LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 2
(всего 13)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>


Кандела равна силе света в заданном направлении источника, испускающего
монохроматическое излучение частотой Гц, энергетическая сила света которого
в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср.

. Дополнительные единицы СИ
Международная система единиц включает в себя две дополнительные единицы - для
измерения плоского и телесного углов.

Единица плоского угла - радиан (рад) - угол между двумя радиусами окружности,
дуга между которыми по длине равна радиусу. В градусном исчислении радиан равен
57°17'48".

Стерадиан (ср), принимаемый за единицу телесного угла, - телесный угол, вершина
которого расположена в центре сферы и который вырезает на поверхности сферы
площадь, равную площа-ди квадрата со стороной, по длине равной радиусу сферы.

Измеряют телесные углы путем определения плоских углов и проведения
дополнительных расчетов по формуле



где Q - телесный угол; - плоский угол при вершине конуса, образованного внутри
сферы данным телесным углом.

Телесному углу 1 ср соответствует плоский угол, равный 65°32', углу ср - плоский
угол 120°, углу ср - плоский угол 180°.

Дополнительные единицы СИ использованы для образования единиц угловой
скорости, углового ускорения и некоторых других величин. Сами по себе радиан и
стерадиан применяются в основном для теоретических построений и расчетов, так как
большинство важных для практи-ки значений углов (полный угол, прямой угол и т.д.) в
радианах выражаются трансцендентными числами ( , и т.д.).

3.4. Производные единицы СИ
Производные единицы Международной системы единиц образуются с помощью
простейших уравнений между величинами, в которых числовые коэффициенты равны
единице. Так, для линейной скорости в качестве определяющего уравнения можно
воспользоваться выражением для скорости рав-номерного прямолинейного движения
.

При длине пройденного пути (в метрах) и времени t, за которое пройден этот путь (в
секундах), скорость выражается в метрах в секунду (м/с). Поэтому единица скорости СИ -
метр в секунду - это скорость прямолинейно и равномерно движущейся точки, при
которой она за время 1 с перемещается на расстояние 1 м.

Если в определяющее уравнение входит числовой коэффициент, то для образования
производной единицы в правую часть уравнения следует подставлять такие числовые
значения исходных величин, чтобы числовое значение определяемой производной
единицы было равно единице. Например, единица кинетической энергии СИ - килограмм-
метр в квадрате на секунду в квадрате - это кинетическая энергия тела массой 2 кг,
движущегося со скоростью 1 м/с, или кинетическая энергия тела массой 1 кг,
движущегося со скоростью м/с. Эта единица имеет особое наименование - джоуль
(сокращенное обозначение Дж).

3.5. Кратные и дольные единицы
Наиболее прогрессивным способом образования кратных и дольных единиц является
принятая в метрической системе мер десятичная кратность между большими и меньшими
единицами.

В табл. 2 приводятся множители и приставки для образования десятичных кратных и
дольных единиц и их наименования.

Таблица 2
Множитель Приставка Обозначение приставки
русское международное
1018 экса Э Е
1015 пета П Р
1012 тера Т Т
109 гига Г G
106 мега М М
103 кило к k
102 гекто г h
101 дека да da
10-1 деци д d
10-2 санти с c
10-3 милли м m
10-6 микро мк
10-9 нано н n
10-12 пико п p
10-15 фемто ф f
10-18 атто а a
Следует учитывать, что при образовании кратных и дольных единиц площади и
объема с помощью приставок может возникнуть двойственность прочте-ния в зависимоти
от того, куда добавляется приставка. Так, сокращенное обозначение 1 км2 можно
трактовать и как 1 квадратный километр и как 1000 квадратных метров, что, очевидно, не
одно и то же (1 квадратный километр = 1.000.000 квадратных метров). В соответствии с
международными правилами кратные и дольные единицы площади и объема следует
образовывать, присоединяя приставки к исходным единицам. Таким образом, степени
относятся к тем единицам, которые получены в результате присоединения приставок.
Поэтому 1 км2 = 1 (км)2 = (103 м) 2 = 106 м2.

Глава 4. ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ.
СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ.
Любая ошибка, которая может вкрасться в расчет, вкрадется в него.

4.1. Основные понятия и определения
При анализе измерений следует четко разграничивать два понятия: истинные
значения физических величин и их эмпирические проявления - результаты измерений.

Истинные значения физических величин - это значения, идеальным образом
отражающие свойства данного объекта как в количественном, так и в качественном
отношении. Они не зависят от средств нашего познания и являются абсолютной истиной.

Результаты измерений, напротив, являются продуктами нашего познания.
Представляя собой приближенные оценки значений величин, найденные путем
измерения, они зависят не только от них, но еще и от метода измерения, от технических
средств, с помощью которых проводятся измерения, и от свойств органов чувств
наблюдателя, осуществляющего измерения.

Разница между результатами измерения X' и истинным значением Q измеряемой
величины называется погрешностью измерения [17]:

(1)

Но поскольку истинное значение Q измеряемой величины неизвестно, то неизвестны
и погрешности измерения, поэтому для получения хотя бы приближенных сведений о них
приходится в формулу (1) вместо истинного значения подставлять так называемое
действительное значение.

Под действительным значением физической величины мы будем понимать ее
значение, найденное экспериментально и настолько приближающееся к истинному, что
для данной цели оно может быть использовано вместо него.

Причинами возникновения погрешностей являются: несовершенство методов
измерений, технических средств, применяемых при измерениях, и органов чувств
наблюдателя. В отдельную группу следует объединить причины, связанные с влиянием
условий проведения измерений. Последние проявляются двояко. С одной стороны, все
физические величины, играющие какую-либо роль при проведении измерений, в той или
иной степени зависят друг от друга. Поэтому с изменением внешних условий изменяются
истинные значения измеряемых величин. С другой стороны, условия проведения
измерений влияют и на характеристики средств измерений и физиологические свойства
органов чувств наблюдателя и через их посредство становятся источником погрешностей
измерения.

Описанные причины возникновения погрешностей определяются совокупностью
большого числа факторов, под влиянием которых складывается суммарная погрешность
измерения - см. формулу (1). Их можно объединить в две основные группы.

1. Факторы, проявляющиеся весьма нерегулярно и столь же неожиданно исчезающие
или проявляющиеся с интенсивностью, которую трудно предвидеть. К ним относятся,
например, перекосы элементов приборов в их направляющих, нерегулярные изменения
моментов трения в опорах, малые флюктуации влияющих величин, изменения внимания
операторов и др.

Доля, или составляющая, суммарной погрешности измерения (1), определяемая
действием факторов этой группы, называется случайной погрешностью измерения. Ее
основная особенность в том, что она случайно изменяется при повторных измерениях
одной и той же величины.

При создании измерительной аппаратуры и организации про-цесса измерения в
целом интенсивность проявления большинства факторов данной группы удается свести к
общему уровню, так что все они влияют более или менее одинаково на формирование
случайной погрешности. Однако некоторые из них, например внезапное падение
напряжения в сети электропитания, могут проявиться неожиданно сильно, в результате
чего погрешность примет размеры, явно выходящие за границы, обусловленные ходом
эксперимента в целом. Такие погрешности в составе случайной погрешности называются
грубыми. К ним тесно примыкают промахи - погрешности, зависящие от наблюдателя и
связанные с неправильным обращением со средствами измерений, неверным отсчетом
показаний или ошибками при записи результатов.

2. Факторы, постоянные или закономерно изменяющиеся в процессе измерительного
эксперимента, например плавные изменения влияющих величин или погрешности
применяемых при измерениях образцовых мер. Составляющие суммарной погрешности
(1), определяемые действием факторов этой группы, называются систематическими
погрешностями измерения. Их отличительная особенность в том, что они остаются
постоянными или закономерно изменяются при повторных измерениях одной и той же
величины. До тех пор, пока систематические погрешности больше случайных, их
зачастую можно вычислить или исключить из результатов измерений надлежащей
постановкой опыта.

Таким образом, мы имеем два типа погрешностей измерения:

случайные (в том числе грубые погрешности и промахи), изменяющиеся

случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины;
систематические погрешности, остающиеся постоянными или закономерно

изменяющиеся при повторных измерениях.

В процессе измерения оба вида погрешностей проявляются одновременно, и
погрешность измерения можно представить в виде суммы:

(2)
где - случайная, а - систематическая погрешности.

Для получения результатов, минимально отличающихся от истинных значений
величин, проводят многократные наблюдения за измеряемой величиной с последующей
математической обработкой опытных данных. Поэтому наибольшее значение имеет
изучение погрешности как функции номера наблюдения, т. е. времени . Тогда
отдельные значения погрешностей можно будет трактовать как набор значений этой
функции:



В общем случае погрешность является случайной функцией времени, которая
отличается от классических функций математического анализа тем, что нельзя сказать,
какое значение она примет в момент времени t. Можно указать лишь вероятности
появления ее значений в том или ином интервале. В серии экспериментов, состоящих из
ряда многократных наблюдений, мы получаем одну реализацию этой функции. При
повторении серии при тех же значениях величин, характеризующих факторы второй
группы, неизбежно получаем новую реализацию, отличающуюся от первой.

Реализации отличаются друг от друга из-за влияния факторов первой группы, а
факторы второй группы, одинаково проявляющиеся при получении каждой реализации,
придают им некоторые общие черты (рис.1).




Погрешность измерений, соответствующая каждому моменту времени , называется
сечением случайной функции . В каждом сечении в большинстве случаев можно
найти среднее значение погрешности , относительно которого группируются
погрешности в различных реализациях. Если через полученные таким образом точки
провести плавную кривую, то она будет характеризовать общую тенденцию изменения
погрешности во времени. Нетрудно заметить, что средние значения определяются
действием факторов второй группы и представляют собой систематическую погрешность
измерения в момент времени , а отклонения от среднего в сечении ,
соответствующие -й реализации, дают нам значения случайной погрешности.
Последние являются уже представителями случайных величин - объектов изучения
классической теории вероятностей.
Предположим, что , т.е. систематические погрешности тем или иным
способом исключены из результатов наблюдений, и будем рассматривать только
случайные погрешности, средние значения которых равны нулю в каждом сечении.
Предположим далее, что случайные погрешности в различных сечениях не зависят друг от
друга, т.е. знание случайной погрешности в одном сечении как ординаты одной
реализации не дает нам никакой дополнительной информации о значении, принимаемом
этой реализацией в любом другом сечении. Тогда случайную погрешность можно
рассматривать как случайную величину, а ее значения при каждом из многократных
наблюдений одной и той же физической величины - как ее эмпирические проявления, т.е.
как результаты независимых наблюдений над ней.

В этих условиях случайная погрешность измерений определяется как разность
между исправленным результатом Х измерения и истинным значением Q измеряемой
величины:

(3)

причем исправленным будем называть результат измерений, из которого исключены
систематические погрешности.

При проведении измерений целью является оценка истинного значения измеряемой
величины, которое до опыта неизвестно. Результат измерения включает в себя помимо
истинного значения еще и случайную погрешность, следовательно, сам является
случайной величиной. В этих условиях фактическое значение случайной погрешности,
полученное при поверке, еще не характеризует точности измерений, поэтому не ясно,
какое же значение принять за окончательный результат измерения и как охарактеризовать
его точность.

Ответ на эти вопросы можно получить, используя при метрологической обработке
результатов измерения методы математической статистики, имеющей дело именно со
случайными величинами.

4.2. Описание случайных погрешностей с помощью
функций распределения
Рассмотрим результат наблюдений Х за постоянной физической величиной Q как
случайную величину, принимающую различные значения Z, в различных наблюдениях за
ней. Значения будем называть результатами отдельных наблюдений.

Наиболее универсальный способ описания случайных величин заключается в
отыскании их интегральных или дифференциальных функций распределения [1].

Под интегральной функцией распределения результатов наблю-дений понимается
зависимость вероятности того, что результат наблюдения в i-м опыте окажется
меньшим некоторого теку-щего значения х, от самой величины х:

(4)
Здесь и в дальнейшем большие буквы используются для обозначения случайных
величин, а маленькие - значений, принимаемых случайными величинами. Поскольку
функция распределения вероятности представляет собой вероятность, то она
удовлетворяет следующим свойствам:




На рис.2 показаны примеры функций распределения вероятности.




Более наглядным является описание свойств результатов наблюдений и случайных
погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой
плотностью распределения вероятностей:

(5)

Физический смысл f(x) состоит в том, что произведение f(x)dx представляет
вероятность попадания случайной величины Х в интервал от х до х + dx , т.е.

(6)

Свойства плотности распределения вероятности:



• - вероятность достоверного события равна 1;
иными словами, площадь, заключенная между кривой дифференциальной функции
распределения и осью абсцисс, равна единице;


• - вероятность попадания случайной величины в интервал
от до .

От дифференциальной функции распределения легко перейти к интегральной путем
интегрирования:


(7)
Размерность плотности распределения вероятностей, как это следует из формулы (7),
обратна размерности измеряемой величины, поскольку сама вероятность - величина
безразмерная.

Используя понятия функций распределения, легко получить выражения для
вероятностей того, что результат наблюдений Х или случайная погрешность примет при
проведении измерения некоторое значение в интервале или .

В терминах интегральной функции распределения имеем:




т.е. вероятность попадания результата наблюдений или случайной погрешности в
заданный интервал равна разности значений функции распределения на границах этого
интервала.

Заменяя в полученных формулах интегральные функции распределения на
соответствующие плотности распределения вероятностей согласно выражению (7),
получим формулы для искомой вероятности в терминах дифференциальной функции
распределения:


(8)



(9)


Таким образом, вероятность попадания результата наблюдения или случайной
погрешности в заданный полуоткрытый интервал равна площади, ограниченной кривой
распределения, осью абсцисс и перпендикулярами к ней на границах этого интервала.
Необходимо отметить, что результаты наблюдений в значительной степени
сконцентрированы вокруг истинного значения измеряемой величины и по мере
приближения к нему элементы вероятности их появления возрастают. Это дает основание
принять за оценку истинного значения измеряемой величины координату центра тяжести
фигуры, образованной осью абсцисс и кривой распределения, и называемую
математическим ожиданием результатов наблюдений:


(10)


В заключение можно дать более строгое определение постоян-ной систематической и
случайной погрешностей.

Систематической постоянной погрешностью называется отклонение
математического ожидания результатов наблюдений от истинного значения измеряемой
величины:
(11)


а случайной погрешностью - разность между результатом единичного наблюдения и
математическим ожиданием результатов

(12)


В этих обозначениях истинное значение измеряемой величины составляет

(13)
.

4.3. Моменты случайных погрешностей
Функция распределения является самым универсальным способом описания
поведения случайных погрешностей. Однако для определения функций распределения
необходимо проведение весьма кропотливых научных исследований и обширных
вычислительных работ. Поэтому к такому способу описания случайных погрешностей
прибегают иногда при исследовании принципиально новых мер и измерительных
приборов.

Значительно чаще бывает достаточно охарактеризовать случайные погрешности с
помощью ограниченного числа специальных величин, называемых моментами [3].

Начальным моментом n-го порядка результатов наблюдений называется интеграл
вида


(14)



представляющий собой математическое ожидание степени .

При n=1


(15)


т.е. первый начальный момент совпадает с математическим ожиданием результатов

<< Пред. стр.

страница 2
(всего 13)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign