LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 5
(всего 15)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

1
1

2 1 -5 1
-1 -6
4 -1
1
0 0.5
-0.5
ХЗ
Х2 Х5
7)
2 -4
2
2 1 -4
1 1 -2

#ЧИСЛО!
#ЧИСЛО! #/ЧИСЛО!
#ЧИСЛО! #ЧИСЛО!
#ЧИСЛО'


34
Окончание
4
1 2 3 5 6
#ЧИСЛО!
#ЧИСЛО' #ЧИСЛО!
опреде лшель = 0
Х4 Х5
хз
8)
22 -4
2
16 -4
1
12 -2
1

-1
4 -6 -1
0 1
-0.5 0.5
-0.5 2.5
-1 -0.5
Х4 Х5
Х2
9)
22 -4
2
16 -4
2
12 -2
1

#ЧИСЛО! #ЧИСЛО!
#ЧИСЛО!
#ЧИСЛО< #ЧИСЛО!
#ЧИСЛО!
#ЧИСЛО! #ЧИСЛО!
#ЧИСЛО!
определитель = 0
Ю) XI ХЗ Х5
2
1 -Л
1
1 -4
1
1 -2

0 2
-1 1
-1 0
1 2
-0.5 0.5
0 -1.5



1.4. ЭКОНОМИКО-МА ТЕМА ТИЧЕСКАЯМОДЕЛЬ
МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА (МОДЕЛЬ «ЗАТРАТЫ-ВЫПУСК»)

Эффективное функционирование экономики предполагает наличие
баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль при этом высту­
пает двояко: с одной стороны, как производитель некоторой продукции,
а с другой - как потребитель продуктов, вырабатываемых другими от­
раслями. Для наглядного выражения взаимной связи между отраслями
используют таблицы определенного вида, которые называют таблицами
межотраслевого баланса. Впервые таблица межотраслевого баланса бы­
ла опубликована в 1926 г. в России. Однако вполне развитая математи­
ческая модель межотраслевого баланса (МОБ), допускающая широкие

35
возможности анализа и прогноза, появилась позже (1936) в трудах аме­
риканского экономиста В. Леонтьева1.
Мы рассмотрим наиболее простой вариант модели межотраслевого ба­
ланса (модель Леонтьева, или модель «затраты-выпуск»).
Алгебраическая теория анализа «затраты-выпуск» сводится к сис­
теме линейных уравнений, в которых параметрами являются коэффици­
енты затрат на производство продукции.
Пусть весь производственный сектор народного хозяйства разбит
на п чистых отраслей. Чистая отрасль (это условное понятие) - некото­
рая часть народного хозяйства, более или менее цельная (например,
энергетика, машиностроение, сельское хозяйство и т.п.).
Пусть хц - количество продукции /-Й отрасли, расходуемое в j-vt от­
расли; X, - объем производства /-й отрасли за данный промежуток вре­
мени, так называемый валовой выпуск продукции i; у, - объем потребле­
ния продукции /-Й отрасли в непроизводственной сфере, объем конечно­
го потребления; Z, - условно чистая продукция, которая включает опла­
ту труда, чистый доход и амортизацию.
Единицы измерения всех указанных величин могут быть или нату­
ральными (кубометры, тонны, штуки и т.п.), или стоимостными. В зави­
симости от этого различают натуральный и стоимостной межотраслевые
балансы. Мы будем рассматривать стоимостной баланс.
В табл. 1.4.1 отражена принципиальная схема межотраслевого ба­
ланса в стоимостном выражении.
Во-первых, рассматривая схему баланса по столбцам, можно сде­
лать очевидный вывод, что итог материальных затрат любой потреб­
ляющей отрасли и ее условно чистой продукции равен валовой продук­
ции этой отрасли. Данный вывод можно записать в виде соотношения:

Xj=tx,j+Zn ; = 1,2,...,и. (1.4.1)


Напомним, чго величина условно чистой продукции Z; равна сумме
амортизации, оплаты труда и чистого дохода j-й отрасли. Соотношение

1
В Леонтьев (1906 - 1999) эмигрировал в США Hi СССР в 1925 i В 1936 г.
ем_\ была присуждена Нобелевская премия за работы в обмети экономики

36
(1.4 1) охватывает систему из л уравнений, отражающих стоимостной
состав продукции всех отраслей материальной сферы.
Во-вторых, рассматривая схему МОБ по строкам для каждой про­
изводящей отрасли, можно видеть, что валовая продукция той или иной
отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию
отраслей и конечной продукции данной отрасли:


*, = ! > ! , + Я , 1 = 1,2,.. ,и. (1.4.2)
7=1


Формула (1.4.2) описывает систему из п уравнений, которые назы­
ваются уравнениями распределения продукции отраслей материального
производства по направлениям использования.
Т а б л и ц а 1.4.1
Потребляющие отрасли Конечный Валовой
Производящие
2
1 п проду кт продукт
отрасти
1 Хп X,
Хи, м
Хи
х2
2 Хц Хъ, >2
Х?2
х„
/V Х,л
Х„2
Усчовно чистая
z2 Z,
Z,
продукция 11 ,«|

Вшювой
х2 х„
X,
продукт 1 ,=!

Балансовый характер таблицы выражается в том, что
п п
!*. = !*,.
1=1 7=1
п п

,=1 у=1

Основу экономико-математической модели МОБ составляет матри­
ца коэффициентов прямых затрат А - (а„).
Коэффициент прямых материальных затрат ац показывает, какое
количество продукции i'-й отрасли необходимо, если учитывать только
прямые затраты, для производства единицы продукции j-й отрасли-
a^Xg/Xj, /,/ = 1,2,..„и. (1.4.3)

37
Для дальнейшего рассмотрения модели Леонтьева сделаем два
важных предположения.
Первое состоит в том, что сложившуюся технологию производства
считаем неизменной. Таким образом, матрица Л = (а,,) постоянна.
Второе состоит в постулировании свойства линейности сущест­
вующих технологий, т.е. для выпуска у'-й отраслью любого объема про­
дукции X, необходимо затратить продукцию отрасли / в количестве ац Х/у
т.е. материальные издержки пропорциональны объему производимой
продукции:

xv=arXj. (1.4.4)

Подставляя (1.4.4) в балансовое соотношение (1.4.2), получаем



7=1
или в матричной форме
X = AX + Y. (1.4.6)

С помощью этой модели можно выполнять три вида плановых расчетов.
• Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (X,),
можно определить объемы конечной продукции каждой отрасли (У,):

Y = (E-A)X. (1.4.7)

• Задав величины конечной продукции всех отраслей (К,), можно оп­
ределить величины валовой продукции каждой отрасли (X,):

X = (E-Afl-Y. (1.4.8)

• Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех
остальных - объемы конечной продукции, можно найти величины конечной
продукции первых отраслей и объемы валовой прод}Кции вторых.
В формулах (1.4.7) и (1.4.8) Е обозначает единичную матрицу /;-го по­
рядка, а (Е - А) обозначает матрицу, обратную матрице (? - А). Если опре-

38
делитель матрицы (Е-А) не равен нулю, т.е. эта матрица невырожденная, то
обратная к ней матрица существует. Обозначим эту обратную матрицу через
В -{Е- А)˜ , тогда систему уравнений в матричной форме (1.4.8) можно за­
писать в виде X = BY.
Элементы матрицы В называются коэффициентами полных мате­
риальных затрат. Они показывают, сколько всего нужно произвести
продукции /-й отрасли для выпуска в сферу конечного использования
единицы продукцииу'-й отрасли.
Плановые расчеты по модели Леонтьева можно выполнять, если
выполняется условие продуктивности.
Будем называть неотрицательную матрицу А продуктивной, если
существует такой неотрицательный вектор Х> 0, что

Х>АХ. (1.4.9)

Очевидно, что условие (1.4.9) означает существование положитель­
ного вектора конечной продукции Y > О для модели межотраслевого ба­
ланса (1.4.6).
Для того, чтобы матрица коэффициентов прямых материальных за­
трат А была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы выполня­
лось одно из перечисленных ниже условий:
1. Матрица (Е - А) неотрицательно обратима, т.е. существует об­
ратная матрица (Е - Л)" > 0;
2. Матричный ряд Е + А + А +А + ...= "? А сходится, причем
t=o
его сумма равна обратной матрице (Е - А)' ;
3. Все главные миноры матрицы (Е-А), т.е. определители матриц,
образованные элементами первых строк и первых столбцов этой матри­
цы порядка от 1 до п, положительны.
Более простым, но только достаточным признаком продуктивности
матрицы А является ограничение на величину ее нормы, т.е. на величину
наибольшей из сумм элементов матрицы А в каждом столбце. Если норма
матрицы А строго меньше единицы, то эта матрица продуктивна; повто­
рим, что данное условие является только достаточным, и матрица Л может
оказаться продуктивной и в случае, когда ее норма больше единицы.

39
Пример 1.4.1. Даны коэффициенты прямых затрат ац и конечный
продукт Y, для трехотраслевой экономической системы:

Г200^
(03 0 1 0.4^
.
100
0.2 0 5 0.0 ,
. У=
UooJ
(О.З 0 1 0 2 j
. .


Требуется определить:
1. Коэффициенты полных затрат.
2. Вектор валового выпуска.
3. Межотраслевые поставки продукции.
4. Проверить продуктивность матрицы А.
5. Заполнить схему межотраслевого баланса.
Для решения задачи воспользуемся функциями EXCEL.
Т а б л и ц а 1.4.2
в D Е F G
А С
1
01
. 04
.
03
.
2
А 02
. 05
. 0
3
03
. 01 02
.
4
5
6 07
. -0.1 -0.4
7 05 0
Е-А -0.2
08
.
8 -0.1
-0.3
9 1)
10 200
1.0204
2.0408 0.6122
Y 100
11 В 2.2448 0.4081
0.8163
12 300
0.5102 1.6836
0.8673
13
14 2)
15 775.5102
16 X 510.2041
17 729.5918
18
19 3)
20 291.8367
51.02041
232.6531
21 0
155.102 255.102
Х(Ц)
145.9183
| 22 51.02041
232.6531

40
В табл. 1.4.2 приведены результаты решения задачи по первым трем
пунктам.
1. В ячейки B6:D8 запишем элементы матрицы Е- А. Массив Е - А
задан как диапазон ячеек. Выделим диапазон B10:D12 для размещения
обратной матрицы В = (Е - А)" и введем формулу для вычислений
MOBP(B6:D8). Затем следует нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.
Все элементы матрицы коэффициентов полных затрат В неотрицатель­
ны, следовательно, матрица Л продуктивна (ответ на п. 1 и 4).
2. В ячейки G10:G12 запишем элементы вектора конечного про­
дукта Y. Выделим диапазон В15-.В17 для размещения вектора валового
выпуска X, вычисляемого по формуле X = (Е - А)" • Y. Затем вводим
формулу для вычислений MYMHO}K(B10:D12,G10:G12). Затем следует
нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.
3. Межотраслевые поставки Хц вычисляем по формуле хц = ач • Хг
4. Заполняем схему МОБ (табл. 1.4.3).
Т а б л и ц а 1.4.3
Производящие Потребляющие отрасли Конечный Валовой
отрасли 1 2 3 продукт продукт
51.0 200
1 232.6 291.8 775.3
255 0 100
2 155.1 0.0 510 1
51.1 300
3 232.6 145.9 729.6
153.1 291.9 600
Условно чистая 155 0
продукция
510.1 729.6
Валовой 775.3 2015
продукт
ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ
ПОИСКА РЕШЕНИЙ В СРЕДЕ EXCEL


2.1. ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ.
ПРИМЕРЫ ЗАДА Ч ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ


В экономике оптимизационные задачи возникают в связи с много­
численностью возможных вариантов функционирования конкретного
экономического объекта, когда возникает ситуация выбора варианта,
наилучшего по некоторому правилу, критерию, характеризуемому соот­
ветствующей целевой функцией (например, иметь минимум затрат, мак­
симум продукции).
Рассмотрим несколько примеров задач линейного программирова­
ния (ЗЛП).

Задача о размещении средств1

Пусть собственные средства банка вместе с депозитами в сумме со­
ставляют 100 млн долл. Часть этих средств, но не менее 35 млн долл.,
должна быть размещена в кредитах. Кредиты являются неликвидными
активами банка, так как в случае непредвиденной потребности в налич­
ности обратить кредиты в деньги без существенных потерь невозможно.
Другое дело ценные бумаги, особенно государственные. Их можно
в любой момент продагь, получив некоторую прибыль или, во всяком
случае, без большого убытка. Поэтому существует правило, согласно
которому коммерческие банки должны покупать в определенной про­
порции ликвидные активы - ценные бумаги, чтобы компенсировать не­

<< Пред. стр.

страница 5
(всего 15)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign