LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 3
(всего 4)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

?? ?mc? ?
, u(t ) = . (33)
p ?
? m0 ? ? 0 ?
c?
? ? ?
Учитывая (5),(6),(28) и (33), находим:
u?(t ) = u(t ) ? u0 (t ) > 0 при t > ? . (34)
Далее используем закон сохранения энергии, вытекающий из уравнения (15) (см. (16)):
?1
2? u 2 (t ) ? 2
m0 c ?1 ? 2 ? ? Fr (t ) = const . (35)
? c?
? ?
Здесь постоянная определится из начальных условий (32):
13
?1
2? u02 ? 2
?
m0 c ?1 ? 2 ? ? F (r0? + r0 ) = C1 = const . (36)
? c?
? ?
С другой стороны, используя (34), из (35) и (36) выводим:
?1
? u (t ) ? 2
2
m0 c ?1 ? 2 ? ? F (r ?(t ) + r0 (t ) ) = C1 при t > ? .
2 0
? c?
? ?
Так как r0 ( t ) подчиняется уравнению (20), то имеет место закон сохранения (ср. с (35))
?1
2? u0 (t ) ? 2
2
m0 c ?1 ? 2 ? ? Fr0 (t ) = C 2 = const . (37)
? ?
c?
?
Из двух последних уравнений видно, что
F r ?( t ) = C 2 ? C1 ? 0 при t > ? . (38)
Комбинируя (37) при t = 0 и (36), получаем:
?? ?1 ?
u02 ? 2 ?
?
?
C 2 ? C1 = m0 c 2 ?1 ? ?1 ? 2 ? ? + F r0? .
?? c? ?
? ??
?
Отсюда и из (38) видно, что
?? ?2 ? 2 ?
?1
u
? ?
F (r ?(t ) ? r0? ) = m0 c 2 ?1 ? ?1 ? 02 ? ? ? 0 при t > ? .
?? c? ?
? ??
?
Следовательно, r ?( t ) = const , r ?( t ) ? r0? при t > ? . Таким образом, в однородном поле
состояние частицы r ?( 0 ) ? 0 , u?( 0 ) ? 0 эволюционирует к состоянию невесомости:
r ?( t ) = const , u?( t ) = 0 при t > ?
Иными словами, состояние невесомости характеризуется устойчивостью: если частицу
вывести из состояния невесомости с помощью некоторой внешней силы, а затем
предоставить частицу самой себе, частица возвращается в свободное состояние (хотя при
этом, вообще говоря, r ?( ? ) ? r ?( 0 ) ). Отметим, что сделанный выше вывод относительно
устойчивости состояния невесомости частицы в однородном поле является точным: при его
получении не использованы какие-либо приближения, основанные на разложении правой
части уравнения (17) по степеням r ? и u ? .
Относительный ход времени между точками A и B , лежащими на траектории
движения частицы в однородном поле в инерциальной системе отсчета K , вычислим по
формуле (22), используя выражение (28):
2
?a t ?
1+ ? 0 A ?
dt A ?c?.
= (39)
2
dt B ?a t ?
1+ ? 0 B ?
?c?
В нерелятивистском приближении получаем:
2
dt A a0 2 2
= 1 + 2 (t A ? t B ) . (40)
dt B 2c
Согласно (39), если t B > t A , то dt B > dt A , т.е. при движении частицы в однородном поле с
течением времени относительный ход времени вдоль траектории движения возрастает: с
течением времени в точке нахождения частицы в инерциальной системе отсчета время течет
все быстрее.
14
В качестве однородного поля рассмотрим поле силы тяжести F = m0 g , где g = const -
ускорение свободного падения частицы. Полагая, что g = -ge z , где e z - орт координатной
системы, направленный вдоль оси z , выразим силу F через потенциал ? :
"
F = ?m 0 ??, ? = gz + const . (41)
Формулы (28) и (29), в которых следует положить a 0 = g , описывают свободное падение
gt
<< 1 координату свободно
частицы с нулевой начальной скоростью. В силу (29) при
c
падающей частицы в инерциальной системе отсчета K можно записать в виде:
1
z = z0 ? gt 2 , z0 = const .(42)
2
Как видно из (39) - (42), при свободном падении частицы в инерциальной системе отсчета в
точке ее нахождения уменьшается потенциал поля и время течет все быстрее. Вычислим
интервал собственного времени по формуле (21) (при dr ? = 0 ), считая выполненным условие
gt
<< 1 . Учитывая (28), (41) и (42), получаем:
c
? 1 ? gt ? 2 ? ??
u 2 (t ) ?
d? = 1 ? 2 dt = ?1 ? ? ? ?dt = ?1 + 2 ?dt . (43)
? 2? c ? ? ? c?
c ? ?
При получении последней формулы постоянная в определении (41) потенциала ? выбрана
из условия: ? = 0 при t = 0 . Относительный ход времени в инерциальной системе отсчета
между точками A и B , который можно определить из равенства d? A = d? B , выражается
формулой (40), в которой a 0 = g .

4. Однородные магнитное и электрическое поля

Вначале кратко остановимся на случае однородного магнитного поля B = const . При
движении частицы с зарядом e в этом поле компоненты силы F 0 и F1 (см.(9)) даются
формулами:
e e
F0 = [u0 B ], F1 = [u?B ] .
c c
Уравнения (10) и (11) можно записать в виде
r0 = [? u0 ] , (44)
!!
r ? = [? u?] , (45)
!!
eB
где ? = ? . Согласно (44) и (45), в нерелятивистском случае переход в неинерциальную
mc
˜
систему отсчета K ? , начало координат которой вращается с угловой скоростью ? вокруг
оси, проходящей через начало координат системы отсчета K , не приводит к исключению
однородного магнитного поля. Более того, уравнение движения частицы в системе отсчета
˜
K ? (45) по форме не отличается от уравнения (44). Из уравнения (45) видно, что состояние
частицы с
r ? = r0? + u? t при r0? = const, uII = const, u? ?
? (46)
II
II
является состоянием невесомости частицы. В силу того, что выполняется закон сохранения
u? 2 = const , если частицу вывести из состояния невесомости, сообщив ей начальную
? ?
скорость u 0 ? ? 0 (u 0? ? ? ) , и предоставить ее самой себе, то она не возвратится в
состояние невесомости.
15
˜
Уравнение движения частицы в системе отсчета K ? (19) отличается от уравнения (45)
˜
релятивистскими поправками. В остальном характеристики движения в системе отсчета K ? в
релятивистском и нерелятивистском случаях не отличаются друг от друга.
В случае однородного магнитного поля из уравнения (20) вытекает закон сохранения
2
u0 = const . Поэтому в силу (22) dt A = dt B , т.е. ход времени вдоль траектории движения
частицы в однородном магнитном поле в инерциальной системе отсчета K одинаков
(течение времени равномерно).
Перейдем теперь к рассмотрению однородных электрического E и магнитного B
полей, предполагая для определенности, что поле B направлено вдоль оси z . В случае
заряженной частицы с зарядом e компоненты силы F 0 и F1 (см.(9)) даются формулами
e e
F 0 = eE + [u0 B ], F1 = [u?B ] (47)
c c
˜
и поэтому уравнение движения частицы в системе отсчета K ? может быть записано в виде
(45). Отсюда следует, что, как и в случае однородного магнитного поля, состояние (46)
является состоянием невесомости. Решение уравнения (10), в котором F 0 дается первой из
формул (47), можно записать в виде:
eE e
u 0 (t ) = [? r 0? (t )] + II t + u 0 II + [? E ? ] , (48)
m? 2
m
где
r 0? (t ) = a (sin(?t + ? 0 ), cos(?t + ? 0 ), 0 ), E = E II + E ? ,
eB
E II = (0,0, E z ), E ? ? ? , u 0 II = (0,0, u 0 z ), ? = ,
mc
a , ? 0 и u 0 z - произвольные постоянные. Отсюда получаем следующую формулу для
кинетической энергии частицы:
m u 0 (t ) m ?? ??
2 2
? ? eE z
2
? ?
e
= ?? ? r 0? (t ) + E? ? +?
? kin (t ) = t + u 0z ? ? . (49)
2 ?? ?
m? m
2 ?? ??
?? ?
Формула (26), в которой ? kin (t ) дается выражением (49), определяет относительный ход
времени в произвольном постоянном во времени однородном внешнем поле. В частном
случае скрещенного поля ( E z = 0 ) получается выражение:
dt A e
E ? (r 0? (t A ) ? r 0? (t B ) ), ( m 0 = m ).
= 1+
mc 2
dt B
Для релятивистской частицы ограничимся рассмотрением случая, когда векторы E и
B параллельны оси z . Решение уравнения (20), в котором функция F 0 определена первой
из формул (47), можно записать в виде [17]:
p 0 x = p 0? cos ?(t ),
p 0 y = ? p 0? sin ?(t ), (50)
˜
p 0 z = eEt + p 0 z ,
где p = const , ˜ = const , функция ? = ?(t ) подчиняется уравнению
p
0? oz
2
d? ?p?
eB
= ? 0 (t ), ?0 (t ) = , m = m0 + ? ? .
2
(51)
dt mc c?
?
Относительный ход времени вычисляем по формуле (22), учитывая равенства (50) и (51) и
соотношение
16
?1
u2 ? ?
p2
1 ? 2 = ?1 + ?.
? (m c )2 ?
c ? ?
0

Окончательный результат:
p 02? + (eEt A + p 0 z )
˜2
1+
(m0 c )2
dt A
= ˜ )2 . (52)
p + (eEt B + p 0 z
dt B 2
1 + 0?
(m0 c )2
Из (52) видно, что в отсутствие электрического поля ( E = 0 ) dt A = dt B , а при p 0? = ˜ 0 z = 0
p
eE
получается формула (39), в которой a 0 = .
m0

5. Гравитационное поле точечной частицы

Рассмотрим движение точечной частицы массой m в гравитационном поле,
порождаемом точечной частицей массой M , находящейся в начале координат системы
отсчета K . Движение частицы описывается уравнением (4), в котором
?r
F =? 3 , (53)
r
где ? = GmM , G - постоянная гравитационного взаимодействия.
Используя соотношение (5), связывающее между собой координаты частицы в
˜
K ? , преобразуем уравнение (4) к следующему уравнению,
системах отсчета K и
˜
описывающему движение частицы в системе отсчета K ? :
?(r ? + r 0 (t ) ) ˜
mr!? = ? ? mr!0 (t ) ? F (r ?, t ) . (54)
! !
3
? + r 0 (t )
r
˜
Условие того, что частица, покоящаяся в начале координат системы отсчета K ? , является
свободной, выражается равенством
˜
F ( 0, t ) = 0 , (55)
которое дает уравнение, определяющее функцию r0 ( t ) :
? r 0 (t )
mr!0 (t ) = ? . (56)
! 3
r0 (t )
˜
Выражение для силы F ( r ?, t ) разлагаем в степенной ряд по r ? в предположении, что
r ? << r0 (t ) , и в этом разложении оставляем только линейные члены. В результате получаем
уравнение движения в следующей форме:
3 r (t )( r ? r (t ) ) ?
??
mr!? = ? 3 ? r ? ? 0 2 0 ? ? F1 (r ?,t ) . (57)
! ? ?
r 0 (t ) ? r 0 (t ) ?
˜
Как видно из (57), состояние частицы, находящейся в начале координат системы отсчета K ? ,
является состоянием невесомости. При r ? ? 0 на частицу действует сила F1 ( r ?,t ) ,
возникающая из-за неоднородности гравитационного поля.
Предположим, что
r0 ( t ) = r0 ( t )n , (58)
где 0 < r0 ( t ) < ? , n = const , n = 1 . Вектор n характеризует радиальное направление, в
˜
котором происходит свободное падение системы отсчета K ? на силовой центр, роль
17
которого играет точечная частица массы M . В этом случае уравнение (56) можно записать в
виде:
?
mr! (t ) = ? 2 . (59)
!0
r 0 (t )
Рассмотрим характер движения частицы в окрестности начала координат системы
˜
отсчета K ? . Для упрощения выкладок в уравнении (57) пренебрегаем зависимостью от t
величины r0 ( t ) , считая эту зависимость достаточно слабой ( r0 ( t ) = r0 ). Введем тройку
˜
взаимно ортогональных ортов системы отсчета K ? , e1 , e 2 , e 3 , такую, что
e 3 = n , [e 3 e1 ] = e 2 , [e1e 2 ] = e 3 . Решение уравнения (57) ищем в виде:
r ? = e1 A + e 2 A2 + e 3 A3 , (60)
1
где An = An ( t ) ( n = 1, 2,3 ) - искомые функции, удовлетворяющие системе уравнений:
? ? 2?
!! !! !!
mA1 = ? 3 A1 , mA2 = ? 3 A2 , mA3 = 3 A3 . (61)
r0 r0 r0
Общее решение уравнений (61) имеет вид:
1
? ? ?2
An = An 0 cos(?1t + ? n ), n = 1, 2, ?1 = ? ?
? mr 3 ? ,
? 0?
(62)
1
? 2? ? 2
A3 = A3 e ? ?2t + A3?e ?2t , ? 2 = ? ?
? ? ? mr 3 ? ,
? 0?
где An 0 , ? n (n = 1, 2), A3 и A3 ? - произвольные постоянные. Согласно (62), если
? ?
исключить из рассмотрения решение, отвечающее неустойчивому движению, т.е. если
выбрать начальные условия таким образом, чтобы A3? = 0 , то картина движения частицы в
?
˜
системе отсчета K ? в окрестности точки r ? = 0 при t ? 0 такова: вдоль оси e 3 частица
асимптотически приближается к точке r ? = 0 , а вдоль осей e1 и e 2 она осциллирует
относительно этой точки с частотой ?1 .
Отметим, что выражение для силы F1 ( r ?,t ) , действующей на частицу в системе
˜
отсчета K ? (см. (57) и (58)) зависит от выбора радиального направления, описываемого
˜
ортом n , вдоль которого происходит падение системы отсчета K ? на силовой центр.
˜
Существование этой зависимости приводит к тому, что системы отсчета K ? , отличающиеся
друг от друга только направлением поступательного движения относительно системы
отсчета K (т.е. направлением падения на силовой центр), физически неэквивалентны между
собой. Имеется, таким образом, бесконечно много физически неэквивалентных между собой
квазиинерциальных систем отсчета, в каждой из которых возможно состояние невесомости
частицы.
˜
Движение частицы в системе отсчета K ? , свободно падающей на силовой центр вдоль
направления n , описывается уравнением (54), где функция r0 ( t ) подчиняется уравнению
˜
˜ ˜
(59). Перейдем к системе отсчета K ? , которая получается из системы отсчета K ? путем ее
трансляции вдоль вектора n и которая движется вдоль этого вектора равномерно и
˜
прямолинейно относительно системы отсчета K ? . Координаты (x??, y??, z??) ? r ?? и (x?, y?, z?) ? r ?
частицы в указанных системах отсчета связаны между собой равенством r ? = r ?? + a + bt , где
a = a n , b = bn , a ,b = const . Переходя в уравнении (54) от переменных r ? к переменным
r ?? и используя обозначение
a + bt + r 0 (t ) = r 0?(t ) ,
18
получаем следующее уравнение движения:
?(r ?? + r 0?(t )n )
m r!?? = ? ? m r!?(t )n . (63)
! !0
3
r ?? + r 0? (t )n
Если функцию r0? ( t ) подчинить уравнению
?
m r!?(t ) = ? . (64)
!0
r 0? 2 (t )
то уравнения (63) и (64) по форме совпадут с уравнениями (54) и (59), соответственно. Это
значит, что свободно падающие к силовому центру в некотором радиальном направлении
системы отсчета, которые могут быть совмещены друг с другом путем их трансляции в этом
направлении и которые движутся равномерно и прямолинейно друг относительно друга,
физически эквивалентны.
Переходя к решению уравнения (59), выпишем, прежде всего, вытекающий из него
закон сохранения энергии ( U (t ) - потенциальная энергия):
mu 02 (t ) ?
+ U (t ) ? E = const , U (t ) = ? . (65)
r 0 (t )
2
Исключая величину r0 ( t ) из равенств (59) и (65), приходим к следующему уравнению
движения:
2
1 ? mu 0 (t ) ?
2
du 0 (t )
=? ? ?E ? .
m (66)
?? 2 ?
dt ? ?

<< Пред. стр.

страница 3
(всего 4)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign