LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 6
(всего 9)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

сиссауга (Канада) было эвакуировано 200 тысяч человек на площади 125
км2. Разлитие хлора сопровождалось горением других газов. Пожар и эва-
куация длились неделю, о погибших или пострадавших не сообщалось.
По-видимому, мероприятия по защите населения проводились в соответст-
вии с методикой, аналогичной штатной методике ГО [1]. Но этот случай не
был одним событием при определенных метеоусловиях, эвакуация прово-
дилась в расчете на возможные самые опасные условия. Для определенных
условий прогноз опасности должен быть намного точнее.
Все приведенные выше модели и методы предназначены для уточне-
ния размеров и положения зоны заражения или загрязнения. Отличие их
результатов от методики ГО [1] состоит также в том, что они предсказы-
вают распределение концентрации ядовитого вещества внутри зоны, то
есть можно выделить более опасные части зоны заражения. При этом есте-
ственно выделять зону, в которой здоровью человека будет нанесен суще-
ственный ущерб, и зону смертельной опасности.
Авторам не удалось найти опубликованных данных о сильных воз-
действиях ядовитых веществ на организм человека или животных. Но
можно воспользоваться аналогией с уничтожением вредителей растений с
помощью распыления ядовитых веществ в атмосфере в виде мелкодис-
персных аэрозолей. Процессы распространения таких аэрозолей и интере-
сующие нас процессы распространения ядовитых газов практически оди-
наковы. В обоих случаях, как правило, речь идет о единичных событиях в
отличие от обычных экологических проблем, связанных со стационарным

60
загрязнением окружающей среды трубами предприятий или выхлопными
газами автотранспорта. Хотя уничтожение насекомых – сознательное дей-
ствие, а отравление людей ядовитыми продуктами аварийных выбросов –
непреднамеренное (хочется надеяться, что умышленных аварий не будет),
эти процессы имеют общие главные черты.
Такого рода научно-исследовательские работы проводят во ВНИИ
молекулярной биологии. Исследованию дополнительных вопросов, возни-
кающих при анализе воздействия больших доз, посвящена монография [3].
Основным выводом [3] является необходимость принципиально ино-
го описания процессов распространения веществ в атмосфере, чем это де-
лается во всех упоминавшихся выше моделях, которые имеют экологиче-
скую направленность. Все эти модели дают распределения концентрации
вещества, усредненные по времени. А особенности воздействия ядов на
живой организм имеют сильно нелинейный характер, то есть эффект от
суммарного воздействия не равен сумме эффектов этих же воздействий.
Поэтому наряду со средним значением концентрации ядовитого вещества
в данной точке пространства необходимо знать и флуктуации концентра-
ции. Как показано в [3], без такого полного статистического описания
площадь зоны уничтожения насекомых завышается в несколько раз, а при
определенных условиях и на порядок. Подчеркнем, что этот эффект не свя-
зан с погрешностью определения положения облака или струи ядовитого
вещества. Находясь внутри облака и измеряя концентрацию, мы неизбеж-
но обнаружим ее хаотические изменения - флуктуации, причем значитель-
ную часть времени концентрация в несколько раз отличается от среднего
значения.
К сожалению, предложенный метод не доведен до уровня конкретной
модели, пригодной для практического использования. Поэтому этими ре-
зультатами можно воспользоваться только как качественным утверждени-
ем: зона реального поражения будет меньше, чем она определяется по рас-

61
пределениям усредненной концентрации. Но и для этого потребуются до-
полнительные данные о воздействии больших доз ядов на организм чело-
века.
Таким образом, можно констатировать, что задача районирования
территории, подвергшейся загрязнению токсичными выбросами по степе-
ни опасности для человека, до конца не решена, и это обстоятельство надо
учитывать при создании моделей для проведения экологических экспертиз.


Список литературы
1. Методика прогнозирования масштабов заражения сильнодействующими
ядовитыми веществами при авариях (разрушениях) на химически опас-
ных объектах и транспорте. Руководящий документ РД 52.04.253-90. Л.:
Гидрометеоиздат, 1991. 23 с.
2. Маршалл В. Основные опасности химических производств. М.:, Мир,
1989. 672 с.
3. Бородулин А.И., Майстренко Г.М., Чалдин Б.М. Статистическое описа-
ние распространения аэрозолей в атмосфере: метод и приложения. Но-
восибирск: Изд-во Новосибирского ун-та, 1992. 123 с.
4. Оксенгендлер Г.И. Яды и организм: Проблемы химической опасности.
СПб.: Наука, 1991. 320 с.




62
3. Примеры численного моделирования
В настоящей главе рассмотрим вопросы численного моделирования
уравнения переноса-дифузии на примере расчетов, выполненных для
оценки загрязнения приземного слоя атмосферы промышленными выбро-
сами. Последовательность и логика изложения материала соответствуют
реальной практике выполнения хоздоговорных работ и оформления их ре-
зультатов.
Работы обычно начинают с наиболее общей постановки задачи, затем
находят условия, позволяющие получить ответ требуемой или заданной
точности и упрощают постановку задачи.
Делается это так. Вначале формулируют наиболее полную и общую
постановку задачи к ней составляют перечень условий и требований, необ-
ходимых для получения требуемого результата. Затем, исходя из имею-
щихся интеллектуальных, трудовых, информационных, вычислительных,
финансовых и временных ресурсов, с учетом ограничений на все виды ре-
сурсов ищут постановку задачи, позволяющую найти компромисс между
желаемым результатом и имеющимися возможностями и ресурсами.
На предлагаемую ниже численную реализацию модели переноса-
диффузии примеси наложены следующие ограничения. Программная реа-
лизация модели предназначена для природоохранных служб заводов и
должна работать на машинах класса РС АТ 486. Отсюда следует, что в мо-
дель предназначается для моделирования приземного слоя атмосферы в
окрестности (ограниченной радиусом 10-20 км) промышленных предпри-
ятий. Данных для полноценного моделирования или представления атмо-
сферных течений, как правило, нет. Модель локальных течений построен-
ная с учетом орографии местности требует, слишком большого числа на-
турных измерений (и больших финансовых затрат), а численное решение
трехмерное мезометеорологических задач слишком больших вычисли-

63
тельных ресурсов и не может быть реализовано на ЭВМ выше упомянуто-
го класса. Отсюда следует, что в расчетной модели модель течений может
быть либо заданной, либо скорости вообще будут постоянны в расчетной
области. Упрощающее предположение о постоянстве скорости в расчетной
области может быть оправдано ее относительно небольшими пространст-
венными масштабами и тем, что заводы стремятся строить на относитель-
но ровных, хорошо «продуваемых» ветрами площадках. Химическую
трансформацию примесей можно не учитывать и нестационарные процес-
сы не рассматривать, сделать это не позволят уже упоминавшиеся вычис-
лительные ресурсы.

3.1. Общая постановка задачи

Пусть источники выбросов находятся внутри цилиндра нижняя грань
которого – подстилающая поверхность (земля).
В своей основе все математические модели процесса распростране-
ния той или иной примеси опираются на полуэмпирическое дифференци-
альное уравнение переноса:
?? ?? ?? ?? ? ??
+ ?? = ? + ? ?? + f
+u +v +w (1)
?t ?x ?y ?z ?z ?z
Здесь:
? – искомая концентрация примеси;
t – время;
u, v, w – компоненты скорости ветра по осям x, y, z декартовой систе-
мы координат соответственно;
? – коэффициент турбулентной диффузии в плоскости (x,о,y);
? – коэффициент турбулентной диффузии в z-направлении (z – высо-
та);
? 2? ? 2?
?? = 2 + 2 ;
?x ?y

64
f – источниковый член, зависящий в общем случае от координат и
времени, то есть f = f ( x, y, z, t ) ;

? – величина, связанная с трансформацией (поглощением) субстанции
(в общем случае ? = ? ( x, y, z, t ) ).
Обычно требуется еще условие соленоидальности поля скоростей, то
есть компоненты скорости в каждой точке области в любой момент време-
?u ?v ?w
+ + = 0.
ни должны удовлетворять уравнению неразрывности:
?x ?y ?z
Наиболее распространенными граничными условиями для уравнения
(1) являются следующие:
? = ? P – на боковой поверхности цилиндра, представляющего рас-
четную область (условие означает, что граница удалена от источника на-
столько далеко, что концентрация выбрасываемого источником полютанта
(загрязняющей атмосферу примеси) не вносит существенного вклада в фо-
новую концентрацию);
??
= ?? – в нижнем основании цилиндра ( z = 0 ) (условие «прилипа-
?z
ния» примеси; трава, деревья, городская застройка удерживают примесь
(дым, газ) в своих «порах» и сами могут служить источником загрязнения
атмосферы);
??
= 0 – в верхнем основании цилиндра ( z = H ) (на верхней границе
?z
происходит поглощение, уничтожение полютанта или самоочищение ат-
мосферы), где ? P – фоновая концентрация примеси; ? – коэффициент,
учитывающий "прилипание" примеси к поверхности Земли.
В общем случае то или иное решение уравнения (1) (по сути – распре-
деление концентраций примеси в любой момент времени) приходится на-
ходить путем численного интегрирования последнего. Однако в ряде слу-
чаев, наложив определенные ограничения на процесс распространения

65
примеси, можно получать те или иные аналитические (формульные) реше-
ния (1). Они могут использоваться для приближенных грубых оценок, для
получения тестовых решений, необходимых для настройки и верификации
численных моделей, либо для построения полуэмпирических моделей. В
последнем случае такие решения используются для описания какой-либо
из сторон или вариантов состояния моделируемой ситуации. С помощью
поправочных коэффициентов и функций такие модели «подстраиваются
под ответы», получаемые из натурных измерений.
В случае, когда для описания процесса распространения примеси ис-
пользуется двумерное уравнение
?? ?? ??
+ ?? = ??? + f
+u +v (2)
?t ?x ?y
то, несмотря на его внешнее сходство с (1), под концентрацией v сле-
дует понимать интегральную по высоте концентрацию примеси. Ее раз-
? ед. массы ? ? ед. массы ?
мерность – ? , а не традиционная ? , поэтому зна-
2? 3?
? (ед.длины) ? ? (ед.длины) ?
чение концентрации v, полученное по двумерной методике, должно быть
"размыто" по высоте слоя H, внутри которого реально и происходит про-
цесс распространения. Проще всего это сделать, разделив v на H, тем са-
мым предположив распределение равномерным.
Следует заметить, что уравнение (1) описывает процесс распростра-
нения субстанции v в среде, свойства (u,v,w,?,?,?,f) которой не зависят от
данного процесса, то есть обратное влияние примеси на характеристики
среды не учитывается. Это вполне соответствует физике упомянутого про-
цесса, поскольку объемные (массовые) концентрации примеси в среднем
незначительны. В случае распространения тяжелой примеси вместо z-
компоненты скорости w в уравнении (1) должна стоять скорость ( w ? wg ) ,

где w g – скорость оседания частиц под действием силы тяжести.


66
3.2. Двумерная стационарная аналитическая модель


3.2.1. Аналитическая модель
Рассмотрим стационарную задачу [1], когда скорости ветра u = const
и v = const . Тогда решение уравнения переноса для точечного источника
ВСВ:
?? ??
+ ? ? ? ? ?? = Q? ( r ? r0 )
+v (1)
u
?x ?y
будем искать в виде:
rr r
? u (r ? r0 ) ?
? = ? exp ? (2)
?
? 2? ?
rr
где u (r ? r0 ) = u ( x ? x0 ) + v( y ? y 0 ) , и подставляя (2) в уравнение (1) прихо-

дим к уравнению относительно ? :
rr
? ? ?? + ?? = Q?(r ? r0 ) , (3)
где
(u 2 + v 2 )
? =? + ;
4?
rr
? (r ? r0 ) – дельта-функция:
?1, если r = r0
r r
? (r ? r0 ) = ?
?0, если r ? r0
Тогда решение уравнения (3) в плоскости (x,y) дается формулой
?? ?
Q
K0 ? ?,
?= r ? r0 (4)
2?? ? ? ?
? ?
где K 0 – функция Макдональда, имеющая вид:
?
K 0 ( x) = ? exp[? x ch( y )]dy , x > 0 . (5)
0




67
С учетом (4) получаем решение уравнения (1) [1]:
rr r
? (u , r ? r0 ) ? ? ? ?
Q
K0 ? r ? r0 ? .
?= (6)
exp ? ? ?? ?
2?? 2? ??
? ?
Оценим характерные размеры области Q, при которых формула (6)
дает приближенное решение краевой задачи, где на границе области Е
концентрация примесей должна быть нулевой. Введем малую величину E
такую, что при ? ? E выполняется краевое условие на границе области.
Выбор E обусловливается фоновой концентрацией, а также тем минималь-
ным уровнем, при котором влиянием данного типа примесей можно пре-
небречь [1].
r ? r0
Полагая априори величины такими, что справедлива
асимптотическая формула
?
exp(? x)
K0 ˜ (7)
2x
rr r
и используя неравенство (u , r ? r0 ) ? u ? r ? r0 , находим
rrr
? u ? r ? r0 ? ? u ? r ? r0 ? 2??
Q
?? ? ? exp ?? ,
exp ?
r ? r0 (4?? + u + v )
?
2?? ? 2? ? 2 2
? ? ?
откуда приходим к соотношению:
Q2 1
r ? r0 ? 2 ,
E 2?? (4?? + u + v )
2 2



выполнение которого при выборе области определения решения G га-
рантирует решение краевой задачи с заданной степенью точности E.
Основные трудности, связанные с получением аналитического реше-
ния для задачи (1), обусловлены вычислением функции Макдональда (5).
Вычисление интеграла (5) на полубесконечной области представляет собой
трудную задачу. Поэтому будем аппроксимировать функцию Макдональда
полиномом, степень которого будем выбирать из условия точности ап-
проксимации. Для точности аппроксимации порядка 10-6 выбирали поли-

68
ном 12 степени. Такая высокая точность аппроксимации необходима для
тестирования численных решений. Для описания реальных ситуаций такая
точность не требуется, поскольку данная модель для этого малопригодна.
При малых значениях аргумента х использовалось асимптотическое
представление. Тогда решение задачи (1) можно представить в следующем
виде:
rrr
? u ? r ? r0 ? ˜
Q
? k1 ( x) , при x < 2 ,
?= (8a)
exp ?
2?? ? 2? ?
где
˜
k1 ( x) = ?? ln( ˜1 ) ? 0.57721566 + 0.4227842 ˜12 + 0.23069756 ˜14 +
x x x
0.0348859 ˜16 + 0.00262698 ˜18 + 0.0001075 ˜110 + 0.000074 ˜112 .
x x x x

?
Здесь ˜1 = x / 2 , где x = r ? r0 ;
x
?
? = 1 + 3.5156229 t 2 + 3.0899424 t 4 + 1.2067492 t 6 + 0.2659732 t 8 +
0.0360768 t 10 + 0.0045813 t 12 , где t = x / 3.75 .


rrr
? u ? r ? r0 ?˜
Q
? x ? k 2 ( x) , при x ? 2 .
?=? (8б)
exp ?
2 x?? ? 2? ?
Здесь
˜
k 2 ( x) = 1.25331414 ? 0.07832358 ˜2 + 0.02189568 ˜22 ? 0.01062446 ˜23 +
x x x

0.00587872 ˜24 ? 0.0025154 ˜25 + 0.000532 ˜26 ,
x x x
где ˜2 = 2 / x .
x
Точность выполнения разложения функции Макдональда проверялась
на таблицах специальных функций [2] – совпадение до шестого знака по-
сле десятичной запятой. Решения (8а-б) использовались при тестировании
численного метода решения двумерной задачи переноса (1), получено сов-
падение до шестого знака. Из проведенных сравнений следует, что реше-
ние задачи переноса (8а-б) для точечного источника единичной интенсив-

69
ности ( Q = 1 ) с точностью до 10-6 описывает процессы переноса полютан-
тов в атмосфере в рамках данной модели.
Основные недостатки аналитической модели связаны с постоянством
коэффициентов переноса (? , ? ) и скоростью ветра. При этом фоновая
концентрация выброса должна быть нулевой. В противном случае необхо-
димо задавать дополнительный эффективный источник, который мог бы
обеспечить существующую фоновую концентрацию полютантов.
Основные преимущества аналитической модели заключаются в ее
простой численной реализации, в быстроте счета. С помощью аналитиче-
ского решения можно получить фрагментарное распределение загрязняю-
щих веществ в любой заданной области, не решая краевой задачи.

3.2.2. Алгоритм численной реализации аналитической мо-
дели и результаты моделирования
Область расчетов покроем сеткой таким образом, чтобы источники
выбросов попадали в узлы сетки. Для аналитической модели это не суще-
ственно, но мы будем использовать и в численных методах туже сетку, там
это требование просто необходимо. На практике в сеточный узел помеща-
ют эффективный источник, в котором учтены все источники, находящиеся
в окрестности узла. Тогда каждый узел можно рассматривать как отдель-
ный точечный источник с заданной интенсивностью и, используя решение
(8а-б), можно получить распределение загрязняющих веществ от каждого
источника независимо от других. Решение в произвольной точке расчетной
области будет суммой вкладов в загрязнение от всех точечных источников.
Пусть xi , yi – координаты расчетной области, в которой необходимо полу-
чить решение задачи, а x L , y M – координаты источников. Тогда
N

<< Пред. стр.

страница 6
(всего 9)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign