке окруж-
ности, за одно и то же время (аналогично — для хорд, начинающихся в
верхней точке окружности).
2. Пусть есть кривая L (достаточно «хорошая») и точка A, не лежащая
на L. Найдите на L такую точку B, чтобы отрезок AB проходился ма-
териальной точкой под действием силы тяжести за минимальное время.

Задачи Ньютона
Пусть есть центральное поле, в котором силы пропорциональны рассто-
янию r до центра: F (r) = kr, k > 0.
Ньютон заметил, что в таком поле гипоциклоиды (см. о них ниже
в этой главе) играют ту же роль, что циклоиды — в поле сил тяжести:
гипоциклоиды являются (в этом поле) таутохронами (Ньютон называл
их изохронами), а эволютами гипоциклоид являются подобные же ги-
поциклоиды (это — чисто геометрический факт, не относящийся к меха-
нике, но он позволяет устроить гипоциклоидальный маятник, а заодно
и вычислить длину гипоциклоиды).
Попробуйте доказать эти утверждения.


2. Рулетты и касательные к ним
Некоторые вопросы выяснились для меня первоначально при
помощи механического метода, после чего их надо было до-
казать геометрически, ибо исследование упомянутым мето-
дом не может дать подлинного доказательства. Однако, ра-
зумеется, легче найти доказательство, если сперва с помо-
щью этого метода получено известное представление о во-
просе, чем искать доказательство, не зная заранее, в чем
суть дела. Архимед


Укороченные циклоиды. Пока мы следили только за одной (фик-
сированной) граничной точкой производящего круга; ясно, что и
другие граничные точки будут двигаться по таким же циклоидам,
только сдвинутым вдоль прямой. Проследим теперь за траекто-
риями внутренних точек круга. Возникающие кривые называются
укороченными циклоидами (рис. 13); они характеризуются отно-
шением k = ?/r, где R — радиус производящего круга, ? — рассто-
яние от центра круга до наблюдаемой точки. При k = 0 получаем
Рулетты и касательные к ним 137


прямую, по которой движется центр круга, а при k = 1 — цикло-
иду.




Рис. 13.

Задача 4. Докажите, что нормаль к укороченной циклоиде прохо-
дит через нижнюю точку производящего круга.
Заметим, что точка, движущаяся по укороченной циклоиде,
нигде не имеет нулевой скорости. В нижней точке скорость на-
правлена горизонтально и ее величина равна R ? ?. Это означает,
что к качению окружности радиуса ? добавляется скольжение со
скоростью R ? ? (поступательное движение).
Удлиненные циклоиды. Вовлечем в качение круга его внешние
точки (можно представить себе, что на колесо, движущееся по
рельсу, надет обод). Эти точки движутся по кривым, которые на-
зываются удлиненными циклоидами (рис. 14). Все рассуждения,
которые ранее были приведены для укороченных циклоид, до-
словно переносятся на удлиненные. Здесь только k = ?/r > 1.
Заметим лишь, что в нижней точке удлиненной циклоиды ско-
рость направлена в сторону, противоположную движению круга
(|? 1 | = ?, r2 = r, ? > R).
?
r
Обращали ли вы внимание на то, что нижние точки обода
колеса вагона движутся назад?
Мгновенный центр вращения. Итак, мы вовлекли в качение круга
по прямой все точки плоскости. Каждая точка движется по своей
траектории, но все эти траектории согласованы, так как движу-




Рис. 14.
138 Тайны циклоиды


щиеся точки составляют твердое тело. Характеристическим свой-
ством твердого тела с точки зрения кинематики является то, что
при движении расстояния между всеми его точками остаются
неизменными. Мы ограничимся здесь рассмотрением лишь та-
ких движений твердых пластин, которые можно производить, не
выводя пластины из плоскости (запрещается, например, их пере-
ворачивать). Нас будет интересовать, какие ограничения накла-
дывает на скорости точек пластины условие твердости (заметим,
что вопрос о движении трехмерных твердых тел намного сложнее
рассматриваемой нами плоской задачи).
Вот некоторые закономерности движения твердых пластин.
Принцип вовлечения. Движение твердой пластины однозначно
определяется движениями любых двух ее точек. Движение двух
различных точек, при котором сохраняется расстояние между
ними, можно, и притом единственным образом, продолжить до
движения всей плоскости как твердой пластины.
Это утверждение носит чисто геометрический характер. Мы
не будем приводить его доказательства, ограничившись нагляд-
ными пояснениями. Во-первых, движение прямолинейного стерж-
ня полностью характеризуется движением двух его точек, а во-
вторых, если треугольник составлен из жестких стержней, то дви-
жение одного из них однозначно приводит в движение весь тре-
угольник. В результате в движение двух точек A, B можно во-
влечь прямую AB, а затем всякую точку C вне AB.
Принцип инерции. Если на твердую пластину не действуют ни-
какие внешние силы (а лишь внутренние силы, обеспечивающие
твердость), то она совершает равномерное прямолинейное или
равномерное вращательное движение.
При рассмотрении произвольных движений пластин нам по-
требуется еще один фундаментальный принцип механики: ско-
рость не может измениться мгновенно (для изменения ско-
рости требуется ненулевое время). В частности, если в момент
времени t0 изменить силы, действовавшие на движущуюся точ-
? ?
ку, то скорость r(t0 ) не изменится, а значит, если r(t0 ) = 0, не
изменится и касательная к траектории в момент t0 (хотя сама
траектория начиная с этого момента может стать иной).
Пусть в момент времени t0 на движущуюся твердую пласти-
Рулетты и касательные к ним 139


ну перестали действовать внешние силы. Тогда, с одной стороны,
скорости точек в момент времени t0 останутся прежними, а с дру-
гой стороны, движение должно подчиняться сформулированному
принципу инерции. Поэтому при движении твердой пластины в
каждый момент времени t может иметь место лишь одна из двух
возможностей;
а) скорости всех точек равны (как векторы);
б) существует единственная точка Ot , в которой скорость рав-
на нулю; в произвольной же точке A пластины скорость направле-
на перпендикулярно к вектору Ot A, а ее величина пропорциональ-
на расстоянию от A до Ot . (Коэффициент пропорциональности
зависит только от момента времени t.)
Из того, что скорость не может измениться мгновенно, нетруд-
но вывести, что переход от ситуации а) к б) и наоборот возможен
лишь в те моменты, когда пластина останавливается (скорости
всех точек равны нулю). Поэтому в промежутках между останов-
ками либо всюду имеет место ситуация а), либо всюду б). Можно
показать, что в случае а) траектория любой точки A получает-
ся из траектории некоторой точки B параллельным переносом на
вектор BA. Мы будем рассматривать случай б) (то есть считать,
что в каждый момент времени имеется единственная точка Ot
с нулевой скоростью). Будем называть Ot мгновенным центром
вращения в момент t. (В примере с качением круга по прямой
мгновенным центром вращения является точка соприкосновения
круга с направляющей прямой.)
Если известен мгновенный центр вращения Ot , то нормали
к траекториям в момент времени t (прямые Ot At ), а следова-
тельно, и касательные, строятся автоматически. Наоборот, если в
момент t известны скорости двух точек пластины, то взяв точку
пересечения нормалей к этим скоростям, мы получим мгновенный
центр вращения Ot .
Пусть теперь твердая пластина движется по неподвижной

<< Пред. стр.

страница 14
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign