LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 12
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Гюйгенса проводятся многочисленные обсуждения формулы для
периода конического маятника. Движение конического маятника
сравнивается с двумя движениями, которые к тому времени бы-
ли основательно изучены: со свободным падением и колебаниями
простого (или математического) маятника (Гюйгенс называет его
колебания боковыми в отличие от круговых колебаний коническо-
го маятника).
Итак, период определяется проекцией нити на ось. Трудность
в построении изохронного конического маятника заключается в
том, что постепенно угол с осью уменьшается и период увеличи-
вается. Гюйгенс рассчитал, что для того чтобы период оставался
неизменным, надо с уменьшением угла так уменьшать длину ни-
ти, чтобы ее конец постоянно находился на параболоиде враще-
ния.
В самом деле, пусть имеется некоторая поверхность враще-
ния (у Гюйгенса параболоид — поверхность вращения параболы
py = x2 вокруг оси y). Тяжелая материальная точка устойчиво
вращается по горизонтальному сечению (кругу), если равнодей-
ствующая веса и центробежной силы направлена по нормали к
поверхности (перпендикуляру к касательной плоскости), а пото-
му здесь применима формула для конического маятника. В этом
случае ? — угол нормали с осью, l — длина отрезка нормали меж-
ду осью и поверхностью, u — проекция этого отрезка на ось. Здесь
переход от конического маятника к вращению тяжелой точки в
какой-то мере аналогичен переходу Галилея от математического
маятника к движению тяжелой точки по круговому желобу. Далее
Гюйгенс замечает, что у параболы py = x2 величина u (проекция
отрезка нормали на ось) не зависит от положения точки и равна
p/2. Отсюда он делает вывод, что период вращения тяжелой точ-
ки по любым горизонтальным сечениям параболоида один и тот
же:
T = 2? p/2g.
112 Христиан Гюйгенс (1629 – 1695)


Это дает новый способ полу-
чения изохронных колебаний,
что, по мнению Гюйгенса, бы-
ло важно при построении ча-
сов. Если подвесить кониче-
ский маятник так, чтобы неза-
висимо от угла ? наклона нити
к оси его конец двигался по по-
верхности параболоида, полу-
ченного от вращения параболы
py = x2 , то период вращения
не будет зависеть от ?. Други-
ми словами, надо сделать так,
чтобы при изменении ? дли-
на l изменялась, обеспечивая
постоянство проекции и на ось.
Гюйгенс придумал чрезвычай-
но остроумный способ подвес-
ки. Он предложил изготовить
пластинку по форме полукубической параболы y 2 = ax3 +b, закре-
пить в некоторой ее точке конец нити и тогда, оказывается, можно
так подобрать a, b и длину нити, что как бы мы ни натянули нить,
намотав часть ее на пластинку, другой ее конец будет находиться
на параболе. Секрет этого остроумного способа подвески опирает-
ся на те же математические соображения, что и способ подвески
циклоидального маятника.
Заметим, что эти же вычисления помогли Гюйгенсу в 1687 г.
быстро решить задачу Лейбница о кривой, по которой тяжелая
точка движется так, что пути, пройденные ею в равные проме-
жутки времени, имеют равные проекции на вертикаль. Этим свой-
ством обладает полукубическая парабола.
Физический маятник. Одно из главных достижений Гюйгенса
относится к теории физического маятника, т. е. речь идет уже
не о колебании точечного груза, а о колебании конфигурации
грузов или тяжелой пластины. Эта задача возникла в связи с
идеей иметь, кроме основного груза на конце маятника, подвиж-
ный груз, позволяющий регулировать период качаний маятника.
Гюйгенс почерпнул эту идею у гаагского мастера Доу, который
Христиан Гюйгенс (1629 – 1695) 113


в 1658 г. взял патент на свой вариант маятниковых часов, мало
отличающийся от часов Гюйгенса. Задачи о колебаниях физи-
ческого маятника возникали и раньше. Для механики переход
от движения материальной точки к движению протяженных
конфигураций был принципиальным. Первая серия таких задач
относилась к центру тяжести, и здесь важные результаты бы-
ли известны. В задачах же о колебаниях физического маятника
долго не удавалось сделать ничего существенного1 .
О задачах про физический маятник Гюйгенс узнал от Мер-
сенна: «Когда я был еще почти мальчиком (ему не было 17 лет —
С. Г.), ученейший муж Мерсенн задал мне и многим другим за-
дачу — определить центр качания. Из писем, которые писал мне
Мерсенн, а также из недавно опубликованных мемуаров Декар-
та, заключающих ответ на письма Мерсенна по этому поводу, я
заключаю, что эта задача пользовалась в это время известной
славой среди математиков. . . Мерсенн назначил большую, вы-
зывающую зависть премию на тот случай, если я решу задачу.
Однако он тогда ни от кого не получил того, что требовал . . . , я
в то время не нашел, что позволило бы мне приступить к расче-
там и как бы повернул назад у самого порога, и воздержался от
всякого исследования. Но и те, кто надеялись, что решили зада-
чу, знаменитые люди, как Декарт, Оноре Фабри и другие, вовсе
не достигли цели или достигли ее только в немногих, особенно
простых случаях.
Повод к новой постановке опытов дали регулируемые маятни-
ки наших часов, снабженные, кроме нижнего постоянного груза,
еще вторым подвижным грузиком, как сказано при описании ча-
сов. Исходя из этого, я начал исследования с начала, на этот раз
с лучшими видами на успех и, наконец, преодолел все трудности
и решил не только все задачи Мерсенна, но нашел еще и новые
задачи, более трудные, и, наконец, нашел общий метод для вычис-
ления центров качания линий, площадей и тел. От этого я имел
не только удовольствие, что я нашел нечто, что напрасно иска-
1
Напомним, что приведенной длиной физического маятника называется
длина математического маятника, имеющего тот же период колебаний, а
центр качания — это точка, лежащая на прямой, соединяющей точку подве-
са с центром тяжести, на расстоянии от точки подвеса, равном приведенной
длине.
114 Христиан Гюйгенс (1629 – 1695)


ли столь многие, и понял законы природы, относящиеся к этому
случаю, но, получил и определенную пользу, которая вообще за-
ставила меня заняться этим вопросом, а именно я нашел легкий
и удобный способ регулировки часов. К этому, однако, присоеди-
нилось то, что я считаю еще более ценным, а именно: благодаря
своему открытию я смог дать абсолютно устойчивое определение
для постоянной, верной для всех времен меры длины».
Последняя идея, о которой пишет Гюйгенс, состояла в том, что
подобно тому, как для измерения времени имеется естественная
единица измерения — сутки, для измерения длины такой едини-
цей предлагалось считать 1/3 длины маятника, период колебаний
которого равен одной секунде.
Задачи о центре качания не были доступны с позиций раз-
работанных к тому времени методов математического анализа.
Гюйгенс заметил, что целый ряд трудностей можно преодолеть,
исходя из энергетических соображений: центр тяжести при дви-
жении не может подняться выше, чем он был в начале движения
(иначе существовал бы вечный двигатель). Этот способ доказа-
тельства вызывал возражения у ряда крупных ученых, и было
затрачено много сил, прежде чем Я. Бернулли удалось получить
аналогичные утверждения на другом пути.

Морские часы. 1673 год был вершиной деятельности Гюйгенса по
маятниковым часам. В этом году вышла его книга «Маятниковые
часы», а парижский часовщик Исаак Тюре изготовил экземпляр
часов с учетом всех усовершенствований. Маятниковые часы
прочно вошли в обиход, но надежды на морские маятниковые
часы не оправдались. Первые экземпляры таких часов были из-
готовлены в 1661 г., а с 1663 г. начались их испытания. Вначале
граф Брюс взял с собой часы при плавании из Голландии в Лон-
дон, но часы остановились; более успешными были испытания
капитана Холмса при плавании из Лондона в Лиссабон. О дра-
матических событиях, связанных с испытанием часов во время
плавания английской эскадры в Гвинее, рассказывает Гюйгенс в
«Маятниковых часах». Испытания проходили с переменным успе-
хом до 1687 г., хотя становилось ясно, что надежного средства для
измерения долготы маятниковые часы не дают. Постепенно спрос
на морские часы упал, и в 1679 г. сам Гюйгенс склонился к тому,
Христиан Гюйгенс (1629 – 1695) 115


что морской хронометр должен представлять собой пружинные
часы с балансиром. Такой хронометр удалось создать в 1735 г.
Дж. Харрисону, который и получил премию в 20 тыс. фунтов от
английского правительства.
Прошло 300 лет. Маятниковые часы сослужили добрую служ-
бу людям, которые нечасто знают имя их создателя. Драматиче-
ская история работы Гюйгенса над маятниковыми часами очень
поучительна. В некотором смысле его главные надежды не осу-
ществились: ему не удалось создать морской хронометр, а в су-
хопутных часах циклоидальный маятник, который Гюйгенс счи-
тал своим главным изобретением, не прижился (вполне хватало
ограничителей амплитуды). Та же участь постигла конический
маятник. Но те математические и физические результаты, по-
лучение которых стимулировалось задачей о совершенствовании
часов, навсегда остались в анализе бесконечно малых, дифферен-
циальной геометрии, механике, и их значение трудно переоценить.
Приложение
Пятая часть «Маятниковых часов», содержащая другую кон-
струкцию часов с использование кругового движения маятни-
ков и теоремы о центробежной силе
. . . У меня было намерение издать описание этих часов вместе с
теоремами, относящимися к круговому движению и к центробеж-
ной силе, как я хочу ее назвать. Но относительно этого предмета у
меня больше материала, чем времени для его изложения в насто-
ящий момент. Но для того чтобы лица, интересующиеся этим во-
просом, быстрее познакомились с новым, отнюдь не бесполезным
открытием, чтобы какая-либо случайность не помешала опубли-
кованию, я, противно моему первоначальному предположению,
присоединил еще и эту часть к предыдущим. В ней кратко опи-
сывается конструкция новых часов и далее следуют теоремы о
центробежной силе, их доказательство откладывается на более
позднее время.

Конструкция вторых часов
Я не счел нужным изложить здесь распределение колес внутри
часового механизма; это устройство легко могут осуществить
часовщики в различных вариантах. Будет достаточным опи-
116 Христиан Гюйгенс (1629 – 1695)

§

? ?

?
 

?

¤
¦


сать ту часть часов, которая регулирует их ход определенным
образом.
Следующий рисунок изображает эту часть часов. Ось BH сле-
дует представлять себе вертикальной, способной вращаться в двух
подшипниках. В A к оси приделана пластинка, имеющая опре-
деленную ширину и искривленная по кривой AB, которая есть
полукубическая парабола, при сматывании нити с которой и при-
бавлении некоторой длины описывается парабола EF , как до-
казано в теореме VIII третьей части. AE — длина, на которую
надо удлинить нить; путем сматывания всей линии BAE и обра-
зуется парабола EF . BCF — нить, закрепленная на кривой AB,
конец которой описывает параболу. К нити прикреплен груз F .
Если ось DH вращается, тогда нить BCF , вытянутая в прямую,
повлечет за собой груз F , который будет описывать горизонталь-
ные круги. Эти круги будут больше или меньше в зависимости
от большей или меньшей силы, с которой действуют на ось коле-
са, вращающие барабан K. Но все эти круги будут лежать на
параболическом коноиде, и именно потому продолжительность
одного оборота будет всегда одна и та же, как вытекает из то-
го, что я объясню об этом движении впоследствии. Если оборот
должен совершаться в полсекунды, то параметр параболы EF
Христиан Гюйгенс (1629 – 1695) 117

1
должен составлять 4 дюйма моего часового фута, т. е. он должен
2
быть равен половине длины маятника, у которого каждое коле-
бание длится 1/2 секунды. Из параметра параболы определяется
параметр полукубической параболы; он равен 27/16 первого пара-
метра; определяется также отрезок AE, который равен половине
длины параметра параболы EF . Если же оборот должен совер-
шаться в секунду, то надо все длины брать в четыре раза больше,
как параметры, так и длину AE.

Теоремы о центробежной силе, вызванной круговым движением1
I
Если два одинаковых тела в одинаковое время описывают неоди-
наковые окружности, то их центробежные силы относятся, как
длины окружностей или как диаметры.

II
Если два одинаковых тела движутся с одинаковой скоростью по
окружности разных кругов, то их центробежные силы обратно
пропорциональны диаметрам.

III
Если два одинаковых тела движутся по одинаковым кругам с
разной скоростью, но оба равномерно, как мы это здесь всегда
подразумеваем, то их центробежные силы относятся, как квадра-
ты скоростей.

IV
Если два одинаковых тела движутся по разным окружностям и
обнаруживают одинаковую центробежную силу, то их времена об-
ращения относятся, как корни квадратные из диаметров.
1
Примечания к тексту даны в квадратных скобках. В примечаниях исполь-
зуются обозначения: m — масса тела, F — центробежная сила, T — период, R —
расстояние до центра, v — скорость.
118 Христиан Гюйгенс (1629 – 1695)


V
Если тело движется по окружности круга с той скоростью, ко-
торую бы оно приобрело, свободно падая с высоты 1/4 диаметра
круга, то испытываемая им центробежная сила равна весу, т. е.
оно тянет за нить, при помощи которой оно прикреплено к цен-
тру, с той же силой, как если бы было подвешено к нити.
[Если высота H = R/2, то для v конечной скорости при свобод-
v
ном падении имеем v = 2gH = Rg, а для указанной центро-
бежной силы имеем F = mv 2 /R = mRg/R = mg.]

VI
Если тело пробегает различные горизонтальные окружности, ко-
торые все лежат на кривой поверхности параболического конои-
да (параболоида) с вертикальной осью, то время оборотов всегда
одно и то же, будут ли круги больше или меньше, и это время об-
ращения вдвое больше продолжительности колебания маятника,
длина которого равна половине параметра образующей параболы.
ТАЙНЫ ЦИКЛОИДЫ
Рулетта является линией столь обычной, что после прямой и
окружности нет более часто встречающейся линии; она так
часто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удив-
ляться тому, как не рассмотрели ее древние . . . , ибо это не
что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздем колеса, ко-
гда оно катится своим движением с того момента, как гвоздь
начал подниматься от земли, до того, когда непрерывное ка-
чение колеса не приводит его опять к земле после окончания
целого оборота. Паскаль



1. Циклоида и изохронный маятник
Кривую, «так часто вычерчивающуюся перед глазами каждого»,
первыми заметили Галилей в Италии и Мерсенн (1588 – 1648) во
Франции. В Италии ее назвали циклоидой (это название, означа-
ющее «происходящая от круга», принадлежит Галилею), во Фран-
ции — рулеттой. Привилось первое название, а рулеттами теперь
называют кривые более широкого класса, речь о которых пой-
дет позднее. Математики XVII века, создававшие общие методы
исследования кривых, были очень заинтересованы в новых «под-
опытных» кривых. Среди этих кривых циклоида заняла особое
место. Она оказалась одной из первых трансцендентных кри-
вых (кривых не алгебраического происхождения), для которых
удалось найти красивый явный ответ в задачах о построении каса-
тельных и вычислении площади. Но больше всего поражало, что
циклоида вновь и вновь появлялась при решении самых разных
задач, в первоначальной постановке которых она не участвовала.
Все это сделало циклоиду самой популярной кривой XVII века:
крупнейшие ученые и Италии, и Франции (Торричелли, Вивиани
(1622 – 1703), Ферма (1601 – 1665), Декарт (1596 – 1650), Робер-

119
120 Тайны циклоиды

?
??
? ¤

?
§ ¦ ?¤ ? ??   ??©  


Рис. 2.
валь (1602 – 1675) ) решали разнообразные задачи о циклоиде, а
в 1673 году Гюйгенс констатировал, что «циклоида исследована
точнее и основательнее всех других кривых».
От кинематического определения к аналитическому. Кинематиче-
ское определение циклоиды содержится в эпиграфе к этой главе.
Попробуем его расшифровать.
Выберем на плоскости систему координат так, чтобы пря-
мая, по которой катится круг (направляющая прямая), совпала
с осью Ox, и пусть круг (его называют производящим кругом)
катится в положительном направлении оси Ox. Предположим,
что в начальный момент времени наблюдаемая точка границы
круга занимает положение A0 = (0, 0) (рис. 2).
Если r — радиус производящего круга, то центр его будет дви-
гаться по прямой y = r. Чтобы полностью охарактеризовать ка-
чение круга, достаточно описать движение его центра, если толь-
ко добавить, что круг катится без скольжения!1 Нам удобно,
зафиксировав единицу времени, предположить, что центр круга
движется равномерно со скоростью r. В момент времени t центр
круга окажется в точке Ct = (tr, r), и производящий круг будет
касаться направляющей прямой в точке Bt = (tr, 0). Найдем те-
перь положение At наблюдаемой точки в момент времени t (в
силу определения At будет точкой циклоиды). Чтобы это сде-
лать, нужно четко сформулировать условие, что качение круга
происходит без скольжения: оно состоит в том, что длина отрез-
ка между точками касания производящего круга с направляющей
прямой в моменты времени 0 и t (отрезка OBt , см. рис. 2) равна
длине дуги Bt At , «прокатившейся» по этому отрезку (при этом
1
Вероятно, именно это и имел в виду Паскаль, когда писал, что колесо
«катится своим движением».
Циклоида и изохронный маятник 121


дуга может превышать полную окружность). Поэтому в момент
времени t угол Bt Ct At равен t (в радианной мере), так как дли-
на дуги tt равна tr. Обозначив через Dt проекцию точки At на
прямую, проходящую через центр круга Ct параллельно оси Ox,
а через Et — проекцию точки At на прямую, проходящую через
центр Ct параллельно оси Oy (рис. 3), получим (с учетом направ-
лений координатных осей)

Ct Dt = ?r sin t, Ct Et = ?r cos t

(посмотрите, что будет в случаях t > ?/2, t > ?). Следовательно,
координаты точки t циклоиды равны соответственно

x = rt ? r sin t, y = r ? r cos t.

Заметим, что при t = 2? длина отрезка OB оказывается равной
длине окружности, наблюдаемая точка вновь попадает на ось Ox,
и картина начнет повторяться. Таким образом, период циклоиды
равен 2?r.
Итак, циклоиду можно определить как множество точек с ко-
ординатами (rt ? r sin t, r ? r cos t), и при желании про исходное
кинематическое определение забыть. Мы получили так называ-
емое параметрическое задание циклоиды: обе координаты x и y
точки At циклоиды являются функциями от некоторой вспомога-
тельной переменной t.
Назовем точки циклоиды, лежащие на оси Ox, остриями цик-
лоиды, точки, лежащие на прямой y = 2r, — вершинами, а дуги
между соседними остриями — арками циклоиды. В выбранной си-
стеме координат циклоида характеризуется одним параметром r
(радиусом производящего кру-
га). Все циклоиды, у которых ??

<< Пред. стр.

страница 12
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign