LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 8
(всего 9)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

i


где H ik = L? k ? Qi (L – оператор уравнения (8), Q – его правая часть);
Li – относящаяся к i-ому узлу часть дискретного оператора L.
Метод Зейделя позволяет эффективно учитывать ближайшие (сосед-
ние) узлы сетки. Но при использовании этого метода решение медленно
устанавливается к точному при необходимости учета дальних соседей и
границ на сетках с большим числом узлов. Про этот метод принято гово-
рить, что с его помощью легко получить решения, гармоники которых
близки собственным числам расчетной сетки.
Смысл метода Федоренко состоит в том, что на каждой из последова-
тельности сеток решается задача соответствующего ей масштаба. На самой
грубой сетке ищут самые крупномасштабные составляющие (или низко-
частотные гармоники) решения. На самой подробной сетке учитывают
мелкомасштабные детали и находятся высокочастотные составляющие
решения.
Специальные процедуры и организация метода Федоренко позволяют
эффективно искать решения на самой подробной сетке и автоматически
учитывать поправки к нему (эффективно содержащие в себе разные мас-
штабы искомого решения), полученные на последовательности укруп-

80
няющихся сеток. Интересно отметить, что на практике в качестве сетки с
самыми крупными ячейками используется даже сетка 3?3. И ее использо-
вание заметно повышает скорость сходимости итерационного процесса
даже на поздних его стадиях, когда приближенное решение почти устано-
вилось к точному.



3.3.8. Организация метода Федоренко
На исходной сетке NS = 1 делаем несколько итераций (будем делать
5) и находим решение ? и невязку H.

L1? 1 ? Q1 = H 1 , (17)

Затем вдвое увеличиваем шаг сетки и находим поправку ? 2 к реше-

нию ? 1 и вычисляем невязку H 2

L2? 2 ? H 12 = H 2 , (18)

где L2 – оператор L уравнения (12) для сетки NS = 2 . H 12 – невязка
уравнения (17) H 1 , расписанная на сетку NS = 2 .
Процесс укрупнения сетки продолжается до сетки, в которой расчет-
ная область хотя бы по одному направлению покрывается двумя шагами
сетки. После чего начинается обратный процесс: переход с укрупненных
сеток на исходную. При этом, полученное на NS + 1 решение интерполи-
руется на сетку NS и вносится поправка в решение, ранее полученное на
сетке NS : ? NS = ? NS ? ? NS +1 . После чего делается еще несколько итераций на
NS



сетке NS и осуществляется переход на сетку NS ? 1.



3.3.9. Дискретная модель для оператора переноса
Напомним, что в рассматриваемом случае скорости постоянны во всей
расчетной области.

81
При аппроксимации оператора переноса B в уравнении (4) считаем
положительными обе компоненты скорости u ? 0 , v ? 0 . При иных знаках
изменения очевидны.
Полагаем функцию ? постоянной в ячейке (n,m) в том смысле, что
именно это значение переносится через правую и верхнюю границы ячей-
ки, то есть

( )
1 m +1 / 2
J n +1 / 2 = u ? n ? + h m ?1 / 2
m m
h
2
1
(hn +1/ 2 + hn ?1/ 2 )
J n +1 / 2 = v? n ?
m m

2
Соответственно

( )( ) )
u m +1 / 2 v
+ h m ?1 / 2 ? n ? ? n ?1 + (hn +1 / 2 + hn ?1 / 2 )(? n ? ? n ?1
Bn? n = m m m m
h
2 2



3.3.10. Метод решения дискретного уравнения переноса
Обращение начинаем с левого нижнего угла сетки, так как полагаем
u > 0 , v > 0 . Если знаки u и v другие, то начинаем с других углов.
При нахождении ? n уже известны (вычислены на предыдущих ша-
m



гах) ? n?1 и ? n ?1 , а значит, можно определить и J nm?1 / 2 , J nm?1 / 2 . ? n находим
m m m



из уравнения

S n + (uh m + vhn )?? n = P1m + (J nm?1 / 2 + J nm?1 / 2 ) .
?2 m ?m
?? n
? ?
Для контроля за точностью решения будем вычислять норму невязки
уравнения (3). Итерационный процесс прекращается, когда норма невязки
уменьшилась в требуемое количество раз, например, в 1000 или 10000.




82
3.3.11. Сопоставление результатов численных расчетов с
известными аналитическими моделями
Приведем результаты тестирования комплекса программ для числен-
ного решения двумерного уравнения диффузии с переносом и поглощени-
ем. Идеи и методы, положенные в основу алгоритма, описаны выше.
В качестве тестовой задачи была использована задача о диффузии аэ-
розоля, поставляемого точечным источником в безграничное пространст-
во. Ветер, коэффициенты диффузии и поглощения считаются постоянны-
ми.
В двумерном случае уравнение имеет вид:
?? ?? rr
+ ?? = Q? (r ? r0 ) ,
? ? ?? + u +v
?x ?y
где ? – искомая концентрация аэрозоли; ? – коэффициент диффузии;
? – двумерный оператор Лапласа; u – компонента скорости ветра в на-
правлении x; v – компонента скорости ветра в направлении y; ? – коэффи-
rr
циент поглощения; ? (r ? r0 ) – дельта-функция, задающая источник в точке
r
с координатами r0 = ( x0 , y0 ) , Q – интенсивность точечного источника.
Поместим начало координат в точку с координатами ( x0 , y 0 ) и раз-
вернем ось x по направлению ветра. Тогда уравнения можно переписать
?? r
+ ?? = Q? (r ) ,
? ? ?? + U (19)
?x

где U = u 2 + v 2 .
Решение этого уравнения имеет вид [3]:

? Ux ? ? ? r ?
Q
? 2? ? K 0 ? ? r ? ,
?= exp? (20)
?? ?
2?? ? ?? ?
где K 0 – функция Макдональда, имеющая вид:
?
K 0 ( x) = ? exp[? x ch( y )]dy , x > 0
0



83
? = ? + U 2 (4? ) .
Функцию Макдональда вычисляли при помощи аппроксимирующих
полиномов, обеспечивающих точное вычисление восьми значащих цифр.
Для изучения вопросов порядка аппроксимации точности и эффек-
тивности численного алгоритма, предназначенного для решения уравнения
диффузии с переносом и поглощением в случае постоянных коэффициен-




Рис.8. Распределение концентрации аэрозоля вдоль осевой линии, ориентиро-
ванной по ветру и проходящей через источник выбросов




84
тов переноса диффузии и поглощения, была проведена серия тестовых
расчетов. Значения коэффициентов выбирали из интервала реально на-
блюдаемых коэффициентов диффузии, поглощения и скоростей ветра.
Расчеты проводили как на равномерной, так и на существенно нерав-
номерной сетке (с отношением сторон разностной ячейки от 1 до 500). На
равномерной сетке была показана квадратичная по шагу сетки сходимость
численного решения к точному. (Исследование характера сходимости чис-
ленного решения к точному – принятая норма в численном моделирова-
нии, позволяющая определить качество аппроксимации.) Неравномерная
сетка позволяет экономить машинные ресурсы (память и время счета), ес-
ли задача имеет существенно неоднородное по пространству решение. Так,
в случае сильного ветра и слабой диффузии, когда отличные от нуля зна-
чения решения находятся вблизи полуоси начинающейся из источника и
ориентированной по ветру, имеет смысл строить сетку с ячейками вытяну-
тыми в этом направлении.
Результаты тестовых расчетов и их сопоставление с аналитическим
решением (20) приведены на рис.8. Расчеты выполнены при следующих
значениях безразмерных параметров Q = 1 ; ? = 1 ; U = 10 ; ? = 1 .
На рис. 8 кривая, представленная тонкой сплошной линией соответст-
вует точному решению задачи на оси x; кривая, представленная жирной
линией – численный расчет в сетке 32?32 с равномерными шагами по x и y
– hx = h y = 0.25 ; пунктиром показан случай при hx = 0.0625 для ? 1 ? x ? 0

и hx = 0.25 при 0 < x < 6 , h y = 0.25 . Решение, полученное в последнем

случае, немного отличается от аналитического лишь в небольшой области
с подветренной стороны и вблизи границы. В остальной области отличие в
четвертом-пятом знаках. Отличие в самом источнике связано с особенно-
стью аналитического решения в источнике. Поскольку источник представ-
лен точкой не имеющей площади, то концентрация аэрозоля «внутри» та-


85
кого источника бесконечна. На практике эту особенность заменяют кон-
центрацией примеси наблюдаемой, например, в устье заводской трубы.
Из рис.8 видно, что приближенное решение, полученное даже на гру-
бой сетке, кривая 2, мало отличается от точного, (кривая 1), за исключени-
ем области с подветренной стороны. В этой области отличия приближен-
ного решения от точного связаны с тем, что масштаб изменения решения




Рис. 9. Распределение концентрации аэрозоля выбрасываемого точечным ис-
точником, при скорости ветра 0.1 м/сек. Отличие линий уровня от концентри-
ческих кругов с подветренной стороны связано с граничным условием ? =0



86
меньше шага сетки. Хорошо видно, что с уменьшением шага сетки при-
ближенное решение сходится к точному.
Задачу в безграничной области мы заменяем задачей в ограниченной
области с заданной фоновой концентрацией на границе. На рис. 8 можно
увидеть, какие возмущения вносит это граничное условие в случае, когда
фоновая концентрация полагается равной нулю. Граница области распо-




Рис. 10. Распределение концентрации аэрозоля выбрасываемого точечным ис-
точником, при скорости ветра 1 м/сек



87
ложена на расстоянии x = 6 . Видно, что отличие точного решения безгра-
ничной задачи от приближенного, соответствующего этому граничному
условию, заметно лишь в 3-4 приграничных точках. Пример показывает,
что сгущение сетки вблизи от источника в области высоких концентраций
улучшает решение и внутри расчетной области и вблизи ее границы.
Анализ рисунка позволяет заключить, что ошибки в задании фоновой




Рис. 11. Распределение концентрации аэрозоля выбрасываемого точечным
источником, при скорости ветра 10 м/сек



88
концентрации, которые неизбежны из-за недостатка информации, сказы-
ваются лишь в узкой приграничной полосе. При необходимости можно
строить в приграничной зоне решение экстраполяцией решения из внут-
ренней области. Тогда построенное решение будет соответствовать реше-
нию задачи в безграничной области.
Кроме описанных выше расчетов проводились и другие – для модели
точечного источника с различными параметрами задачи. На рис 9-11 при-
ведены результаты серии расчетов для точечного источника единичной




Рис.12. Трехмерная карта распределения концентрации (условия те же, что и на
рис.11). На трехмерной поверхности более наглядно представлены различия
концентрации в области



89
интенсивности при следующих параметрах: коэффициент диффузии
? = 10 м/с, коэффициент поглощения ? = 0 , скорость ветра вдоль оси y:
v = 0 , а вдоль оси x: u = 0.1; 1.0; 10 м/с. Сравнение с аналитическим реше-
нием показало, что решение, полученное численно во внутренних облас-
тях, отличается не более чем на 1% .
Из сравнения рис.10-12 видно, как с усилением ветра меняется карти-
на распределения концентрации аэрозоля. Фактически уже при сколько-
нибудь заметном ветре (1 м/с) аэрозоль сносится по ветру, и ее концентра-
ция в области убывает.
Результаты сопоставления численных расчетов с аналитическими ре-
шениями (см. рис. 8) задачи о точечном источнике позволяют заключить,
что предлагаемый алгоритм обеспечивает высокую точность решения в
рамках данной модели.




90
3.3.12. Расчеты с распределенными источниками, модели-
рующими участки завода
Для того чтобы продемонстрировать работоспособность программ,
предназначенных для расчетов пространственного распределения концен-
трации аэрозолей, выбрасываемых реальными объектами, приведем ре-
зультаты некоторых расчетов с источниками, которые можно рассматри-
вать как модели участка завода с источниками аэрозолей типа цех и труба.
Расчеты выполнены по модели Паскуилла-Гиффорда. Модель включена в
комплекс программ «Монитор», предназначенный для природоохранных
служб промышленных предприятий.
Результаты численных расчетов представлены на рис. 13-15 в виде
карт изолиний концентрации аэрозолей, выбрасываемых из труб точками и
фонарей цехов. Расчеты тестовые отношения к реальному предприятию не
имеют, уровень ПДК не задан. Результаты
На рис.13 показаны результаты расчетов для отдельного цеха. Цех
моделируется с помощью точечных источников единичной интенсивности,
расположенных в соседних узлах сетки.
Рис. 13-15 демонстрирует зависимость распределения концентрации
от скорости ветра. Из сравнения рисунков видно, что по мере усиления
ветра концентрация аэрозолей в расчетной зоне снижается, и распределе-
ние вытягивается по ветру. Особо обратим внимание на то, что даже при
слабом ветре 5 м/с практически все выбросы сносятся по ветру и на рас-
сматриваемых масштабах диффузия практически не играет роли.
На рис.15 показан случай, когда источниками выбросов являются цех
и отдельно стоящая труба (такой же интенсивности выбросов, как и цех).
Хорошо виден эффект суммирования концентрации аэрозоля.




91
Рис.13. Распределение концентрации аэрозоля выбрасываемого линейным источником (вытяжные фонари заводского цеха)

92
Рис.14. Распределение концентраций для тех же условий, что и на рис.13, но при скорости ветра 10м/сек


93
Рис.15. Распределение концентрации при скорости ветра 5м/сек и добавочном точечном источнике выбросов (заводская труба)


94
Представленные результаты достаточно наглядно демонстрируют ра-
ботоспособность и возможности комплекса программ, предназначенного
для расчетов установившегося распределения концентрации аэрозолей, ко-
торые выбрасывает в атмосферу множество источников, при произвольных
направлении и силе ветра.


Список литературы
1. Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой дина-
мики. Новосибирск: Наука, 1987 . 304 с.
2. Федоренко Р.П. Итерационные методы решения разностных эллипти-
ческих уравнений // УМН. 1973.Т.28. Вып.2(170). С.121-182.
3. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей
среды. М.: Наука. Гл.ред. физ.-мат. лит., 1982. 320 с.
4. Янке Е., Эмдэ Ф., Леш Ф. Специальные функции.-М.: Наука, 1968.
344 с.




95
4. Проблемы программной реализации прикладных мо-
делей
Прикладные модели, используемые для прогноза загрязне-
ния атмосферы и оценки его последствий, представляют собой
эмпирически установленные довольно громоздкие наборы пра-
вил, справочных данных, табличных и функциональных зависи-
мостей. Наиболее полные из моделей включают в себя также ал-
горитмы численного решения уравнений в частных производ-
ных, требующие задания начальных и граничных условий, кото-
рые приходится доопределять в соответствии с анализируемыми
ситуациями.
Круг решаемых задач и характер представления входной и выходной
информации разнообразны. Поэтому программный блок расчетных моде-
лей информационно-аналитической системы экологических служб должен
быть снабжен средствами управления заданием начальных и граничных
условий, средствами управления обменом информацией с базами данных,
средствами графического представления результатов расчетов и справоч-
ной подсистемой. Должна быть предусмотрена возможность автоматиче-
ского выбора модели и задания начальных и граничных условий для ти-
пичных ситуаций, которые будут определены в процессе опытной эксплуа-
тации системы.
В настоящем учебном пособии мы определим только специфические
проблемы, возникающие при разработке комплекса программ для вычис-
лительного моделирования загрязнения атмосферы, а затем, в последую-
щих пособиях, обсудим пути и информационные технологии их решения.
1. Самостоятельная и непростая задача: получить удовлетворяющую
пользователя точность реализации трехмерных нестационарных моделей в



96
условиях ограниченности вычислительных ресурсов. Потребуется исполь-
зование и разработка высокоэффективных численных методов.
2. Высокая специфичность численных моделей предъявляет опреде-
ленные требования и к организации пользовательского интерфейса. Его

<< Пред. стр.

страница 8
(всего 9)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign