LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 2
(всего 4)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

!
является силой тяжести, то указанное состояние представляет собой состояние невесомости
частицы [15,16]. Это название (состояние невесомости) мы сохраняем и в случае, если F
описывает произвольное силовое поле.
˜
Следует подчеркнуть, что хотя в системе отсчета K ? и осуществляется состояние
невесомости частицы, эта система отсчета существенно отличается от инерциальной.
Принципиальное различие между ними состоит в том, что в инерциальной системе отсчета
частица, будучи свободной в одной точке пространства, остается свободной в любой другой
точке пространства (т.е. силовое воздействие на частицу отсутствует во всем пространстве:
˜
F ? 0 ), а в системе отсчета K ? в случае произвольного внешнего силового поля F ( r , r , t) !
силовое воздействие на частицу отсутствует лишь в точке r ? = 0 при r ? = 0 (см. (9)-(11)). !
Однако всегда можно указать такую область пространства-времени, в которой силы инерции,
˜
действующие на частицу в системе отсчета K ? , приближенно компенсируют силы,
действующие на нее со стороны внешнего силового поля, так что в этой пространственно-
˜
временной области систему отсчета K ? можно приближенно считать инерциальной.
˜
Чтобы уточнить, в каком смысле и с какой точностью система отсчета K ? является
инерциальной, внешнюю силу, действующую на частицу, представим в виде суммы двух
составляющих: силы F ( r , r , t) ? F , которая далее будет частично скомпенсирована силой
!
инерции, и дополнительной силы f , которую будем для простоты считать постоянной
( f = const ) и роль которой будет состоять в том, чтобы выводить частицу из состояния
8
невесомости. Преобразуя уравнение движения (4), в котором выполнена замена F > f + F ,
˜
к системе отсчета K ? , получаем следующее уравнение движения (ср. с (7) и (8)):
˜
mr? = f + F . (12)
!!
В той области пространства-времени (назовем ее областью P ), в которой выполняется
условие
˜
F << f , (13)
˜
силой F в выражении (12) можно пренебречь по сравнению с силой f и в результате
приходим к уравнению m r ? = f , согласно которому ускорение частицы в системе отсчета
!!
˜
K ? обусловлено только действием внешней силы f , как и должно быть для истинной
инерциальной системы отсчета. Следовательно, при описании движения частицы в области
˜
P систему отсчета K ? можно считать инерциальной. Очевидно, что область P лежит в
окрестности точки, в которой
˜
F = 0, (14)
˜
причем точность, с которой система отсчета K ? является инерциальной, определяется
точностью, с которой выполняется неравенство (13).
Таким образом, при описании движения в неинерциальной системе отсчета, в которой
осуществляется состояние невесомости частицы, т.е. выполняется равенство (14),
существует такая область пространства-времени, в которой эта система отсчета мало
отличается от инерциальной в указанном выше смысле. Такую систему отсчета естественно
назвать квазиинерциальной. Очевидно, что имеется бесконечно много квазиинерциальных
систем отсчета физически эквивалентных между собой. В частности, физически
равноправными являются квазиинерциальные системы отсчета, движущиеся друг
относительно друга равномерно и прямолинейно, если только движение частицы
˜
рассматривается в тех областях пространства-времени, в которых силой F можно
пренебречь по сравнению с внешней силой f . С другой стороны, если мы хотим учесть
˜
поправки к решению уравнения (12), обусловленные силой F , то указанные выше
квазиинерциальные системы отсчета могут оказаться физически неэквивалентными между
собой. Это связано с тем, что в уравнение движения (12) входят векторы r0 и r0 , из-за
!
которых в пространстве могут появиться выделенные области и направления.
Приведенные результаты легко обобщить на случай релятивистского уравнения
движения. Исходим из уравнения движения
dp
=F, (15)
dt
где
?1
? u2 ? 2
p = mu, m = m0 ?1 ? 2 ? ,
? c?
? ?
u = r , r = r( t ) , m0 ? масса покоя частицы. Из (15) следует равенство
!
d
mc2 = uF , (16)
dt
с помощью которого уравнение движения (15) можно преобразовать к квазиклассическому
виду, удобному для дальнейшего анализа [4]:
1
u( uF ) ?? u ? 2 2
du ? ? ?
= ?F ? ? ?1 ? c 2 ? .
m0 (17)
2
dt ? ??
c ?
9
Как разъясняется в [4], для описания движения частицы в рамках релятивистской
механики мы вправе использовать как инерциальные, так и неинерциальные системы
отсчета. При переходе от инерциальной системы отсчета к неинерциальной геометрия
пространства-времени не изменяется и остается псевдоевклидовой. Переходя к
˜
неинерциальной системе отсчета K ? , воспользуемся равенствами (5) и (6) и введем
обозначения:
u = r, u? = r ?, u0 = r0 ( t ) .
! ! !
Далее подставляем первое из равенств (6) в (17) и, считая выполненными условия
u?u0 2
u0
u? << u0 , << 1 ? 2 , (18)
c2 c
разлагаем правую часть уравнения (17) в ряд по степеням r ? и u ? . Сохраняя в разложении
лишь члены первого порядка, приходим к следующему уравнению движения частицы в
˜
системе отсчета K ? :
1
?? u 0 ?
2
du? 2
? dp0
? F 0 ??1 ? 2 ?
= ?? +
m0
?? c ?
dt ? dt ? ?
1
u0 ( u?F 0 ) ?? u 0 ?
u?( u0 F 0 ) 2 2
? u ( u0 F ) ? ?
+ ? F1 ? 0 2 1 ? ? ? ?1 ? 2 ? ? (19)
2 2
? ?? c ?
c c c
?1
? u0 ?
u ( u0 F ) ? u?u 2 2
? ?1 ? ?
? ?F 0 ? 0 2 0 ? 2 0 .
? c2 ?
? ?c
c ? ?
?1
? ?
2 2
u0
Здесь использовано разложение (9) и введено обозначение: p0 = m0 u0 ?1 ? ? . Величину
?c ?
2
? ?
r0 ( t ) определим из уравнения
dp0
= F0 . (20)
dt
Так как при этом правая часть уравнения (19) обращается в нуль при r ? = 0, u? = 0 , то,
˜
следовательно, частица, покоящаяся в начале координат системы отсчета K ? , оказывается
свободной. При r ? ? 0, u? ? 0 возникает сила, действующая на частицу. Состояние частицы
с r ? = 0, u? = 0 оказывается, таким образом, выделенным: оно является состоянием
невесомости частицы.
В инерциальной системе отсчета K , описываемой в галилеевых координатах t , x, y, z ,
квадрат пространственно-временного интервала дается формулой
ds 2 = c 2 dt 2 ? dx 2 ? dy 2 ? dz 2 . Отсюда следует, что координата t имеет смысл физического
времени, а остальные координаты определяют расстояние вдоль соответствующих осей. В
˜
системе же отсчета K ? координата t представляет собой координатное время и не имеет
физического смысла. Для получения физического времени d? и физической длины dl в
˜
системе отсчета K ? квадрат пространственно-временного интервала ds 2 = c 2 dt 2 ? dr 2
˜
преобразуем к системе отсчета K ? , используя первое из равенств (6), и затем выделим
полный квадрат, содержащий временную переменную. Имеем последовательно:
2 2
? ? ? ?
u0 dr ? ? ? (dr ?)2 ? ? u0 dr ?
= ? c 2 ? u 0 dt ? ?.
ds 2 = c 2 dt 2 ? (dr ? + u0 dt )
2 2
? ? ? c2 ? u2 ?
c 2 ? u02
? ? ? ?
0

Полагая, что
10

ds 2 = c 2 (d? ) ? (dl ) ,
2 2


из сравнения правых частей двух последних соотношений выводим:
2
? u dr ? ?
u 0dr ?
12
, (dl ) = (dr ?) + ? ?.
2 2
d? = c ? u 0 dt ?
2 0
(21)
? c 2 ?u 2 ?
c c c ?u0
2 2
? 0?
˜
Если частица, покоящаяся в начале координат системы отсчета K ? , находится в
состоянии невесомости, то естественно считать, что ее собственное время течет равномерно,
т.е. ход времени частицы в различные моменты собственного времени одинаков.
Действительно, как отмечалось в предыдущем разделе, в состоянии невесомости отсутствует
силовое воздействие на частицу и, следовательно, нет причины для изменения хода времени
в точке нахождения частицы. Обозначим через A и B какие-либо две точки, лежащие на
траектории движения частицы в инерциальной системе отсчета K , которые частица
проходит в моменты времени t A и t B . Пусть d? A и d? B - интервалы собственного времени
˜
частицы, покоящейся в начале координат системы отсчета K ? , соответствующие интервалам
dt A и dt B , в течение которых частица движется по траектории в системе отсчета K в
окрестности точек A и B (считаем, что моменты времени t A и t B лежат на интервалах dt A
и dt B и этим моментам отвечают моменты собственного времени ? A и ? B ). Используя
первое из соотношений (21) и учитывая, что для покоящейся частицы dr ? = 0 , равенство
интервалов собственного времени d? A = d? B перепишем в виде
2 2
u0 ( t A ) u0 ( t B )
1? dt A = 1 ? dt B .
2 2
c c
Из этого равенства находим относительный ход времени между точками A и B на
траектории движения частицы в инерциальной системе отсчета K :
c 2 ? u0 ( t B )
2
dt A
= . (22)
2 2
c ? u0 ( t A )
dt B
Отметим, что так как мы рассматриваем здесь состояние частицы с r ? = 0, u? = 0 , то в силу
(6) u0 (t) = u , т.е. u0 (t) - скорость частицы в момент времени t относительно инерциальной
системы отсчета K .
Следует подчеркнуть, что величины dt A и dt B в формуле (22) не имеют смысла
промежутков времени, в течение которых частица проходит одинаковые расстояния в
окрестностях точек A и B . Указанные величины имеют следующий смысл: это те
промежутки времени, которые отвечают одинаковым промежуткам собственного времени
частицы, находящейся в состоянии невесомости.
Относительный ход времени между точками A и B в инерциальной системе отсчета
K ? можно записать в виде, аналогичном (22):
??
dt ? c 2 ? u02 ( t B )
A
= , (23)
dt ? c 2 ? u02 ( t ? )
?A
B

где u0 (t ?) - скорость частицы в момент t ? в системе отсчета K ? . Подставляя (22) и (23) в (2) и
?
учитывая, что u x ( t ) = u 0 x ( t ) , получаем соотношение
? V 0u 0 x (t B ) ?
?1 ? ?
?2 ?
c 2 ? u 0 (t B ) ? ? c ? u 0 (t B ) ,
2 2
c2
= (24)
??
c ? u 0 (t A ) ? V 0u 0 x (t A ) ? c 2 ? u 0 2 (t A )
2 2
?1 ? ?
c2
? ?
11
которое представляет собой условие непротиворечивости развиваемой здесь теории
изменения хода времени. Легко убедиться в том, что условие (24) является тождеством,
справедливость которого следует из известного равенства (см. [4], с.61)
V 02
1? 2
? ? u 02 ?
u 02 c ?1 ? 2 ? ,
1? 2 = 2? ?
c ? V 0u 0 x ? ? c ?
?1 ? 2 ?
c?
?
?
где u 0 и u 0 - скорости частицы относительно систем отсчета K и K ? , соответственно.
Выполнение условия непротиворечивости (24) служит важным аргументом в пользу
развиваемых в данной работе представлений о связи между силовым воздействием на
частицу и ходом времени вдоль траектории ее движения. Выражение (22) можно представить
в следующих эквивалентных формах:
? (t ) U (t 0 ) ? U (t A )
1 + kin A 1+
m 0c 2 m 0c 2
dt A
= = , (25)
? kin (t B ) U (t 0 ) ? U (t B )
dt B
1+ 1+
m 0c 2 m 0c 2
где ? kin (t ) и U (t ) - кинетическая и потенциальная энергии частицы в момент времени t ,
причем предполагается, что ? kin (t 0 ) = 0 . Как видно из выражения (22), если скорость
частицы мала по сравнению со скоростью света, изменение хода времени является
2
?u ?
релятивистски-малой величиной порядка ? 0 ? . Сохраняя в разложении лишь основной по
?c?
величине член, получаем следующую нерелятивистскую формулу:
dt A 1
(? kin (t A ) ? ? kin (t B ) ) = 1 ? 1 2 (U (t A ) ? U (t B )) .
= 1+ (26)
m 0c 2
dt B m 0c


3. Однородное электрическое (гравитационное) поле

В качестве приложения рассмотрим вначале движение частицы в однородном
внешнем поле F = const . В этом случае F 0 = F , F1 = 0 (см. (9)) и поэтому, согласно
уравнениям (10) и (11), классическая частица в системе отсчета K движется с постоянным
ускорением
F
a0 = , (27)
m
˜
а в системе отсчета K ? является свободной, так как в этой системе отсчета сила инерции
полностью компенсирует внешнюю силу F . Из решения уравнения (11) при F1 = 0 ,
имеющего вид r ? = a + bt ( a и b - произвольные постоянные векторы), следует, что частица,
˜
движущаяся равномерно и прямолинейно в системе отсчета K ? , находится в состоянии
невесомости. Таким образом, движение частицы массой m относительно инерциальной
системы отсчета под действием однородного поля F эквивалентно движению свободной
˜
частицы относительно неинерциальной системы отсчета K ? , которая движется относительно
инерциальной системы с ускорением (27). Переход в неинерциальную систему отсчета
позволил полностью исключить из рассмотрения однородное силовое поле сразу же во всем
пространстве. Заметим, что однородное поле не имеет физического смысла, так как такое
поле не существует в природе. Реальные физические поля, описывающие взаимодействие
между частицами, существенно неоднородны.
12
Переходя к релятивистскому случаю, рассмотрим решение уравнения (20),
подчиняющееся начальному условию p0 = 0 при t = 0 : p0 = F t . Отсюда
?1
? ? a 0t ? 2 ? 2 F
u 0 = a 0 t ?1 + ? ? ? , a0 = . (28)
? ?c?? m0
? ?
Интегрирование последнего уравнения дает:
c2 ? ?
2
? a 0t ?
? 1+ ? ? ? 1? , r0 = r0 (0) .
r0 (t ) = r0 + a 0 2 ? (29)
?
?c?
a0
? ?
Учитывая уравнение (20) и равенство F1 = 0 , уравнение движения (19) можно
представить в форме:
1
? u0 ?
du? 2 2
1
= ? 2 [u?(u0 F ) + u0 (u?F )]?1 ? 2 ? ?
m0 ? c?
dt c ? ?
(30)
?1
u0 (u0 F ) ? u?u0 ? u 0 ? 2
2
?
? c 2 ?1 ? c 2 ? .
? ?F ? ? ?
2
c
? ? ? ?
Из сравнения уравнения (30) с соответствующим ему нерелятивистским уравнением (11)
видно, что в релятивистском случае переход в неинерциальную систему отсчета не устраняет
полностью однородное силовое поле во всем пространстве. Силовое поле входит в правую
часть уравнения (30) как в явной форме, так и неявно, через вектор u0 (см.(28)). Согласно
(30), полной компенсации однородного внешнего поля и сил инерции не происходит из-за
релятивистских поправок к уравнению движения. Отметим, что в случае однородного поля
˜
сила, действующая на частицу в системе отсчета K ? , не зависит от радиус-вектора частицы
r ? , но зависит от ее скорости u ? . Это приводит к тому, что в состоянии невесомости
˜
находится частица, покоящаяся в системе отсчета K ? в произвольной точке пространства.
Однако если частицу вывести из состояния невесомости, сообщив ей начальную скорость
u ? ? 0 , возникает силовое воздействие на частицу.
Чтобы установить характер движения частицы, выведенной из состояния
невесомости, рассмотрим следующее начальное состояние:
r ?( 0 ) = r0? ? 0, u?( 0 ) = u0 ? 0 .
? (31)
Используя выражения (28) и (29), из (5) и (6) выводим следующие начальные условия:
r( 0 ) = r0? + r0 , u( 0 ) = u0 .
? (32)
Решение уравнения движения (15), подчиняющееся начальным условиям (32), можно
записать в виде:
?1
?1
p(t ) ? ? p(t ) ? ?
2 2
? u? ?
2 2
?1 + ? ?
(t ) = F t + m0 u0 ?1 ? 02 ?

<< Пред. стр.

страница 2
(всего 4)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign