LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 13
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

точка (0, 0) — острие, получают- ?

ся друг из друга гомотетией. По
каждой точке (x, y), x = 0, мож- ??
? ?¦
но единственным образом вы-
брать r так, что эта точка будет
?¤  
лежать на первой арке, выходя-
щей из точки (0, 0) соответству-
Рис. 3.
ющей циклоиды (докажите).
122 Тайны циклоиды


Касательные к циклоиде. Мы построим касательную к циклоиде с
помощью приема, разработанного Торричелли и Робервалем; этот
прием основывается на сложении скоростей. Первым касатель-
ную к циклоиде, вероятно, построил Вивиани. Однако, поскольку
циклоида определялась кинематически, естественно было найти
такой способ построения касательной к ней, который исходил бы
из кинематических соображений. Это и сделали Роберваль и Тор-
ричелли.
Рассмотрим движение материальной точки. Если в момент
времени t0 прекратить действие сил, то точка остановится или
начнет равномерно двигаться по касательной к траектории (ско-
рость возникающего равномерного движения называется мгно-
венной векторной скоростью исходного движения при t = t0 ). Это
утверждение вытекает из законов Ньютона. Но можно, как это
часто делали математики в XVII веке, принять его за кинематиче-
ское определение касательной, убедившись, что оно согласуется с
наблюдениями над простейшими движениями (прежде всего вра-
щательным). Встав на такую точку зрения, мы сможем строить
касательные ко многим интересным кривым, используя при этом
лишь простые факты о скоростях.
Будем рассматривать только плоское движение. Зафиксируем
на плоскости точку O — начало отсчета. Если движущаяся точка в
момент времени t занимает положение At , то через r(t) обозначим
вектор OAt . Задание векторов r(t) для всех значений t полностью
определяет движение. Мгновенную векторную скорость в момент
? ?
времени t обозначим через r(t); напомним, что вектор r(t) на-
правлен по касательной к траектории движения. Его длина |? (t)|
r
называется величиной скорости. Если движение происходит по
фиксированной прямой, на которой введены координаты, то век-
?
торы r(t) и r(t) направлены по этой прямой, и их можно характе-
ризовать координатами s(t) и s(t).
?
Пример 1. Галилей показал, что для прямолинейного движения s(t) =
= gt2 /2 скорость будет равна s(t) = gt.
?
Пример 2. Пусть точка, находящаяся на расстоянии R от точки O,
?
равномерно вращается вокруг O. Тогда вектор r(t) направлен по ка-
сательной к окружности, по которой движется точка, и |? (t)| = 2?R/T ,
r
где T — период вращения (время полного оборота). В частности, при
T = 2? имеем |r(t)| = |? (t)| = R.
r
Циклоида и изохронный маятник 123


Закон сложения скоростей. Пусть имеется два движения r1 (t)
и r2 (t). Назовем их суммой движение, для которого r(t) = r1 (t) +
+ r2 (t), где справа стоит векторная сумма. Закон сложения скоро-
? ? ?
стей утверждает, что скорость движения r(t) равна r1 (t) + r2 (t),
то есть сумме (векторной) скоростей составляющих движений.
Закон сложения скоростей легко установить для суммы движе-
ний с постоянными скоростями; общий же случай получается из
этого частного случая предельным переходом.
Всякое движение r(t) может быть представлено в виде суммы двух
прямолинейных движений. Для этого достаточно ввести любую декар-
тову систему координат так, чтобы O = (0, 0), и рассмотреть измене-
ние со временем координат x(t), y(t) вектора r(t). Очевидно, что исход-
ное движение r(t) и будет суммой движений x(t) и y(t) по координат-
ным осям. Скорости этих движений x(t) и y(t) являются компонентами
вектора r(t) (в силу закона сложения скоростей). Если в примере 2
R = 1, T = 2?, и вектор r(0) направлен по положительному направле-
нию оси Ox, то r(t) = (sin t, cos t), r(t) = (cos t, ? sin t), и мы получаем,
?
что s(t) = ? sin t если s(t) = cos t, и s(t) = cos t если s(t) = sin t. Чи-
? ?
татель, знакомый с дифференцированием, заметит, что выявился очень
простой кинематический смысл формул для производных от sin t и cos t.

Кинематическое определение касательной к параболе. Еще Галилей
(1564 — 1642) обнаружил, что если тело бросить под углом к гори-
зонту, то оно летит по параболе. При доказательстве этого факта
Галилей исходил из предположения, что такое движение являет-
ся суммой равномерного движения по инерции и свободного па-
дения. Однако Галилей не воспользовался своими вычислениями
для построения касательной к параболе. Сделал это Торричелли.
В приводимых ниже задачах 1, 2 сформулирован его результат.
Задача 1. Докажите, что касательная, проведенная в точке At траек-
тории горизонтально брошенного тела: At = (x(t), (t)) = (vt, gt2 /2),
соединяет эту точку с точкой (0, ?y(t)) = (0, gt2 /2).
Все вычисления легко обобщаются на случай тела, брошен-
ного под углом к горизонту со скоростью (u, v). В этом случае
движение разбивается на движение {x1 (t) = ut, x2 (t) = vt} с по-
стоянной скоростью (u, v) и свободное падение {x2 (t) = 0, y2 (t) =
= ?gt2 /2}. Поэтому результирующее движение записывается так:
{x(t) = ut, y(t) = vt ? gt2 /2} (при сложении векторов с началом
в O координаты их концов складываются).
Задача 2. Докажите, что касательная к параболе, по которой летит тело,
124 Тайны циклоиды


брошенное со скоростью (u, v), соединяет точку касания (x(t), y(t)) с
точкой (0, ?y2 (t)) = (0, gt2 /2).
Заметим, что указанный Торричелли способ построения каса-
тельных к параболе был известен и раньше, однако его кинема-
тическая интерпретация, безусловно, поучительна.
Вернемся к циклоидам. Дви-
§
жение точки, описывающей цик-
?
?¦ лоиду, можно рассматривать как
§
©?
?
сумму вращательного r1 (t) —
??
вокруг O — и поступательно-
§
?
го r2 (t) — вдоль прямой l, причем
движения эти происходят таким
??
образом, что в каждый момент
времени пройденные пути оказы-
?¤   ваются одинаковыми (s(t)). За-
кон изменения пути s(t) можно
задавать по-разному; от этого бу-
Рис. 4.
дет зависеть характер движения, но траектория (циклоида), а
вместе с ней и интересующие нас касательные, меняться не бу-
дут. Выберем самый простой закон изменения: s(t) = ct. Тогда
оба движения, и поступательное и вращательное, будут равно-
? ?
мерными с одинаковой величиной скорости r1 (t) = r2 (t) = c (см.
пример 2)1 .
Найдем скорость результирующего движения. Пусть в момент
?
времени t точка занимает положение At (рис. 4). Вектор r1 (t)
направлен по касательной к границе производящего круга, век-
?
тор r2 (t) — горизонтально; длины их одинаковы. По правилу па-
раллелограмма (в данном случае это ромб) находим искомую ско-
?
рость r(t), а значит, и касательную к циклоиде.
Задача 3. Докажите, что касательная к циклоиде в точке At соединяет
эту точку с верхней точкой Ft производящего круга при его соответ-
ствующем положении.
(Для решения задачи нужно доказать лишь простой геометриче-
?
ский факт: вектор r(t) направлен по прямой At Ft .)
Заметим, что величина скорости |? (t)| не постоянна: она мак-
r
симальная, когда точка занимает наивысшее положение (при этом
1
Имеем c = 2?R/T , где R — радиус производящего круга, T — время его
полного оборота. В частности, если T = 2?, то c = R.
Циклоида и изохронный маятник 125

 
 
¤? ? ? ?




   
¤? ??




Рис. 5.
? ?
векторы r1 (t) и r2 (t) лежат на одной прямой и совпадают по на-
правлению), и равна нулю, когда точка попадает на прямую l (в
? ?
этом случае векторы r1 (t) и r2 (t) противоположны — рис. 5).
Можно показать, что равен-
¦
ство нулю скорости в точках со- ?
прикосновения круга и прямой ?? §
??
во все моменты времени эквива-
лентно принятому ранее опреде-
лению качения без скольжения.
Итак, получаем, что там, где
циклоида имеет заострения, ско- ?¤  
рость наблюдаемой точки обра-
щается в нуль. Оказывается, что
Рис. 6.
вообще, какова бы ни была тра-
ектория, в точках ее заострения скорость всегда равна нулю. Ино-
гда говорят, что траектория не может «сломаться» на ненулевой
скорости. Принято считать, что в точках заострения у кривых нет
касательных. Все сказанное здесь нуждается в серьезных уточне-
ниях, которые мы делать не будем.
Нормаль к циклоиде. Итак, касательная к циклоиде в точке At
(рис. 6) проходит через верхнюю точку производящего круга —
точку F на рис. 6. Пусть Bt — нижняя точка круга, ? — угол
между касательной и вертикалью F Bt . Тогда At Bt — нормаль
к циклоиде (перпендикуляр к касательной; мы воспользова-
лись тем, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, —
прямой), и для ординаты y точки At имеем y = Et Bt = 2r sin2 ?.
Отсюда получаем следующее соотношение:
y
sin ? = . (9)
2r
126 Тайны циклоиды


В дальнейшем это соотношение будет играть важную роль. Мож-
но показать, что циклоида с параметром r является единственной
кривой, проходящей через точку (0, 0) и удовлетворяющей соот-
ношению (9).
О площадях криволинейных фигур. Площади некоторых криволи-
нейных фигур умели вычислять еще в Древней Греции. Вначале
интересовались лишь квадратурой фигур, т. е. построением для
данной фигуры циркулем и линейкой отрезка, длина которого
равна ее площади. Как выяснилось позднее, это можно сделать
для тех фигур, площадь которых вычисляется при помощи ариф-
метических операций и операции извлечения квадратного корня.
Постепенно стали интересоваться фигурами, площади которых
вычисляются с помощью произвольных алгебраических операций
(алгебраическая квадратура), а затем даже и такими фигура-
ми, в выражениях для площадей которых фигурировало число ?.
Основной метод вычисления площадей состоял в приближении
данной фигуры многоугольниками и переходе к пределу; но долж-
но было очень повезти, чтобы эти вычисления удалось довести до
явного ответа.
Иногда вычисление площади фигуры можно упростить, вос-
пользовавшись какими-нибудь общими свойствами площадей. Вот
несколько таких свойств.

1. При гомотетии фигуры с коэффициентом k площадь ее
умножается на k 2 , а при растяжении фигуры относительно
некоторой оси с коэффициентом k площадь ее умножается
на k.
2. Равносоставленные фигуры (т. е. фигуры, которые можно
разрезать на попарно равные части) равновелики (имеют
равные площади).
3. Две фигуры, при пересечении которых любой прямой, па-
раллельной некоторой фиксированной прямой, получаются
равные отрезки, равновелики (этот принцип сформулировал
в 1635 году Кавальери (1598 – 1647) ).

Представим себе, что контур фигуры — гибкая лента, а сама
фигура составлена из очень тонких жестких слоев, параллельных
прямой l («неделимых», по терминологии Кавальери). Рассмот-
Циклоида и изохронный маятник 127

¦ ¦

? ?

? ?

  ? ??   ? ??
? ? ?¤ ? ? ?¤
? ?
? ?

а) б)

Рис. 7.
рим преобразования, сохраняющие эти слои, но сдвигающие их
друг относительно друга. Все получающиеся при таких преобра-
зованиях фигуры в силу принципа Кавальери будут равновелики.
Перечисленные свойства площадей нуждаются в доказатель-
ствах (основная трудность этих доказательств состоит в том, что-
бы дать строгое определение площади), но в них легко поверить.
Сейчас мы расскажем о том, как изящно применяются эти свой-
ства при вычислении площади фигуры, лежащей под аркой цик-
лоиды.
Спутница циклоиды, лепестки Роберваля и площадь под циклоидой.
Поскольку все циклоиды подобны, мы ограничимся случаем r =
= 1. Вслед за Робервалем свяжем с каждой точкой циклоиды At
(см. рис. 6 на с. 125) ее проекцию Et на вертикальный диаметр
производящего круга. Точка Et имеет координаты
?
y = 1 ? cos t = 1 + sin t +
x = t, .
2
Кривую, составленную из точек Et при всевозможных t, Робер-
валь назвал «спутницей циклоиды». Легко понять, что «спутница
циклоиды» — это сдвинутая синусоида (на 1 вверх и на ?/2 впра-
во).
С этим обстоятельством связан исторический курьез. Математики
с незапамятных времен занимались тригонометрическими функциями,
но синусоида впервые появилась лишь в XVII веке, причем не как гра-
фик синуса, а как . . . «спутница циклоиды» (отчасти это можно объ-
яснить тем, что долго не рассматривали функций неалгебраического
происхождения).
«Спутница циклоиды» разбивает ее на три части (рис. 7а на
128 Тайны циклоиды


с. 127): фигуру под синусоидой и две симметричные фигуры, на-
званные «лепестками Роберваля». В силу свойства 2 площадь
фигуры под синусоидой равна 2?: эта фигура равносоставлена
с прямоугольником такой площади (рис. 7б). Рассмотрим один
«лепесток». Горизонталь на высоте y = 1 ? cos t пересекает его
по отрезку At Et длины | sin t| (см. рис. 3). Переместив эти го-
ризонтальные отрезки (при всевозможных t) вдоль своих гори-
зонталей так, чтобы их левые концы попали на одну вертикаль,
мы получим полукруг единичного круга (рис. 8). В силу прин-
ципа Кавальери площадь «лепестка» равна площади этого по-
лукруга, т. е. ?/2. Значит, площадь фигуры под аркой цикло-
иды с r = 1 равна 2? + 2(?/2) = 3? (и следовательно, 3?r2
при r = 1).
Вопрос о вычислении площа-
дей сегментов циклоиды являет-
ся менее элементарным. Гюйгенс
не без гордости писал: «Я первый
промерил площадь той части цик-
лоиды, которая получится, если
отсчитать от вершины 1/4 часть
оси и провести параллель основа-
Рис. 8.
нию. Эта часть составляет поло-
вину площади правильного шестиугольника, вписанного в обра-
зующий круг».

Таутохрона. Галилей утверждал, что период колебаний математи-
ческого маятника определяется только его длиной l и не зависит
от угла ? его максимального размаха. Гюйгенс, выяснив, что это
утверждение справедливо лишь для малых углов ?, решил по-
строить маятник, период колебаний которого и в самом деле не
зависел бы от ? (такой маятник называется таутохронным или
изохронным).
Построение изохронного маятника Гюйгенс разделил на два
этапа:
1) нахождение кривой, по которой должен двигаться конец ма-
ятника (таутохроны);
2) нахождение подвески маятника, обеспечивающей движение
его конца по таутохроне.
Циклоида и изохронный маятник 129

?? ¤
¦? ¤ §¤
?  ?¤ © ? ?? ¤

? ?? 



Рис. 9.

Мы начнем с поисков таутохроны (существование которой за-
ранее не очевидно).
Конец математического маятника движется по дуге окружно-
сти точно так же, как тяжелая материальная точка — по жело-
бу, контур которого совпадает с этой окружностью. Если прене-
бречь силами трения и сопротивления воздуха, то тяжелая точка,
пущенная по круговому желобу без начальной скорости с высо-
ты H, пройдя нижнее положение, снова поднимется на высоту H
и далее будет совершать периодические колебания, поднимаясь
то в одну, то в другую сторону на высоту H. Неверное утвер-
ждение Галилея состояло в том, что при этом период колеба-
ний T (H) не зависит от H. Наша задача — определить, какой
формы должен быть желоб, чтобы то, что утверждал Галилей,
было верным.
Благодаря счастливой случайности (они в истории науки иг-
рают не последнюю роль), Гюйгенс изучал циклоиду (в связи
с конкурсом Паскаля, 1658 год) в то самое время, когда искал
изохронный маятник. Именно циклоида и оказалась таутохроной!
Вероятно, сам Гюйгенс этого заранее не ожидал (так можно по-
нимать его слова: «я обнаружил пригодность ее (циклоиды) для
измерения времени, исследуя ее по строгим правилам науки и не
подозревая ее применимости»).
Рассмотрим на желобе, сделанном по форме перевернутой
циклоиды (рис. 9; r — радиус производящего круга) тяжелую
материальную точку; пусть в начальный момент времени она
находится на высоте H (в точке C0 на рисунке). Попытаемся
найти время ? , через которое она окажется в нижней точке B
(вершине циклоиды). Тогда через 2? она будет в точке C2? цик-
лоиды, симметричной относительно вертикальной оси точке C0 ,
через время T = 4? (полный период) вернется в точку C0 . Нас
интересует зависимость ? от H.
130 Тайны циклоиды


Пусть в момент времени t тяжелая точка занимает положе-
?
ние Ct на высоте h = h(t). Вектор скорости r(t) в момент времени t
направлен по касательной к циклоиде в точке Ct ; его длина |? (t)|
r
(величина скорости) определяется из закона сохранения энергии:

m|? (t)|2
r
= mg(H ? h(t)),

<< Пред. стр.

страница 13
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign