LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 2
(всего 15)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>


«11 «12 •• а\п
я"
•• а1п
«21 а„) а
«22
= У (_1)"а1-а2
Ш= \ща2аг *••••><*№„•>


««1 «п2 • •• «™,

где суммирование распространяется на всевозможные перестановки
(Х|,а;>,...,ос„ из и чисел.
10
Вычисление определителей л-го порядка производится на основа­
нии свойств определителей и следующей теоремы: определитель равен
сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраи­
ческие дополнения:

+a
i2Ai2+--- + amA,n-
H = a,i4l

Алгебраическое дополнение А,, элемента ац равно: А,, = (-/)'+/М,;,
где М,, - минор элемента ац.


Вычисление определителя матриц
с помощью функции EXCEL МОПРЕД

МОПРЕД
Возвращает определитель матрицы (матрица хранится в массиве).
Синтаксис
МОПРЕД (массив)
Массив - это числовой массив с равным количеством строк и
столбцов.
• Массив может быть задан как интервал ячеек, например, А1:СЗ
или как массив констант, например, {1;2;3 : 4;5,6 : 7;8;9), или
как имя, называющее интервал или массив.
• Если какая-либо ячейка в массиве пуста или содержит текст, то
функция МОПРЕД возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.
• МОПРЕД также возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!, если
массив имеет неравное количество строк и столбцов.
Замечания
• Определитель матрицы - это число, вычисляемое на основе зна­
чений элементов массива. Для массива А1:СЗ, состоящего из
трех строк и трех столбцов, определитель вычисляется следую­
щим образом.
МОПРЕД(А1 СЗ) равняется
А1-(В2-СЗ-В$С2) + А2-(ВЗ-С\ -В1СЗ) + A3 (В\ С2-В2С1).
• Определители матриц обычно используются при решении сис­
тем уравнений с несколькими неизвестными.
(1
Пример 1.1.3. Вычисление определителя матрицы из примера 1.1.1
ДСУЕД J X -J
Н i 1
А В С
4 6



В"
п.| нед.^-но М':поиь'.сваБШчхсд
Полный алфавитный перечень
Финансовые
Дата и время
Математические
Статистические
Ссылки и массивы
Работа с базой данных
Текстовые


МОПРЕД(массив)


Возвращает аределитеяь матрицы (гчатрица хранится Ь м<




©3
Рис. 1.1.6. Первый шаг выполнения ф>нкции МОПРЕД


.М0ПРЕД x
..d ^= "МОШ'ЕДА1-В:)
А В С D
4 б А1В2)
7 8

гМОПРСД-

*.|
7.
ве).
Возвращает определитель матрицы (матрица >ранится Е маеси


Массив числовой пассив с равным очичествс-мстро! истопи юв, диапазон
II
ячеек или массив.
i:


Ж1 С с* Отмена 1
WJ Z-начение 10




Рис. 1.1.7. Второй шаг- интервал ячеек задан следхет нажать кнопку ОК

12
Dl" jj =] =М0ПРЕДг'А1 B2)
- с D E
A LВ ^j.
4 6
I -10 1
7 8 i
2
!
4!
Рис. 1.1.8. В ячейке Dl появился рез>льтат вычислений

Примеры
МОПРЕД({1;3;8;5: 1;3;6;1 : 1;1;1;0 : 7;3;10;2}) равняется 88.
МОПРЕД({3,6;1 : 1,1;0 * 3;10;2}) равняется 1.
МОПРЕД({3,6 : 1;1}) равняется-3.
МОПРЕД({1;3,8;5 : 1;3;6;1}) равняется #ЗНАЧ!, так как массив
имеет неравное количество строк и столбцов.


Вычисление обратной матрицы

Onpedeiemie. Квадратная матрица Л-1 порядка п называется обрат­
ной матрице А, если она удовлетворяет соотношению:

А˜х А=АА˜Х = Е

Квадратная матрица А порядка п называется невырожденной (не­
особенной), если ее определитель отличен от нуля. В противном случае
матрица/} называется особенной (вырожденной).
Для всякой невырожденной матрицы А = (аи)тп существует единст­
венная обратная матрица, равная


Л = А А*.
\А\
где А * - присоединенная матрица, каждый элемент которой есть алгеб­
раическое дополнение элемента а,, матрицы А, т е.


13
Mi л2] АЛ
А* = Аг Аг Ал
кАп An ••• "пп /

Пример 1.1.4. Вычислить обратную матрицу для матрицы А
'4 6"
Л= 7
Решение. Вычислим определитель матрицы (пример 1.1.3): \А I =
= - 1 0 ^ 0 . Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно, для
матрицы А существует единственная обратная матрица. Вычислим присое­
диненную матрицу Л*:
А|, = 8, А\2 = - 6, А2г = 4, Аг\ - -7,

8 -6
/
0.6 N
-10 -10 -0.8
-6 8 -6
1
;А˜ =
v 0.7 -0.4,
-10 - 7 4J
-7 -7 4
V—10 -10

Проверкой убеждаемся, ЧТОЛ-УГ1 = Е.
Обратную матрицу можно вычислить на основании следующих
элементарных преобразований (преобразований Жордана-Гаусса) над
строками матрицы:
1) перемена местами двух строк,
2) умножение строки матрицы на любое число, отличное от нуля,
3) прибавление к одной строке матрицы другой строки, умножен­
ной на любое число.
Для того, чтобы вычислить обратную матрицу для матрицы А, не­
обходимо составить матрицу В = (А I Е), затем с помощью элементарных
преобразований преобразовать матрицу А к виду единичной матрицы Е,
тогда на месте единичной матрицы получим матрицу/Г .
Пример 1.1.5. Вычислить обратную матрицу для матрицы А
fl 3 41
-1 0 0
Л=
2 6 \2)

14
Решение. Составим матрицу Вт вида:
(
\ 34 О
(01
О
В 0 1
1
12 О
Элемент b\^ и первую строку, содержащую данный элемент,
назовем направляющими. Осуществим элементарные преобразования, в
результате которых первый столбец преобразуется в единичный с еди­
ницей в первой строке. Для этого ко второй и третьей строкам прибавим
первую строку, соответственно умноженную на 1 и -2. В результате
данных преобразований получим матрицу:
(
\ 34 1 о
(I)
о
Z? = 0 9 12
0 0 4-2 0 1
В матрице Z?u>' . преобразуем второй столбец в единичный. В качест­
>0

ве направляющего элемента выберем элемент bj} - 9. Так как направ­
ляющий элемент Ь$ Ф 1, то разделим вторую (направляющую) строку
на 9. Затем к первой строке прибавим вторую, умноженную на-3. Полу­
чим матрицу
-1/3
2/3
о
(2)
1/9
о 1/9
В 4/3
0
о -2
4
Третий столбец матрицы В преобразуем в единичный. В качестве
направляющего элемента выбираем элемент ^ з = ^ • Д е л и м направ­
ляющую (третью) строку на 4 и ко второй строке прибавляем третью,
умноженную на -4. Получим матрицу
2/3 -1/3
0 0 о\
В0 ) _ 7/9 1/9 -1/3
1 0
2 0
0 1 1/4 J
откуда
' 2 / 3 -1/3 о^
= 7/9 1/9 -1/3
1/4 J
0
V 1/2
"

15
Вычисление обратной матрицы
с помощью функции EXCEL МОБР

МОБР
Возвращает обратную матрицу для матрицы, хранящейся в массиве.
Синтаксис
МОБР(массив)
• Массив может быть задан как диапазон ячеек, например А1:СЗ;
как массив констант, например {1;2;3 : 4;5;6 : 7;8;9} или как имя
диапазона или массива.
• Если какая-либо из ячеек в массиве пуста или содержит текст, то
функция МОБР возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.
• МОБР также возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!, если массив
имеет неравное число строк и столбцов.
Замечания
• Формулы, которые возвращают массивы, должны быть введены
как формулы массива.
• Обратные матрицы, как и определители, обычно используются
для решения систем уравнений с несколькими неизвестными.
Произведение матрицы на ее обратную - это единичная матри­
ца, т.е. квадратный массив, у которого диагональные элементы
равны 1. а все остальные элементы равны 0.
• В качестве примера того, как вычисляется обратная матрица,
рассмотрим массив из двух строк и двух столбцов А1:В2, кото­
рый содержит буквы а, Ь, с и d, представляющие любые четыре
числа. В следующей таблице приведена обратная матрица для
А1:В2:
Столбец В
Столбец А
Строка 1 d/(a • d-b • с) Ы(Ь с-ad)
Строка 2 cl{b • с - а • d) alia -d-b с)
• МОБР производит вычисления с точностью до 16 значащих
цифр, что может привести к небольшим численным ошибкам
округления.
• Некоторые квадратные матрицы не могут быть обращены, в та­
ких случаях ф>нкция МОБР возвращает значение ошибки
#ЧИСЛО!. Определитель такой матрицы равен 0.

16
Решение примера 1.1.4 в EXCEL

МОПРЕД _jj X s/ = =мо6р(А2ВЗ)
с
А 1 В , F
D Е
i


4 6 =мобр(А2.ВЗ)
2
7 8
3
4
Рис. 1.1.9. Массив задан как диапазон ячеек А2:ВЗ, выделен диапазон для размеще­
ния обратной матрицы, введена формула для вычислений. Затем следует нажать кла­
виши CTRL+SHIFT+ENTER.
• _ \ _•::•




D2 _Ч[ =|{=МОБР(А2:ВЗ)}
!
в
i
F
А D Е
С
i—


6
4 -0.8|
2
L
1. 8 0.7! -0.41
3





4 •1
1 *•

J ,>
Рис. 1.1.10. Результат вычислений в ячейках D2:E3.

Примеры
МОБР({4;-1 : 2;0}) равняется {0;0,5 : -1;2)
МОБР({1;2;1 : 3;4;-1 : 0;2;0}) равняется
{0,25;0,25;-0,75 : 0;0;0,5 : 0,75;-0,25;-0,25)


1.2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ С ПОМОЩЬЮ
ТЕОРЕМЫ КРАМЕРА И С ПОМОЩЬЮ ОБРА ТНОЙ МА ТРИЦЫ

Правило Крамера применяется при решении системы // линейных
уравнений с п неизвестными, определитель которой отличен от нуля.
Решение системы линейных уравнений находится по формуле
Крамера:

17
|/4j - определитель матрицы А, составленной из коэффициентов при
неизвестных;
\ А \ - определитель, полученный из определителя |/4| путем замены
у'-го столбца столбцом свободных членов.

Пример 1.2.1. Решить систему уравнений по правилу Крамера.

Х,+Х 2 + Х, + Х 4 =10,
X] — Х2 + Х^ — Х4 = —2,
2Х,-ЗХ 2 + 4Х3 + Х 4 =12,
ЗХ, + 4Х2 - ЗХ3 + 9Х4 = 38.

Решение. Вычислим определитель системы, используя функцию
МОПРЕД:
1111

= -68.
11
2-3 41
3 4-39




Рис. 1.2.1. Определитель системы \А\ = - 6 8 .

Определитель системы \А\ * О, следовательно, система совместна и
обладает единственным решением. Вычислим определители \Aj\, j = 1.. .4.


18
•-""'--"-"——«*; т •: :-..;;

=М0ПРЕД(А :D4)
В6 ZJ: г

с
В
А . Е. . !
0
10 1 1 1
-2 -1 1 -1 .

<< Пред. стр.

страница 2
(всего 15)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign