LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 3
(всего 15)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

12 -3 4 1
38 4 -3 9
4
5
с
б -681
7
Рис. 1.2.2. Определитель \А\\ = - 68.

Аналогично вычисляем определители |^2|>|^з|>|^4|:

|Л2| = -136, |Л3| = -204, \А4\ = -272.

Решение системы имеет вид:

•136 „ -204 „ -272 „
-68 ,
- = 2; хз = —— = У, А'4 = = 4.
68 -68
-68

Решение системы уравнений с помощью обратной матрицы

С помощью обратной матрицы решаются системы п линейных
уравнений с п неизвестными, определитель которых отличен от нуля.
и
Для этого систему линейных уравнений Ха!/Ху =^> > ' = Ь--ч и запишем

в виде матричного уравнения АХ = В, где Л = (а,,) - квадратная матрица
порядка п, составленная из коэффициентов при неизвестных. Решение
матричного уравнения имеет вид: X = А˜]В.
Пример 1.2.2. Решить систему линейных уравнений матричным
методом.
ЗХ,-Х 2 =1,
2Х, + Х 2 -ЗХ 3 = -5,
X,+ 2Х2 + Х3 =8.
19
Решение. Представим данную систему в виде матричного уравнения:
'3 -1 0 УхЛ ГИ
-5
21 *2
U2
я {=МОБР(А2С4)}
Е2




2 1 -019231 0115385 0.346154
1 2 0115385 -0.26923 0192308


Рис. 1.2.3. Шаг 1 Вычислим матрицу, обратную для матрицы А

I {=МУМНОЖ(Е2 G4.I214)}
К
G
D





0.269 0.038 0.115 1
-0.19 0.115 0.346 -5
0.115 -0.27 0.192 8


Рис. 1.2.4. Шаг 2 Найдем неизвестн>ю матрицу X - Л '-В
Откуда получаем решение системы:Х\ = \,Хг = 2,Хг = Ъ.

1.3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
МЕТОДОМ ЖОРДАНА-ГА УССА

Рассмотрим систему т линейных уравнений с п неизвестными:
й\\Х\ +ai2*2 + ... +а\пхп ˜Ь\,
а
п*\ +ацХ2 + ••• +alnxn =b2,
(1.3.1)

ат\хх +а,„2Х2 + ... +anwxn =bm.


20
Решением системы линейных уравнений называется совокупность п
чисел а ь а2, ..., а„, таких, что при подстановке их вместо неизвестных
каждое уравнение обращается в тождество.
Система линейных уравнений называется совместной, если сущест­
вует хотя бы одно ее решение. Система, не имеющая ни одного решения,
называется несовместной.
Совместные системы подразделяются на определенные, имеющие
единственное решение, и неопределенные, имеющие бесконечное мно­
жество решений.
Каждой системе линейных уравнений поставим в соответствие мат­
рицу А из коэффициентов и расширенную матрицу А, полученную при­
соединением к матрицей столбца свободных членов:
м
а .. а[п
а а а
\\
\2 \п \2
а
а .. а1п
а
ь
п
а a-ii
А = г\
1п
2\
А=
\апА а а а
Ь„и
пй пА пй " пт

Вопрос о совместности системы линейных уравнений решается
теоремой Кронекера-Капелли: система линейных уравнений совместна
тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы А равен рангу
матрицы А, т.е. когда г(А) = г (А).
На основании теоремы Кронекера-Капелли имеем:
1. Если г( А) Ф г (А), то система несовместна.
2. Если г( А) = г (А), то система совместна.
В этом случае г уравнений системы линейно независимы, осталь­
ные т - г уравнений являются их линейной комбинацией. Поэтому в
системе оставляем лишь г уравнений, коэффициенты при неизвестных
которых составляют базисный минор.
В результате получим г линейных уравнений с г неизвестными.
Если г = п, то система имеет единственное решение.
Если г < и, то система имеет бесконечное множество решений, т.е.
является неопределенной. Число свободных переменных равно п-г.
Метод ЖорданаТаусса применяется для решения системы т ли­
нейных уравнений с п неизвестными вида:

Х а у*у =ЬГ т.


21
Над строками расширенной матрицы А осуществляем следующие
преобразования:
• перестановка любых двух уравнений;
• умножение обеих частей одного из уравнений на любое отлич­
ное от нуля число;
• прибавление к обеим частям одного уравнения соответствую­
щих частей другого, умноженных на любое число, отличное от нуля;
• вычеркивание нулевой строки (уравнения с нулевыми коэффи­
циентами и свободным членом, равным 0).
Можно показать, что элементарные преобразования переводят дан­
ную систему уравнений в эквивалентную систему. Две системы линей­
ных уравнений называются эквивалентными, или равносильными, если
каждое решение первой системы (если они существуют) является реше­
нием второй, и наоборот. Соответствующие расширенные матрицы так­
же называются эквивалентными.
При практическом решении системы линейных уравнений методом
Жордана-Гаусса последовательно над строками матрицы А выполняют
элементарные преобразования, так что некоторое неизвестное исключа­
ется из всех уравнений, кроме одного, т.е. в составе расширенной мат­
рицы формируется единичная матрица.
В процессе решения могут встретиться следующие случаи.
1. Будет получена матрица А, эквивалентная матрице А, в левой
части некоторой строки ее стоят нули, а в правой — число, отличное от
нуля, что соответствует уравнению:

О • Хх + 0 • Хг + ... + 0 • Хп = Ь, ф,*0).

Это признак несовместности системы (1.3.1), т.е. система не имеет
решений.
2. В результате преобразований получилась матрица вида:

<\ 0 ... 0
0 1 ... 0
А=
0 0 ... 1

22
В этом случае система (1.3.1) - совместная, определенная и имеет
единственное решение: Х\ = Ь\, Х2 = Ь2, ..., Х„ = bh.
3. На некотором этапе получилась расширенная матрица вида

f
О а,';+1 ... а[„ Ц>
\ О
0 a^+i ... a'ln bi
О1
А=
[О О 1 а'п+\ ... а'1П о, t



Система совместна и имеет бесчисленное множество решений.
Общее решение системы можно записать в виде:

х\ = Ъ{ -a[ r+ \ xr+\ - ... -а[„х„,
х2 =b{ -a2r+ixr+i - ... -а'2пхп,


xr — br arr+\ х1+\ ... агпхп.
Придавая каждой из стоящих в правых частях равенств переменных
Xr+i, Хг+2, ..., Х„ произвольные значения, будем получать частные реше­
ния системы.
Неизвестные Х\, Х2, ..., X, называются базисными, или основными,
они соответствуют линейно-независимым векторам^, ...,АГ.
Таким образом, любые г переменных называются базисными (ос­
новными), если определитель матрицы коэффициентов при них отличен
от нуля, а остальные (и - г) переменных называются свободными, или
неосновными. Базисным решением системы уравнений называется част­
ное решение, в котором неосновные переменные имеют нулевые значе­
ния. Каждому разбиению на основные и неосновные переменные соот­
ветствует одно базисное решение, а количество способов разбиения не
превышает величины



/и! (и — /и)!

Если все компоненты базисного решения неотрицательны, то такое
решение называется опорным.
23
Пример 1.3.1. Решить методом Жордана-Гаусса систему линейных
уравнений:
Xi+X2 + 2X3 = -l,
2Х\-Х2 + 2Хт, = -4,
АХх+Х2 + АХъ = -2.

Решение. Составим расширенную матрицу

(1 1 2
л (0) = 2 -1 2 -4
И 1 4 -2


/ Итерация.
В качестве направляющего элемента выбираем элемент а\^ - 1. Пре­
образуем первый столбец в единичный. Для этого ко второй и третьей стро­
кам прибавляем первую строку, соответственно умноженную на - 2 и - 4.
Получим матрицу:

(1 1
«0> О - 3 - 2 •2
v0 -3-4

2 Итерация.
Выбираем направляющий элемент а^ = - 3 . Так как а\{ * 1 , то де­
лим вторую строку на -3. Затем умножаем вторую строку на 1 и 3 и скла­
дываем соответственно с первой и третьей строками. Получим матрицу:
4/3 -5/3 N
1 0
7(2) _ 0 1 2/3 2/3
0 0 -2 4,

3 Итерация
Выбираем направляющий элемент а^ 2. Так как a\J * 1, то
делим третью строку на -2. Преобразуем третий столбец в единичный
Для этого умножаем третью строку на - 4/3 и -2/3 и складываем соот­
ветственно с первой и второй строками. Получим матрицу:

24
Г1
l 0 0
7(3) _ 1
0 0
1
0 0
откуда Xi = \,X2 = 2,X^--2.

Пример 1.3.2. Решить методом Жордана-Гаусса систему линейных
уравнений:
ХХ-Х2 + ХЪ-ХА = А,
Jti + A"2 + 2 Г + 3Ar4 = 8,
Дз
2ЛГ, + АХ2 + 5Хг + 1QA4 = 20,
2ЛГ, -4А'2 + Х 3 -6Х, = 4.
Решение. Расширенная матрица имеет вид:
-1 4 ^
1 -1
8
1 1 3
л<°> = 10 20
2 4
-6 4
2 -4
Применяя элементарные преобразования, получим:
-1 4
1
1 -1
4 4
f(D- 0 2
12 12
0 6
-4 - 4 ,
0 -2

0^
-3
4
2 4
7(2)
О
О о 0
О
О о О
Исходная система эквивалентна следующей системе уравнений:
Хх-ЪХг - ХА = 0,
2 ^ + ^ + 4^4 = 4.

Общее решение имеет вид:
Л | = Зл? + 5А4 ,
Хъ = А-2Хг- 4Х4.

25
Найдем базисные решения. Для этого полагаем Хг = О, Х4 - 0, тогда
X] = 0, Хт, = 4. Базисное решение имеет вид: (0, 0,4, 0).
Получим другое базисное решение. Для этого в качестве свободных
неизвестных примем Хт, и * 4 . Выразим неизвестные Х\ и Х2 через неиз­
вестные * 3 и Х4:
Х\ = 6 — 1.5*2 — -*4>
*2 = 2-0.5*з-2*4.
Тогда базисное решение примет вид: (6, 2, 0, 0).

Пример 1.3.3. Решить методом Жордана-Гаусса систему линейных
уравнений:

*, + 2Х2 + 2*, + 22*4 - 4* 5 = 11,
X, + 2Х2+Х3 + 16*4-4*5 = 9,
* , + * 2 + * з + 12Х4-2*5 = 6.

Решение. Составим расширенную матрицу

22 - 4 lO
2
(0)
л= 16 - 4 9
2
12 - 2 6
1

1 Итерация
В качестве направляющего элемента выбираем элемент а\\' = 1. Пре­
образуем первый столбец в единичный. Для этого ко второй и третьей стро­
кам прибавляем первую строку, умноженную на - 1 . Получим матрицу:

2 2 22 -4 11 ^
'1
ГО). 0 -1 -6
0 0 -2
,о -1 -1 -10 2 -5 ,

2 Итерация
Выбираем направляющий элемент a j 2 = - l . Умножаем третью
строк> на - 1 . Преобразуем второй столбец в единичный. Для этого к
26
первой строке прибавляем третью строку, умноженную на -2. Получим
матрицу:
f
\ 0 0 2 О О
2(2) О 0-1-6 0-2
^0 1 -1 -10 2 -5

3 Итерация
Выбираем направляющий элемент а[2 - - 1 . Так как а$Ф\, то
умножаем вторую строку на - 1 . Преобразуем третий столбец в единич­
ный. Для этого вторую строку складываем с третьей. Получим матрицу:

'1 0 0 2 0 1
А^ = 0 0 16 0 2
1 0 4-23

Исходная система эквивалентна следующей системе уравнений:

Лл +2*4=1,
Xi + 6Х4 = 2,
Х2 + 4Х4 - 2Х5 = 3.

Общее решение имеет вид:

Xi = 1-2Д4,
Хг = 3 - 4Х4 + 2Х5,
Х3 = 2- 6Х4.

Переменные Хи Х2, Хт, являются основными (или базисными). Лю­
бое частное решение получается из общего путем придания конкретных
значений свободным переменным. Если свободные переменные Х4 и А'5
положить равными нулю, то получим первое базисное решение Х\ = 1,
ЛГ2 = 3,А,1 = 2,Л4 = 0,Я'5 = 0.

Первое базисное решение имеет вид: (1, 3, 2, 0, 0).

27
Общее число групп основных переменных, т.е. базисных решений,
и! 5!
и! _ 5! _1-2 3 4 5
1-2 3 4 5
к гЧ
не более чем Cj = —
да!(и-/и)!˜3!(5-3)!˜1-2 . 3 1 2 =10.
= т——— =


Решение примера 1.3.3 в EXCEL

В среде EXCEL общее число групп можно определить с помощью

<< Пред. стр.

страница 3
(всего 15)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign